N-ti koren

U matematici, n-ti koren broja x, gde je n pozitivni ceo broj, je broj r koji, kada se podigne na stepen n daje x

Koreni celih brojeva od 0 do 10. Linije oznake = x. x-osa= n. y-osa = n-ti koren od x.

$r^{n}=x,$

gde je n stepen korena. Koren od stepena 2 se zove kvadratni koren i koren od stepena 3 je kubni koren. Koreni viših stepena se nazivaju pomoću rednog broja kao na primer četvrti koren ili dvadeseti koren itd.

Na primer:

• 2 je kvadratni koren od 4, tako 2² = 4.
• −2 je takođe kvadratni koren od 4, tako (−2)² = 4.

Realan broj ili komleksan broj ima n korena stepena n. Dok, koreni 0 nisu zasebni, svi su izjednačeni sa 0, n n-tog korena bilo kog realnog ili kompleksnog broja su zasebni. Ako je n paran broj i x realan i pozitivan broj, jedan od njegovih n-tih korena je pozitivan, jedan je negativan a ostali ne postoje (u slučaju kada je n = 2) ili kompleksan al ne realan broj; ako je n parno a x je realan i negativan broj, nijedan od njegovih n-tih korena nije realan broj. Ako je n neparan broj i x je realan, jedan od njegovih n-tih korena ima isti znak kao x, dok ostali koreni nisu realni. Konačno, ako x nije realan broj, onda nijedan od njegovih korena nije realan broj.

Koreni se često pišu uz pomoć radikalnih simbola${\sqrt {\,\,}}$ ili $\surd {}$, sa ${\sqrt {x}}\!\,$ ili $\surd x$ označavajući kvadratni koren, ${\sqrt[{3}]{x}}\!\,$ označavajući kubni koren, ${\sqrt[{4}]{x}}$ označavajući četvrti koren i tako dalje. U izrazu ${\sqrt[{n}]{x}}$, n se zove indeks, ${\sqrt {\,\,}}$ je radikalni znak tj koren, i x se zove radikand. Budući da radikalni koren označava funkciju, kada je broj predstavljen ispod radikalnog simbola mora da vrati jednu vrednost, tako ne-negativni realni koren, poznat kao glavni n-ti koren, poželjan više od drugih; ako jedini realni koren je negativan, kao kubni koren od broja –8, ponovo realni koren se smatra realnim korenom. Nerešen koren, specijalno onaj koji koristi radikalni simbol, često se naziva iracionalan ili radikal. Svaki izraz koji sadrži radikal, bilo da je kvadratni koren, kubni koren, ili veći koren, zove se radikalni izraz, a ako ne sadrži transcendentalne funkcije ili transcendentalne brojeve zove se algebarski izraz. 

U računu, koreni se tretiraju kao posebni slučajevi stepenovanja gde je eksponent razlomak:

${\sqrt[{n}]{x}}\,=\,x^{1/n}$

Koreni su praktično važni u teoriji beskonačnih redova; test korena određuje poluprečnik konvergencije stepena reda. N-ti koreni mogu takođe biti definisani za kompleksne brojeve, i kompleksni koren od 1 (koren jedinstva) igra bitnu ulogu u višoj matematici. Galoisova teorija se može koristiti za određivanje koji algebarski brojevi se mogu dobiti korišćenjem korena, i da dokaže Abel-Rufinovu teoremu, koja navodi da opšti polinom jednačina petog stepena i viših, i ne može biti rešen korišćenjem samo korena; ovaj rezultat je poznat kao "nerastvorljivost od kvantika".

Etimologija

Poreklo simbola koren

Poreklo simbola koren √ je u velikoj meri spekulativna. Neki izvori ukazuju da je simbol prvi put upotrebio arapski matematičar. Jedna od tih matematičara je "Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī" (1421–1486). Legenda kaže da je preuzeto iz arapskog pisma "ج" (ǧīm, /dʒim/), koji je prvo slovo u arapskoj reči "جذر" (jadhir, znači "koren"; /ˈdʒir/). Međutim, mnogi naučnici, uključujući i Leonarda Ojlera, veruju da potiče od slova "r", prvo slovo latinske reči "radix" (znači "koren"), ukazuje na istu matematičku operaciju. Simbol je prvi put bio viđen u štampi bez crte (horizontalni "bar" preko brojeva unutar radikalnog simbola) godine 1525 u nem. Die Coss od strane Kristofera Rudolfa, nemačkog matematičara.

Unikod i HTML karakteri kodova za radikalne simbole su:

Čitanje	Karakter	Unikod	ASCII	URL	HTML(ostali)
Kvadratni koren	√	U+221A	√	%E2%88%9A	√
Kubni koren	∛	U+221B	∛	%E2%88%9B
Četvrti koren	∜	U+221C	∜	%E2%88%9C

Etimologija "irasionalnih"

Termin iracionalan vodi poreklo još od el Horezmija (umro. 825), koji se odnosi na racionalne i iracionalne brojeve kao zvučne i bezvučne. Ovo je kasnije dovelo do arapske reči  "أصم" (asamm, što znači "gluv" ili "glup") za iracionalne brojeve koji su bili prevedeni na latinski kao"surdus" (što znači"gluv" ili "nem"). Gerard od Kremona (v. 1150), Fibonači (1202), i onda Robert Rekord (1551) svi su koristili termin koji se odnosi na nerešene iracionalne korene.

Definicija i obeležavanje

Četvrti koren od -1, nijedan nije realan

Tri treća korena od −1, jedan od njih je realan negativno

N-ti koren broja x, gde je n pozitivan ceo broj, je bilo koji od n realnih ili kompleksnih brojeva r čiji n-ti stepen je x:

$r^{n}=x.\!\,$

Svaki pozitivni realan broj x ima jedan pozitivan n-ti koren, koji se naziva osnovni n-ti koren, i piše se kao ${\sqrt[{n}]{x}}$. Za n jednako 2 ovo se naziva osnovni kvadratni koren i n je izostavljeno. N-ti koren može biti predstavljen i preko stepenovanja kao x^1/n.

Za parne vrednosti n, pozitivni brojevi takođe imaju negativne n-te korene, dok negativni brojevi nemaju realne n-te korene. Za neparne vrednosti n, svaki negativan broj x ima realni negativni n-ti koren. Na primer, −2 ima realni 5-i koren, ${\sqrt[{5}]{-2}}\,=-1.148698354\ldots$ ali −2 nema nijedan realni 6-i koren.

Svaki ne-nula broj x, realna ili kompleksna, ima n različitih kompleksnih brojeva n-tog korena uključujući bilo pozitivan ili negativan koren. Oni su svi različiti, osim u slučaju x = 0, svi čiji n-ti koreni su jednaki  0.

N-ti koreni skoro svih brojeva (svi celi brojevi osim n-tih stepena, i svi racionalni osim količnika dva n-ta stepena) su iracionalni. Na primer,

${\sqrt {2}}=1.414213562\ldots$

Svi n-ti koreni celih brojeva su algebarski brojevi.

Kvadratni koreni

Kvadratni koren broja x je broj koji kada se kvadrira daje broj  x:

$r^{2}=x.\!\,$

Svaki pozitivan realni broj ima dva kvadratna korena, jedan pozitivan i jedan negativan. Na primer, dva kvadratna korena od 25 su 5 i -5. Pozitivan kvadratni koren je takođe poznat kao osnovni kvadratni koren, i označen je sa radikalnim znakom:

${\sqrt {25}}=5.\!\,$

Pošto je kvadrat svakog realnog broja pozitivan realan broj, negativni brojevi nemaju pravi kvadratni koren. Međutim, svaki negativan broj ima dva imaginarna kvadratna korena. Na primer, kvadratni koren od −25 su 5i i −5i, gde i predstavlja kvadratni koren od −1.

Kubni koren

Kubni koren broja x je broj r koji kada se podigne na kub daje broj x:

$r^{3}=x.\!\,$

Svaki realni broj x ima tačno jedan pravi kubni koren, napisan ${\sqrt[{3}]{x}}$. Na primer,

${\sqrt[{3}]{8}}\,=\,2\quad {\text{and}}\quad {\sqrt[{3}]{-8}}\,=-2.$

Svaki realan broj ima dva dodatna kompleksna kubna korena. 

Identiteti i svojstva

Svaki pozitivan realan broj ima pozitivan n-ti koren i pravila za rad sa takvima su jasna:

${\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\,,$

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\,.$

Korišćenjem forme stepena kao $x^{1/n}$ normalno olakšava poništavanje stepena i korena.

${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left(a^{m}\right)^{\frac {1}{n}}=a^{\frac {m}{n}}.$

Problem može da nastane kada imamo n-ti koren negativnog ili kompleksnog broja. Na prime:

${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=-1$

gde je 

${\sqrt {(-1)\times (-1)}}=1$

kada se uzme glavna vrednost korena. 

Pojednostavljena forma radikalnog izraza

Ne-uklopljeni radikalni izraz je u pojednostavljenom obliku ako

1. Nema faktor radikanda koji se može napisati kao stepen veći ili jednak indeksu.
2. Ne postoje frakcija pod radikalnim znakom.
3. Ne postoje ostaci u imeniocu.

Na primer, da bismo napisali izraz korena ${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}$ u pojednostavljenom obliku, možemo nastaviti na sledeći način. Prvo, tražiti savršen kvadrat ispod korena i ukloniti ga:

${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\cdot 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}$

Zatim, postoji deo pod radikalnim znakom, koji se menja na sledeći način:

$4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}$

Na kraju, mi uklanjamo ostatak iz imenioca na sledeći način:

${\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}$

Kada postoji imenilac koji uključuje koren, uvek je moguće pronaši neki broj kojim ćemo pomnožiti i imenilac i brojilac sa sličnim izrazom. Na primer pomoću faktorizacije:

${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}})({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}})}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}\,.$

Pojednostavljenje radikalnog izraza koji uključuju umetnute radikale može biti prilično teško. Nije odmah jasno na primer, da: 

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}$

Gore navedena sredstva mogu se izvesti putem:

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {(1+{\sqrt {2}})^{2}}}=1+{\sqrt {2}}$

Beskonačni redovi

Koreni mogu predstavljati beskonačne redove:

$(1+x)^{s/t}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}$

sa $|x|<1$. Ovaj izraz može da se izvede iz binomnih redova. 

Računanje osnovnih korena

N-ti koren celog broja nije uvek ceo broj, i ako nije ceo broj onda nije ni racionalan broj. Na primer, peti koren broja 34

${\sqrt[{5}]{34}}=2.024397458\ldots ,$

gde tačke označavaju da se decimalni izraz ne završava posle bilo koje konačne cifre brojeva. Budući da u ovom primeru cifre posle decimale nikada ne ulaze u obrazac ponavljanja, broj je iracionalan.

n-ti koren algoritma

N-ti koren broja A može biti izračunan uz pomoć n-tog korena algoritma, specijalnog slučaja Njutnove metode.  Počnite sa početnom pretpostavkom x₀ a zatim ponoviti korišćenjem ponavljanja odnosa 

$x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right)$

dok se željena preciznost ne postigne.

U zavisnosti od primene, može biti dovoljno koristiti samo prvi Njutnov aproksimat:

${\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}\approx x+{\frac {y}{nx^{n-1}}}.$

Na primer, da bi našli peti koren broja 34, napomenuti da 2⁵ = 32 i na taj način se x = 2, n = 5 i y = 2 u gornjoj formuli. Ovo daje 

${\sqrt[{5}]{34}}={\sqrt[{5}]{32+2}}\approx 2+{\frac {2}{5\cdot 16}}=2.025.$

Greška u približavanju je samo oko 0.03%.

Njutnova metod može biti modifikovana da proizvede generalizovani neprekidni razlomak za n-ti koren koji se može modifikovati na različite načine kao što je opisano u tom članku. Na primer: 

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}};$

${\sqrt[{n}]{z}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{n(2z-y)-y-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-1)y^{2}}{3n(2z-y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-1)y^{2}}{5n(2z-y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-1)y^{2}}{7n(2z-y)-\ddots }}}}}}}}.$

U slučaju petog korena od 34 iznad (posle deljenja zajedničkih faktora)

${\sqrt[{5}]{34}}=2+{\cfrac {1}{40+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {6}{120+{\cfrac {9}{4+{\cfrac {11}{200+{\cfrac {14}{4+\ddots }}}}}}}}}}}}=2+{\cfrac {4\cdot 1}{165-1-{\cfrac {4\cdot 6}{495-{\cfrac {9\cdot 11}{825-{\cfrac {14\cdot 16}{1155-\ddots }}}}}}}}.$

Proračun cifre-po-cifre osnovnih korena decimala (baze 10) brojeva

Oslanjajući se na cifra-po-cifra izračunavanje kvadratnog korena, može se videti da je formula korišćena tamo, $x(20p+x)\leq c$, ili $x^{2}+20xp\leq c$, sledila obrazac koji uključuje Paskalov trougao. Za n-ti koren broja  $P(n,i)$ se definiše kao vrednost elementa $i$ u nizu $n$ Paskalovog trougla, takva da $P(4,1)=4$, mi možemo da transformišemo izraz kao$\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}$. Radi lakšeg snalaženja, pozovite rezultat ovog izraza $y$. Korišćenjem ovog opštijeg izraza, bilo koji pozitivni osnovni koren može da se izračuna, cifra po cifra, kao što sledi .

Napišite originalni broj u decimalnom obliku. Brojevi su napisani slično algoritmu dugog deljenja, i, kao u dugoj podeli, koren će biti napisan na liniji iznad. Sada razdvoji cifre u grupe cifara izjednačavanjem do korena koji se preduzima, počevši od decimalnog zareza i idi i levo i desno. Decimalne tačke korena će biti iznad decimalnog zareza kvadrata. Jedna cifra korena će se pojaviti iznad svake grupe cifara originalnog broja. 

Počevši sa leve-naj grupe cifara, uradite sledeći postupak za svaku grupu:

1. Počevši sa leve strane, obori najznačajniju (skroz levo) grupu cifara koja nije korišćena (ako se koriste sve cifre, piši "0" koliko puta je neophodno za uspostavljanje grupe) i pisati ih nadesno od ostatka iz prethodnog koraka (na prvom koraku, neće biti ostataka). Drugim rečima, pomnožite ostatak od $10^{n}$ i dodajte cifre od sledeće grupe. To će biti trenutna vrednost s. 
2. Pronađite p i x, na sledeći način:
   • Neka $p$ bude deo korena do sada pronađenih, ignorišući bilo koje decimalne tačke. (Za prvi korak, $p=0$).
   • Odrediti najveću cifru $x$ tako da je  $y\leq c$.
   • Postavite cifru $x$ kao sledeću cifru korena, iznad grupe cifara samo svedene. Tako sledeće p će biti staro p puto 10 plus x.
3. Oduzeti $y$ od $c$ da formirate novi podsetnik.
4. Ako je ostatak nula, a nema više cifara da se sruše, onda algoritam je prekinut. U suprotnom se vratite na korak 1 za drugu iteraciju. 

Primeri

Pronađi kvadratni koren broja 152.2756.

          1  2. 3  4 
       /
     \/  01 52.27 56

         01                   100·1·00·12 + 101·2·01·11     ≤      1   <   100·1·00·22   + 101·2·01·21         x = 1
         01                      y = 100·1·00·12   + 101·2·01·12   = 1 +    0   = 1
         00 52                100·1·10·22 + 101·2·11·21     ≤     52   <   100·1·10·32   + 101·2·11·31         x = 2
         00 44                   y = 100·1·10·22   + 101·2·11·21   = 4 +   40   = 44
            08 27             100·1·120·32 + 101·2·121·31   ≤    827   <   100·1·120·42  + 101·2·121·41        x = 3
            07 29                y = 100·1·120·32  + 101·2·121·31  = 9 +  720   = 729
               98 56          100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 ≤   9856   <   100·1·1230·52 + 101·2·1231·51       x = 4
               98 56             y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840   = 9856
               00 00          Алгоритам престаје: Одговор је 12.34

Pronađi kubni koren broja 4192 do najbliže stotine.

        1   6.  1   2   4
 3  /
  \/  004 192.000 000 000

      004                      100·1·00·13    +  101·3·01·12   + 102·3·02·11    ≤          4  <  100·1·00·23     + 101·3·01·22    + 102·3·02·21     x = 1
      001                         y = 100·1·00·13   + 101·3·01·12   + 102·3·02·11   = 1 +      0 +          0   = 1
      003 192                  100·1·10·63    +  101·3·11·62   + 102·3·12·61    ≤       3192  <  100·1·10·73     + 101·3·11·72    + 102·3·12·71     x = 6
      003 096                     y = 100·1·10·63   + 101·3·11·62   + 102·3·12·61   = 216 +  1,080 +      1,800   = 3,096
          096 000              100·1·160·13   + 101·3·161·12   + 102·3·162·11   ≤      96000  <  100·1·160·23   + 101·3·161·22   + 102·3·162·21    x = 1
          077 281                 y = 100·1·160·13  + 101·3·161·12  + 102·3·162·11  = 1 +    480 +     76,800   = 77,281
          018 719 000link=|class=skype_c2c_logo_img|0x0px018 719 000          100·1·1610·23  + 101·3·1611·22  + 102·3·1612·21  ≤   18719000  <  100·1·1610·33  + 101·3·1611·32  + 102·3·1612·31   x = 2
              015 571 928link=|class=skype_c2c_logo_img|0x0px015 571 928         y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 = 8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
              003 147 072 000  100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000  <  100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51  x = 4
                               Жељена прецизност се постиже:
                               Кубни корен 4192 је око 16.12

Logaritmičko izračunavanje

Osnovni n-ti koren pozitivnog broja može biti izračunat korišćenjem logaritma. Počinje od jednačine koja definiše r kao n-ti koren x, $r^{n}=x,$ sa x pozitivnim i stoga je njen glavni koren r takođe pozitivan, jedan uzima logaritam sa obe strane (bilo koji logaritam će uraditi; baza 10 se koristi) da dobije

$n\log _{10}r=\log _{10}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{10}r={\frac {\log _{10}x}{n}}.$

Koren r je regenerisan iz toga preuzmanjem antiloga: 

$r=10^{\frac {\log _{10}x}{n}}.$

Za slučaj u kojem je x negativno i n neparno, postoji jedan realan koren r koji je takođe negativan. Ovo se može naći prvo množenjem obe strane definisane jednačine –1 da se dobije $|r|^{n}=|x|,$ zatim nastavlja kao i pre da pronađe |r|, i koristi r = –|r|.

Geometrijska konstrukcija

Starogrčki matematičari znali su kako da koriste kompas i lenjir da izgradi dužinu jednaku kvadratnom korenu date dužine. 1837 Pjero Vancel dokazao je da n-ti koren date dužine ne može biti izgrađen ako je n > 2.

Kompleksni koreni

Svaki kompleksni broj osim 0 ima n različitih n-tih korena.

Kvadratni koren

Kvadratni koren od i

Dva kvadratna korena kompleksnog broja su uvek negativna jedna od drugog. Na primer, kvadratni koren broja -4 je 2i i −2i, a kvadratni koreni od i su

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).$

Ako se izražavaju kompleksni brojevi u polarnom obliku, onda se koren može dobiti uzimajući kvadratni koren radijusa i prepolovljenog ugla:

${\sqrt {re^{i\theta }}}\,=\,\pm {\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2}.$

Osnovni koren kompleksnog broja može biti izabran na različite načine, na primer 

${\sqrt {re^{i\theta }}}\,=\,{\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2}$

koji predstavlja isečenu granu u kompleksnoj ravni duž pozitivne realne ose uz uslov  0 ≤ θ < 2π, ili duž negativne realne ose sa −π < θ ≤ π.

Koristeći prvu (poslednju) isečenu granu osnovnog kvadratnog korena $\scriptstyle {\sqrt {z}}$ mapira $\scriptstyle z$ na pola osnove sa ne-nagativnim imaginarnim delom. Poslednji ogranak pretpostavljen u matematičkom softveru kao što su MATLAB i SCILAB.

Koreni jedinice

Tri treća korena od 1

Broj 1 ima n različitih n-tih korena u kompleksnoj ravni, odnosno

$1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},$

gde

$\omega \,=\,e^{2\pi i/n}\,=\,\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)$

Ovi koreni su ravnomerno raspoređeni po jedinici kruga u kompleksnoj ravni, na uglovima koji su pomnoženi sa  $2\pi /n$. Na primer, kvadratni koreni jedinice je 1 i −1, i četvrti koreni jedinice su 1, $i$, −1, i $-i$.

n-ti koreni

Svaki kompleksni broj ima n različitih n-tih korena u kompleksnom obliku. To su 

$\eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},$

gde je η jedan n-ti koren, i 1, ω, ω², ... ωⁿ⁻¹ su n-ti koreni jedinstva. Na primer, četiri različita četvrta korena broja 2 su

${\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.$

U polarnom obliku, jedan n-ti koren može biti dobijen uz pomoć formule

${\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}\,=\,{\sqrt[{n}]{r}}\,e^{i\theta /n}.$

Ovde r je magnituda (modul, takođe se naziva apsolutna vrednost) broja čiji koren se preduzima; ako broj se može napisati kao  a+bi onda $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. Takođe, $\theta$ je ugao formiran kao jedan stožera porekla kazaljke na satu od pozitivne horizontalne ose zraka koji ide od porekla na broj; on ima svojstva koja

$\cos \theta =a/r,$  $\sin \theta =b/r,$ и $\tan \theta =b/a.$

Tako pronalaženje n-tog korena u kompleksnoj ravni može biti segmentisano u dva koraka. Prvo, magnituda svih n-tih korena je n-ti koren magnitude svih originalnih brojeva. Drugo, ugao između pozitivne horizontalne ose i niza porekla jednog od n-tih korena je $\theta /n$, gde $\theta$ je ugao koji je definisan na isti način za broj čiji je koren uzet. Dalje, svi n n-tih korena  of the nth roots su jenjdnako razmaknuti uglovi, jedno od drugih.

Ako n je parno, kompleksni brojevi n-tih korena od kojih ima paran broj, dolazi u aditivnom paru inverznom, tako da ako je broj r₁ jedan od n-tih korena r₂ = –r₁ je drugi. To je zato što podizanje koeficijenta istoga –1 na n-ti stepen za parno n daje 1: to je, (–r₁)ⁿ = (–1)ⁿ × r₁ⁿ = r₁ⁿ.

Kao sa kvadratnim korenom, formula iznad ne definiše neprekidnu funkciju preko ulazne komplekse ravni, ali umesto toga ima isečenu granu u tačkama gde je θ / n je nepovezano.

Rešavanje polinoma

Jednom je naslućeno da bi sve jednačine  polinoma bile rešene algebarski (to je, da bi se svi koreni polinoma izrazili u konačnom broju radikala i osnovnih operacija). Međutim, iako to važi i za polinome trećeg stepena (kubne) i četvrtog stepena polinome, Abel - Rufini teorema (1824) pokazuje da to nije tačno uopšte kada je stepen 5 ili veći. Na primer, rešenje jednačine 

$x^{5}=x+1\,$

ne može biti izraženo u smislu radikala (funkcija)

Vidi još

• N-ti koren algoritma
• Iracionalan broj
• Algebarski broj
• Dvanaesti koren od 2
• Tetracija

Literatura

• Bansal, R K (2006). New Approach to CBSE Mathematics IX. Laxmi Publications. str. 25. ISBN 978-81-318-0013-3.