Laplasova transformacija

Laplasova transformacija (nazvana po Pjer-Simon Laplasu) je integralna transformacija, koja datu kauzalnu funkciju f(t) (original) preslikava iz vremenskog domena (t = vreme) u funkciju F(s) u kompleksnom spektralnom domenu. Laplasova transformacija, iako je dobila ime u njegovu čast, jer je ovu transformaciju koristio u svom radu o teoriji verovatnoće, transformaciju je zapravo otkrio Leonard Ojler, švajcarski matematičar iz osamnaestog veka.

Pojam originala

Funkcija t->f(t) naziva se originalom ako ispunjava sledeće uslove:

1. f je integrabilna na svakom konačnom intervalu t ose

2. za svako t<0, f(t)=0

3. postoje M i s₀, tako da je $|f(t)|\leq Me^{s_{0}t}$

Definicija Laplasove transformacije

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.\qquad (s=\sigma +\mathrm {i} \omega ;\quad \sigma >0;\quad t\geq 0)$

Funkcija F(s) je »slika« ili laplasova transformacija »originala« f(t).

Za slučaj da je $s=i\omega$ dobija se jednostrana Furijeova transformacija:

$F(\omega )={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}$

$={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }$

$=\int _{0}^{\infty }e^{-\imath \omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.$

Osobine

Linearnost

${\mathcal {L}}\{\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}f_{k}(t)\}=\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}F_{k}(s)$

Teorema sličnosti

Ako je $a>0$, tada je ${\mathcal {L}}\{f(at)\}={1 \over a}F({s \over a})$, pri čemu je ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)$

Diferenciranje originala

Ako je $a>0$ i ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)$, tada je ${\mathcal {L}}\{f^{\prime }(t)\}=sF(s)-f(0)$

Diferenciranje slike

Ako je ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)$, tada je ${\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F^{\prime }(s)$, odnosno indukcijom se potvrđuje da važi ${\mathcal {L}}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}F^{(n)}(s)$

Integracija originala

Ako je $a>0$ i ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)$, tada je ${\mathcal {L}}\{\int _{0}^{t}t(\tau )d\tau \}={1 \over s}F(s)$

Integracija slike

Ako postoji integral $\int _{0}^{\infty }F(s)ds$, tada je ${\mathcal {L}}\{{f(t) \over t}\}=\int _{s}^{\infty }F(\sigma )d\sigma$

Teorema pomeranja

${\mathcal {L}}\{{e^{s_{0}t}f(t)}\}=F(s-s_{0})$

Teorema kašnjenja

${\mathcal {L}}\{{f(t-\tau )}\}=e^{-s\tau }F(s),\tau \geq 0$

Laplasova transformacija konvolucije funkcija

${\mathcal {L}}\{f*g\}={\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}$

Ova osobina je poznata kao Borelova teorema. Napomena: definicija konvolucije je: $(f\ast g)(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x-t)\cdot g(t)\cdot dt=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\cdot g(x-t)\cdot dt$

Laplasova transformacija periodičnih funkcija

Ako $f(t)$ ima osobinu $f(t+T)=f(t)$, tada važi ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0}^{T}{e^{-su} \over {1-e^{-sT}}}f(u)du$

Dokaz

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)dt{\mid }_{t=u}+\int _{T}^{2T}e^{-st}f(t)dt{\mid }_{t=u+T}\int _{2T}^{3T}e^{-st}f(t)dt{\mid }_{t=u+2T}+...\,$

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-st}f(u)du+\int _{T}^{2T}e^{-s(u+T)}f(u+T)du+\int _{2T}^{3T}e^{-s(u+2T)}f(u+2T)du+...\,$

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-sT}\int _{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-2sT}\int _{0}^{T}e^{-su}f(u)dT+...\,$

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt=(1+e^{-sT}+e^{-2sT}+...)\int _{0}^{T}e^{-sT}f(T)du{\mid }_{u=t}\,$

Odakle sledi: ${\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt$

Tabela najčešće korišćenih Laplasovih transformacija

Jednostrana Laplasova transformacija ima smisla samo za ne-negativne vrednosti t, stoga su sve vremenske funkcije u tabeli pomožene sa Hevisajdovom funkcijom.

ID	Funkcija	Vremenski domen $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}$	Laplasov s-domen (frekventni domen) $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$	Oblast konvergencije za kauzalne sisteme
1	idealno kašnjenje	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$
1a	jedinični impuls	$\delta (t)\$	$1$	$\mathrm {} \ s\,$
2	zakašnjeni n-ti stepen sa frekvencijskim pomeranjem	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2a	n-ti stepen (za ceo broj n)	${t^{n} \over n!}\cdot u(t)$	${1 \over s^{n+1}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2a.1	q-ti stepen (za realno q)	${t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)$	${1 \over s^{q+1}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2a.2	Hevisajdova funkcija	$u(t)\$	${1 \over s}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2b	zakašnjena Hevisajdova funkcija	$u(t-\tau )\$	${e^{-\tau s} \over s}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2c	rampa funkcija	$t\cdot u(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2d	frekvencijsko pomeranje n-tog reda	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \,$
2d.1	eksponencijalno opadanje	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	${\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \$
3	eksponencijalno približavanje	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\$
4	sinus	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\$
5	kosinus	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\$
6	sinus hiperbolikus	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\$
7	kosinus hiperbolikus	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\$
8	eksponencijalno opadajući sinus	$e^{\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \$
9	eksponencijalno opadajući kosinus	$e^{\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s-\alpha \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \$
10	n-ti koren	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
11	prirodni logaritam	$\ln(t)\cdot u(t)$	$-{1 \over s}\,\left[\ln(s)+\gamma \right]$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
12	Beselova funkcija prve vrste, reda n	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$ $(n>-1)\,$
13	modifikovana Beselova funkcija prve vrste, reda n	$I_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>|\omega |\,$
14	Beselova funkcija druge vrste, nultog reda	$Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$	$-{2\sinh ^{-1}(s/\alpha ) \over \pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2}}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
15	modifikovana Beselova funkcija druge vrste, nultog reda	$K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
16	funkcija greške	$\mathrm {erf} (t)\cdot u(t)$	${e^{s^{2}/4}\left(1-\operatorname {erf} \left(s/2\right)\right) \over s}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
Objašnjenja: $u(t)\,$ predstavlja Hevisajdovu funkciju. $\delta (t)\,$ predstavlja Dirakovu delta funkciju. $\Gamma (z)\,$ predstavlja Gama funkciju. $\gamma \,$ je Ojler-Maskeronijeva konstanta. $t\,$, je realan broj koji obično predstavlja vreme, iako može da se odnosi na bilo koju dimenziju. $s\,$ je kompleksna ugaona frekvencija, a ${\textrm {Re}}\{s\}$ je njen realni deo. $\alpha \,$, $\beta \,$, $\tau \,$, and $\omega \,$ su realni brojevi. $n\,$, je ceo broj. Kauzalni sistem je sistem u kome je impulsni odziv h(t) nula za svako vreme t<0. Vidi još: kauzalnost.

Inverzna Laplasova transformacija

U opštem slučaju, original f(t) date slike F(s) dobija se rešavanjem Bromvičovog integrala:

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\gamma -\imath \infty }^{\gamma +\imath \infty }e^{st}F(s)\,ds\qquad \gamma >s_{0},$

gde je $s_{0}$ realni deo bilo kog singulariteta funkcije $F(s)$.

S obzirom da se ovde integrali kompleksna promenljiva, potrebno je koristiti metode kompleksne matematičke analize. Mnogi primeri inverzne Laplasove transformacije navedeni su u tabeli iznad. U praksi, funkcije se transformišu u primere iz tablice, na primer razlaganjem na proste faktore.

Diskretna Laplasova transformacija

Za funkciju celobrojne promenljive $f(n)$ njena diskretna Laplasova transformacija se definiše kao:

$F^{\ast }(s)=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-sn}f(n)$

Konvergencija ovog reda zavisi od $s$.

Sve osobine i teoreme regularne Laplasove transformacije imaju svoje ekvivalente u diskretnoj Laplasovoj transformaciji.

Primena

U matematici Laplasova transformacija se koristi za analiziranje linearnih, vremenski nepromenljivih sistema, kao: električnih kola, harmonijskih oscilatora, optičkih uređaja i mehaničkih sistema. Ima primene u rešavanju diferencijalnih jednačina i teoriji verovatnoće.

Literatura

• Bracewell, Ronald N. (1978), The Fourier Transform and its Applications (2nd izd.), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN 978-0-07-007013-4 
• Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd izd.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8 
• Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications. Vol. II., Second edition, New York: John Wiley & Sons, MR 0270403 
• Korn, G. A.; Korn, T. M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (2nd izd.), McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1 
• Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, MR 0005923 
• Williams, J. (1973), Laplace Transforms, Problem Solvers, George Allen & Unwin, ISBN 978-0-04-512021-5 
• Takacs, J. (1953), „Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal”, Magyar Hiradastechnika (na jeziku: Hungarian), IV (7–8): 93—96 CS1 održavanje: Neprepoznat jezik (veza)
• Euler, L. (1744), „De constructione aequationum” [The Construction of Equations], Opera Omnia, 1st series (na jeziku: latinski), 22: 150—161 
• Euler, L. (1753), „Methodus aequationes differentiales” [A Method for Solving Differential Equations], Opera Omnia, 1st series (na jeziku: latinski), 22: 181—213 
• Euler, L. (1992) [1769], „Institutiones calculi integralis, Volume 2” [Institutions of Integral Calculus], Opera Omnia, 1st series (na jeziku: latinski), Basel: Birkhäuser, 12, ISBN 978-3764314743 , Chapters 3–5
• Euler, Leonhard (1769), Institutiones calculi integralis [Institutions of Integral Calculus] (na jeziku: latinski), II, Paris: Petropoli, str. 57—153 
• Grattan-Guinness, I (1997), „Laplace's integral solutions to partial differential equations”, Ur.: Gillispie, C. C., Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science, Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01185-1 
• Lagrange, J. L. (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode, Œuvres de Lagrange, 2, str. 171—234 
• Arendt, Wolfgang; Batty, Charles J.K.; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2002), Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, ISBN 978-3-7643-6549-3 .
• Davies, Brian (2002), Integral transforms and their applications (Third izd.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-95314-4 
• Deakin, M. A. B. (1981), „The development of the Laplace transform”, Archive for History of Exact Sciences, 25 (4): 343—390, doi:10.1007/BF01395660 
• Deakin, M. A. B. (1982), „The development of the Laplace transform”, Archive for History of Exact Sciences, 26 (4): 351—381, doi:10.1007/BF00418754 
• Doetsch, Gustav (1974), Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation, Springer, ISBN 978-0-387-06407-9 
• Mathews, Jon; Walker, Robert L. Mathematical methods of physics , New York: W. A. Benjamin. (2nd изд.). 1970. ISBN 978-0-8053-7002-7. 
• Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998), Handbook of Integral Equations, Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-0-8493-2876-3 
• Schwartz, Laurent (1952), „Transformation de Laplace des distributions”, Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] (na jeziku: French), 1952: 196—206, MR 0052555 CS1 održavanje: Neprepoznat jezik (veza)
• Schwartz, Laurent (2008) [1966], Mathematics for the Physical Sciences, Dover Books on Mathematics, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-46662-0  - See Chapter VI. The Laplace transform.
• Siebert, William McC. (1986), Circuits, Signals, and Systems, Cambridge, Massachusetts: MIT Press, ISBN 978-0-262-19229-3 
• Widder, David Vernon (1945), „What is the Laplace transform?”, The American Mathematical Monthly, 52 (8): 419—425, ISSN 0002-9890, JSTOR 2305640, MR 0013447, doi:10.2307/2305640 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Laplace transform”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Wolfram, Laplace Transform
• Laplace-Transformation
• Laplace-Transformation
• Laplace-Transformation – Definition und Rechenregeln Архивирано на сајту Wayback Machine (6. март 2016)
• Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (AMS55)
• Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Weisstein, Eric W. „Laplace Transform”. MathWorld. 
• Good explanations of the initial and final value theorems Архивирано на сајту Wayback Machine (8. јануар 2009)
• Laplace Transforms at MathPages
• Computational Knowledge Engine allows to easily calculate Laplace Transforms and its inverse Transform.
• Laplace Calculator Архивирано на сајту Wayback Machine (17. март 2018) to calculate Laplace Transforms online easily.