Periodični niz

U matematici, periodični niz (ponekad se naziva ciklus) je niz kod koga se isti članovi ponavljaju iznova i iznova:

a₁, a₂, ..., a_p,  a₁, a₂, ..., a_p,  a₁, a₂, ..., a_p, ...

Broj p ponovljenih članova se naziva period (period)

Definicija

Periodični niz je niz a₁, a₂, a₃, ... koji zadovoljava

a_n+p = a_n

za sve vrednosti n. Ako posmatramo nizove kao funkcije čiji domen je skup prirodnih brojeva, onda je periodični niz jednostavno posebna vrsta periodične funkcije.

Primeri

Redosled cifara u decimalnom proširenju od 1/7 je periodičan sa periodom od šest:

1:7=0,142857142857142857...

Generalno, redosled cifara u decimalnom proširenju bilo kog racionalnog broja je na kraju periodičan (vidi dole).

Redosled stepena -1 je periodičan sa periodom dva:

−1, +1, −1, +1, −1, +1, ...

Generalno, redosled stepena bilo kog korena jedinstva je periodičan. Isto važi i za stepen bilo kog elementa konačnog reda u grupi. 

Periodična tačka za funkciju ƒ: X → X je tačka p čija je orbita

$p,\,f(p),\,f(f(p)),\,f^{3}(p),\,f^{4}(p),\,\ldots$

periodični niz. Periodične tačke su važne za teoriju dinamičkog sistema. Svaka funkcija iz konačnog skupa u sebi ima periodičnu tačku; detekcija ciklusa je algoritamski problem pronalaženja takve tačke.

Periodični 0, 1 nizovi

Svaki periodični niz može biti konstruisan mudrim sabiranjem elemenata, oduzimanjem, množenjem i deljenjem periodičnog niza koji se sastoji od nula i jedinica. Periodična nula i jedinica niza mogu biti predstavljene kao zbir trigonometrijskih funkcija:

$\sum _{k=1}^{k=1}\cos(-2\pi {\frac {n(k-1)}{1}})/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1...$

$\sum _{k=1}^{k=2}\cos(-2\pi {\frac {n(k-1)}{2}})/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0...$

$\sum _{k=1}^{k=3}\cos(-2\pi {\frac {n(k-1)}{3}})/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...$

$...$

$\sum _{k=1}^{k=N}\cos(-2\pi {\frac {n(k-1)}{N}})/N=0,0,0...,1{\text{ sequence with period }}N$

Generalisanja

Niz je konačno periodičan ako može biti napravljen periodičnim odbacivanjem nekog konačnog broja članova od početka. Na primer, niz cifara decimalnog razvoja od 1/56 je konačno periodičan:

1 / 56 = 0 . 0 1 7  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  ...

Niz je asimptotski periodičan ako se njegovi članovi približavaju ovom periodičnom nizu. To znači da je niz x₁, x₂, x₃, ... asimptotski periodičan ako postoji periodični niz a₁, a₂, a₃, ... za koji važi

$\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.$

Na primer, niz

1 / 3,  2 / 3,  1 / 4,  3 / 4,  1 / 5,  4 / 5,  ...

je asimptotski periodičan, kako se njegovi članovi približavaju periodičnom nizu  0, 1, 0, 1, 0, 1, ....