Нацрт:Upisani i spolja pripisani krugovi trougla

Pod upisanim krugom trougla podrazumeva se najveći krug koji se može upisati u trougao. To je krug koji dodiruje sve tri stranice trougla sa unutrašnje strane. Centar tog kruga jednostavno se naziva centar upisanog kruga trougla, a dobija se kao presek simetrala unutrašnjih uglova trougla.

Spolja pripisani krug trougla je krug koji dodiruje jednu stranicu trougla sa spoljne strane, kao i produžetke preostale dve stranice. Svaki trougao ima tri spolja pripisana kruga. Centar spolja pripisanog kruga trougla $\triangle ABC$ koji odgovara temenu $C$ nalazi se u preseku simetrale unutrašnjeg ugla kod temena $C$ i simetrale dva spoljašnja ugla kod temena $A$ i $B$ trougla $\triangle ABC$.

Pošto su simetrala unutrašnjeg i simetrala spoljašnjeg ugla međusobno normalne, iz toga sledi da je centar upisanog kruga trugla ortocentar novog trougla, čija su temena centri spolja pripisanih krugova.

Mnogouglovi koji imaju više od tri stranice nemaju uvek upisani krug koji će dodirivati svaku od njih. Oni kod kojih je to ostvarivo nazivaju se tangentni mnogouglovi.

Upisan i pripisan krug

Veza sa površinom trougla

Poluprečnici upisanog i spolja pripisanih krugova su usko povezani sa površinom trougla.

Upisani krug

Centar upisane kružnice je presek simetrala (crveno) uglova

Pretpostavimo da   $\triangle ABC$   ima upisan krug poluprečnika  $r$  sa centrom u tački $O$.

Neka je  $a$  dužina stranice $BC$,   $b$   dužina stranice $AC$, i   $c$   dužina stranice $AB$.

Takođe, neka naš upisani krug dodiruje stranicu $AB$ u tački koju ćemo označiti sa $C^{'}$, i ugao    $\angle AC'O$   je prav. Dužina poluprečnika $C^{'}O$ je visina trougla   $\triangle OAB$  . Pošto  $\triangle OAB$ ima bazu dužine  $c$   i visine   $r$  , onda je površina ovog trougla jednaka  ${\frac {1}{2}}cr$  .

Slično,   $\triangle OAC$   ima površinu  ${\tfrac {1}{2}}br$   i   $\triangle OBC$   ima površinu   ${\frac {1}{2}}ar$  .

Pošto su ova tri trougla sastavni deo trougla   $\triangle ABC$  , iz toga možemo zaključiti

$\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,$      i      $r={\frac {\Delta }{s}},$

gde je   $\Delta$   površina   $\triangle ABC$   i   $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$   poluobim trougla.

Površina se može dobiti i na ovaj način: posmatrajmo   $\triangle OC'A$  . Ovo je pravougli trougao sa jednom stranicom dužine  $r$   i sa drugom stranicom čija je dužina jednaka   $r\cos {\frac {\alpha }{2}}$  . Isto je i za   $\triangle OB'A$  . Veliki trougao je sastavljen od šest ovakvih malih, pa ukupna površina jednaka je:

$\Delta =r^{2}\cdot (\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}})$

Spolja pripisani krugovi

Posmatrajmo spoljašnji krug koji odgovara stranici $AB$ koji dodiruje produžetak stranice $AC$ u tački $G$, i označimo njegov poluprečnik sa $r_{c}$ i njegov centar sa $I_{c}$. Tada je $I_{c}G$ visina $\triangle ACI_{c}$, pa $\triangle ACI_{c}$ ima površinu ${\tfrac {1}{2}}br_{c}$.

Slično, $\triangle BCI_{c}$ ima površinu ${\frac {1}{2}}ar_{c}$ i $\triangle ABI_{c}$ ima površinu

${\frac {1}{2}}cr_{c}$.

Iz toga sledi:

$\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}$.

Dakle,

$\Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}$.

Primenom kosinusne teoreme dobijamo:

$\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

Ako iskoristimo i identitet $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$, dobićemo

$\sin \alpha ={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}$

Ali $\Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin \alpha$, pa zato

${\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}$

i ovo je Heronov obrazac.

Kombinovanjem ovoga sa $sr=\Delta$, dobijamo

$r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.$

Slično, $(s-a)r_{a}=\Delta$ daje

$r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}$

i

$r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.$

Iz ovih formula možemo zaključiti da su spolja pripisani krugovi uvek veći od kruga upisanog u trougao, i da je najveći spoljašnji krug onaj koji dodiruje najdužu stranicu trougla, kao i da je najmanji onaj koji dodiruje najkraću stranicu trougla.

Dalje kombinovanje ovih formula donosi nam:

$\Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.$

Odnos površina upisanog kruga i trougla je manji ili jednak ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$, sa jednakošću koja važi samo za jednakostranične trouglove.

Povezane konstrukcije

Žergonova tačka

Žergonova tačka i kontakt trougao

Žergonovu tačku je 1818. godine otkrio francuski matmematičar Žergon(Joseph Diaz Gergonne) , po kome je i dobila ime.

Neka su $T_{A}$, $T_{B}$ i $T_{C}$ dodirne tačke upisanog kruga sa stranicama $BC$,$AC$ i $AB$. Tada su podudarne odgovarajuće tangentne duži:

$T_{C}A$≅$T_{B}A$, $T_{A}B$≅$T_{C}B$ i $T_{A}C$≅$T_{B}C$.

Tada je ${\frac {T_{C}A}{T_{C}B}}\cdot {\frac {T_{A}B}{T_{A}C}}\cdot {\frac {T_{B}C}{T_{B}A}}=1$.

Odavde iz Čevine teoreme se prave $T_{A}A$, $T_{B}B$ i $T_{C}C$ seku u jednoj tački $G_{e}$koja se zove Žergonova tačka trougla, a trougao $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$ se zove kontakt trougao (ili Žergonov trougao) trougla $\triangle ABC$.

Kružnica sa 9 tačaka i Fojerbahova tačka

Ojlerova kružnica ili kružnica sa 9 tačaka je kružnica koja sadrži sledeće tačke:

• Podnožja visina trougla,

• Središta stranica,

• Sredine rastojanja ortocentra trougla od svakog temena.

Pošto postoje po tri tačke od svega navedenog, to je ukupno devet tačaka.

Fojerbahova tačka je tačka u kojoj se dodiruju Ojlerova kružnica i upisana kružnica.

Ojlerov krug i Fojerbahova tačka		Ilustracija Ojlerove kružnice sa devet tačaka

Nagelova tačka

Nagelova tačka i trougao

Nagelova tačka dobila je ime po nemačkom matematičaru Kristijanu Henrihu fon Nagelu(Christian Heinrich von Nagel ), koji je pisao o njoj 1836. godine.

Ako su $D$, $E$ i $F$ tačke dodira spolja pripisanih kružnica sa stranicama $BC$, $CA$ i $AB$, tada se prave $AD$, $BE$, $CF$ seku u tački obeleženoj sa $X$ na slici. Tu tačku nazivamo Nagelova tačka trougla $\triangle ABC$ Trougao formiran od tačaka $D$, $E$ i $F$ naziva se Nagelov trougao.

Trilinearne koordinate Nagelove tačke (po sinusnoj teoremi):

${\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}$.

Jednačine za upisani i spolja pripisane krugove

Trilinearne koordinate predstavljaju neku vrstu odnosa rastojanja posmatrane tačke od stranica u trouglu. Neka su $x:y:z$ trilinearne koordinate i neka je $u=\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}$, $v=\cos ^{2}{\frac {\beta }{2}}$, $w=\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}$. Jednačine za prethodno opisane krugove:

• Upisani krug:

$\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0$

$\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {\beta }{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {\gamma }{2}}=0$

• Spolja pripisani krug koji odgovara temenu $A$:

$\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0$

$\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {\beta }{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {\gamma }{2}}=0$

• Spolja pripisani krug koji odgovara temenu $B$:

$\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0$

$\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {\beta }{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {\gamma }{2}}=0$

• Spolja pripisani krug koji odgovara temenu $C$:

$\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0$

$\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {\beta }{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\frac {\gamma }{2}}=0$

Ojlerova teorema

Prema Ojlerovoj teoremi važi:

$(R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},$

gde su $R$ i $r_{in}$ poluprečnici opisanog i upisanog kruga, respektivno, i $d$ rastojanje između njihovih centara.

Slično:

$(R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},$

gde je $r_{ex}$ poluprečnik pripisanog kruga, i $d$ rastojanje između centara spolja pripisanog i opisanog kruga .

Baricentrički koordinatni sistem

“To što je trima tačkama ravni moguće dodeliti takve težine da bi se zadata četvrta tačka pokazala njihovim centrom, … dovelo me je do nove metode zadavanja tačke u ravni.” -- August Ferdinand Mebijus(August Ferdinand Möbius ).

Baricentrički koordinatni sistem je takav sistem u kome se položaj tačke u ravni određuje u odnosu na trougao(referentni trougao). Koordinate te tačke su određene masama koje treba staviti u temena referentnog trougla da bi ta tačka bila težište trougla.

Neka su $A_{1}$,$A_{2}$,$A_{3}$ tri fiksirane nekolinearne tačke u ravni. Homogene baricentričke koordinate tačke $M$ u ravni predstavlja nenula trojka ($m_{1}:m_{2}:m_{3}$) tako da za proizvoljnu tačku $O$ te ravni važi:

${\vec {OM}}={\frac {1}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}\left(m_{1}\cdot {\vec {OA_{1}}}+m_{2}\cdot {\vec {OA_{2}}}+m_{3}\cdot {\vec {OA_{3}}}\right).$

Ako važi da je $m_{1}+m_{2}+m_{3}=1$ tada je :

${\vec {OM}}=m_{1}\cdot {\vec {OA_{1}}}+m_{2}\cdot {\vec {OA_{2}}}+m_{3}\cdot {\vec {OA_{3}}},$

onda su to (nehomogene) baricentričke koordinate.

Nekoliko značajnih tačaka trougla u baricentričkom kooordinatnom sistemu:

• Centar upisane kružnice

Baricentričke koordinate centra upisane kružnice su $a:b:c$.

• Nagelova tačka

Baricentričke koordinate Nagelove tačke su $(s-a):(s-b):(s-c)$.

• Spolja pripisani krugovi:

1. Baricentričke koordinate spolja pripisanog kruga sa centrom $I_{a}$ su $-a:b:c$.
2. Baricentričke koordinate spolja pripisanog kruga sa centrom $I_{b}$ su $a:-b:c$.
3. Baricentričke koordinate spolja pripisanog kruga sa centrom $I_{c}$ su $a:b:-c$.

Literatura

• Coxeter, H.S.M. "Introduction to Geometry 2nd ed. Wiley, 1961.
• Baker, Marcus, "A collection of formulae for the area of a plane triangle," Annals of Mathematics, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134-138.
• Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", American Mathematical Monthly 115
• Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words," Mathematics Magazine 81(1), February 2008, 58-61.
• Whitworth, William Allen. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866)
• Johnson, R. A. Modern Geometry, Houghton Mifflin, Boston, 1929: pp. 187
• T. Šukilović, S. Vukmirović, Geometrija ѕa informatičare, Matematički fakultet, Beograd. 2015.

Spoljašnje veze

• Centri trougla (jezik: engleski)
• Math world(jezik: engleski)
• Izvođenje formula (jezik: engleski)
• Adamov krug i Žergonova tačka (jezik: engleski)
• Baricentričke koordinate (jezik: engleski)