Papos

Papos (grč. Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς, ?-III veka n. e.), grčki matematičar iz Aleksandrije, pisac Matematičkog zbornika u 8 knjiga (sačuvano 6), u kojima su sačuvana dostignuća starih grčkih matematičara i astronoma, kao i radovi samog Paposa (Paposove geometrijske teoreme, i dr.)

Mathematicae collectiones, 1660

Konkteks

Papos je bio aktivan u 4. veku nove ere. U periodu opšte stagnacije u matematičkim studijama, on se ističe kao izuzetan izuzetak. „Koliko je bio daleko iznad svojih savremenika, koliko su ga malo cenili ili razumeli, pokazuje odsustvo referenci na njega u radovima drugih grčkih pisaca i činjenica da njegov rad nije imao efekta u zaustavljanju propadanja matematičke nauke“, Tomas Litl Hit piše. „U tom pogledu sudbina Paposa upadljivo podseća na Diofantovu.

Datiranje

U svojim sačuvanim spisima, Papos ne daje nikakve naznake o datumu autora čija dela koristi, niti o vremenu (ali videti ispod) kada ih je on sam pisao. Da nisu bili dostupni drugi podaci o datumu, sve što bi se moglo znati bilo bi da je bio kasnije od Ptolomeja (umro oko 168. godine), koga citira, i ranije od Prokla (rođen oko  411. godine), koji ga citira.

Suda iz 10. veka navodi da je Papos bio istih godina kao i Teon Aleksandrijski, koji je bio aktivan u vreme vladavine cara Teodosija I (372–395). Drugi datum daje marginalna beleška u rukopisu iz kasnog 10. veka (kopija hronološke tabele istog Teona), u kojoj se, pored zapisa o caru Dioklecijanu (vladao 284–305), navodi da „u to vreme pisao Papos“.

Međutim, pravi datum potiče od datiranja pomračenja Sunca koje je pominjao sam Papos, kada u svom komentaru na Almagest izračunava „mesto i vreme konjunkcije koja je dovela do pomračenja u Tibiju 1068. posle Nabonasara“. Ovo funkcioniše kao 18. oktobar 320. godine, tako da je Papos morao da piše oko 320. godine.

Radovi

Veliko Paposovo delo, u osam knjiga pod nazivom Sinagoga ili Zbirka, nije sačuvano u potpunosti: prva knjiga je izgubljena, a ostale su znatno stradale. Suda nabraja druga dela Paposa: Χωρογραφία οἰκουμενική (Chorographia oikoumenike ili Opis naseljenog sveta), komentar na četiri knjige Ptolemejevog Almagesta, Ποταμοὺς τοὺς ἐν Λιβύῃ (Reke u Libiji) i Ὀνειροκριτικά (Interpretacija snova). Sam Papos pominje još jedan svoj komentar na Ἀνάλημμα (Analema) Diodora Aleksandrijskog. Papos je takođe napisao komentare na Euklidove Elemente (od kojih su fragmenti sačuvani u Proklu i Šoliji, dok je onaj o desetoj knjizi pronađen u arapskom rukopisu), i na Ptolomejevu Ἁρμονικά (Harmonika).

Federiko Komandino je preveo Paposovu zbirku na latinski 1588. Nemački klasičar i istoričar matematike Fridrih Hultš (1833–1908) objavio je definitivnu trotomnu prezentaciju Komandinovog prevoda sa grčkom i latinskom verzijom (Berlin, 1875–1878). Koristeći se Hulčevim radom, belgijski istoričar matematike Paul ver Ecke je prvi objavio prevod Zbornika na savremeni evropski jezik; njegov dvotomni francuski prevod nosi naslov Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique (Pariz i Briž, 1933).

Kolekcija

Karakteristike Paposove zbirke su da sadrži sistemski raspoređen prikaz najvažnijih rezultata koje su njegovi prethodnici dobili, i drugo, beleške koje objašnjavaju ili proširuju prethodna otkrića. Ova otkrića čine, zapravo, tekst koji Papos diskurzivno proširuje. Hit je smatrao da su sistematski uvodi u različite knjige vredni, jer su oni jasno izložili sadržaj i opšti obim tema koje treba tretirati. Iz ovih uvoda može se suditi o stilu Paposovog pisanja, koji je odličan, pa čak i elegantan u trenutku kada se oslobodi okova matematičkih formula i izraza. Hit je takođe otkrio da je njegova karakteristična tačnost učinila da njegova Zbirka bude „zamena koja najviše vredi divljenja za tekstove mnogih vrednih rasprava ranijih matematičara kojih nas je vreme lišilo“.

Preživeli delovi Zbirke mogu se sažeti na sledeći način.

Može se samo pretpostaviti da se izgubljena Knjiga I, kao i knjiga II, bavila aritmetikom, dok je Knjiga III jasno predstavljena kao početak novog predmeta.

U celoj Knjizi II (čiji je prethodni deo izgubljen, a postojeći fragment počinje sredinom 14. predloga) govori se o metodu umnožavanja iz neimenovane knjige Apolonija iz Perge. Konačni predlozi se bave množenjem numeričkih vrednosti grčkih slova u dva stiha, dajući dva veoma velika broja približno jednaka 7054200000000000000♠2×10⁵⁴ i 7038199999999999999♠2×10³⁸.

Knjiga III sadrži geometrijske probleme, ravni i čvrstih tela. Može se podeliti u pet delova:

1. O čuvenom problemu pronalaženja dve srednje proporcije između dve date prave, koji je nastao iz umnožavanja kocke, koju je Hipokrat sa Hiosa sveo na prvu. Papos daje nekoliko rešenja ovog problema, uključujući metod uzastopnih aproksimacija rešenja, čiji značaj očigledno nije shvatio; on dodaje sopstveno rešenje opštijeg problema geometrijskog pronalaženja stranice kocke čiji je sadržaj u bilo kom datom odnosu prema onom date.
2. O aritmetičkoj, geometrijskoj i harmonijskoj sredini između dve prave i problemu predstavljanja sve tri vrednosti u jednoj te istoj geometrijskoj figuri. Ovo služi kao uvod u opštu teoriju srednjih vrednosti, od kojih Papos razlikuje deset vrsta, i daje tabelu koja predstavlja primere svake u celim brojevima.
3. O neobičnom problemu koji je predložio Euklid I. 21.
4. O upisivanju svakog od pet pravilnih poliedara u sferu. Ovde je Papos primetio da se pravilan dodekaedar i pravilan ikosaedar mogu upisati u istu sferu tako da svi njihovi vrhovi leže na ista 4 kruga geografske širine, sa 3 od 12 vrhova ikosaedra na svakom krugu i 5 od 20 vrhova dodekaedra na svakom krugu. Ovo zapažanje je generalizovano na višedimenzionalne dualne politope.
5. Dodatak kasnijeg pisca o drugom rešenju prvog problema knjige.

Četvrtoj knjizi su naslov i predgovor izgubljeni, tako da se program mora dokučiti iz same knjige. Na početku je dobro poznata generalizacija Euklida I.47 (Paposova teorema o površini), zatim slede različite teoreme o krugu, što dovodi do problema konstrukcije kruga koji će opisati tri zadate kružnice, dodirujući jedna drugu dve i dve. Ovaj i nekoliko drugih predloga o kontaktu, npr. slučajevi krugova koji se dodiruju jedan drugog i upisani su u figuru sačinjenu od tri polukruga i poznatu kao arbelos („obućarski nož“) čine prvi deo knjige; Papos se zatim okreće razmatranju određenih svojstava Arhimedove spirale, Nikomedove konhoide (koja je već pomenuta u prvoj knjizi kao metoda udvostručavanja kocke), i krive koju je najverovatnije otkrio Hipija iz Elide oko 420. godine pre nove ere, a poznat po imenu, τετραγωνισμός, ili kvadrat. Propozicija 30 opisuje konstrukciju krive dvostruke zakrivljenosti koju je Papos nazvao spiralom na sferi; opisana je tačkom koja se ravnomerno kreće duž luka velikog kruga, koja se i sama ravnomerno okreće oko svog prečnika, tačka koja opisuje kvadrant i veliki krug potpunu revoluciju u isto vreme. Pronađena je površina površine između ove krive i njene osnove – prvi poznati primer kvadrature zakrivljene površine. Ostatak knjige obrađuje trisekciju ugla i rešavanje opštijih problema iste vrste pomoću kvadratrikse i spirale. U jednom rešenju prvog problema je prva zabeležena upotreba svojstva konike (hiperbole) u odnosu na fokus i direktrisu.

U Knjizi V, nakon zanimljivog predgovora koji se tiče pravilnih mnogouglova, i koji sadrži napomene o heksagonalnoj formi ćelija saća, Papos se bavi upoređivanjem površina različitih ravnih figura koje imaju isti perimetar (prateći Zenodorovu raspravu o ovom predmetu), i zapremine različitih čvrstih figura koje imaju istu površnu površinu, i na kraju stoji poređenje pet pravilnih Platonovih tela. Uzgred, Papos opisuje trinaest drugih poliedara ograničenih jednakostranim i jednakougaonim, ali ne sličnim poligonima, koje je otkrio Arhimed, i pronalazi, metodom koja podseća na Arhimedovu, površinu i zapreminu sfere.

Prema predgovoru, Knjiga VI ima za cilj da reši poteškoće koje se javljaju u takozvanim „Manjim astronomskim delima“ (Μικρὸς Ἀστρονοµούµενος), odnosno delima koja nisu Almagest. U skladu s tim komentariše Teodosijevu Sferiku, Autolikovu Pokretnu sferu, Teodosijevu knjigu o Danu i noći, Aristarhovu raspravu O veličini i udaljenostima Sunca i Meseca i Euklidovu Optiku i Fenomene.

Literatura

• Heath, Thomas Little (1911). „Porism”. Ur.: Chisholm, Hugh. Encyclopædia Britannica (na jeziku: engleski). 22 (11 izd.). Cambridge University Press. str. 102—103. CS1 održavanje: Datum i godina (veza)
• Jones, Alexander (1986a). „part 1: introduction, text, translation”. Book 7 of the Collection. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96257-3. 
  • Jones, Alexander (1986b). „part 2: commentary, index, figures”. Book 7 of the Collection. Springer-Verlag. ISBN 3-540-96257-3. 
• Milne, John J. (1911). An Elementary Treatise on Cross-Ratio Geometry with Historical Notes. Cambridge University Press. str. 11. 
• Ovaj članak uključuje tekst iz publikacije koja je sada u javnom vlasništvu: Heath, Thomas Little (1911). „Pappus of Alexandria”. Ur.: Chisholm, Hugh. Encyclopædia Britannica (na jeziku: engleski). 20 (11 izd.). Cambridge University Press. str. 470—471. 
• Jones, Alexander Raymond (19. 1. 2017). „Pappus of Alexandria”. Encyclopædia Britannica. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• „Pappus of Alexandria (lived c. AD 200–350)”. The Hutchinson Dictionary of Scientific Biography. Helicon Publishing. 2004. „Greek mathematician, astronomer, and geographer whose chief importance lies in his commentaries on the mathematical work of his predecessors” 
• Eecke, Paul Ver (1933). Pappus d'Alexandrie: La Collection Mathématique avec une Introduction et des Notes (2 volumes Fondation Universitaire de Belgique izd.). Paris: Albert Blanchard. 
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd izd.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 123930 
• Cronheim, A. (1953), „A proof of Hessenberg's theorem”, Proceedings of the American Mathematical Society, 4 (2): 219—221, JSTOR 2031794, doi:10.2307/2031794 
• Dembowski, Peter (1968), Finite Geometries, Berlin: Springer Verlag 
• Heath, Thomas (1981) [1921], A History of Greek Mathematics, New York: Dover 
• Hessenberg, Gerhard (1905), „Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen”, Mathematische Annalen, Berlin / Heidelberg: Springer, 61 (2): 161—172, ISSN 1432-1807, S2CID 120456855, doi:10.1007/BF01457558 
• Hultsch, Fridericus (1877), Pappi Alexandrini Collectionis Quae Supersunt, Berlin 
• Kline, Morris (1972), Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, New York: Oxford University Press 
• Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2019), „The axiomatic destiny of the theorems of Pappus and Desargues”, Ur.: Dani, S. G.; Papadopoulos, A., Geometry in history (3), Springer, str. 355—399, ISBN 978-3-030-13611-6 
• Whicher, Olive (1971), Projective Geometry, Rudolph Steiner Press, ISBN 0-85440-245-4 
• Guldin, Paul (1640). De centro gravitatis trium specierum quanitatis continuae. 2. Vienna: Gelbhaar, Cosmerovius. str. 147. Pristupljeno 2016-08-04. 
• Radelet-de Grave, Patricia (2015-05-19). „Kepler, Cavalieri, Guldin. Polemics with the departed”. Ur.: Jullien, Vincent. Seventeenth-Century Indivisibles Revisited. Science Networks. Historical Studies. 49. Basel: Birkhäuser. str. 68. ISBN 978-3-3190-0131-9. ISSN 1421-6329. doi:10.1007/978-3-319-00131-9. hdl:2117/28047. Pristupljeno 2016-08-04. 

Spoljašnje veze

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Papos”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.