Prirodni logaritam

Prirodni logaritam je logaritam za osnovu e, gde je e iracionalna konstanta približno jednaka 2,718281828459. Prostim rečima, prirodni logaritam broja x je stepen na koji treba da dignemo e, da bi ono bilo jednako x — na primer, prirodni logaritam od samog e je 1, jer je e¹ = e, dok je prirodni logaritam od 1 jednak 0, jer je e⁰ = 1. Prirodni logaritam je definisan za sve pozitivne realne brojeve.

Grafik funkcije prirodnog logaritma. Funkcija brzo teži minus beskonačno kada x teži 0, ali sporo raste do plus beskonačno kako se x povećava.

Funkcija prirodnog logaritma se takođe može definisani kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije, što daje identitete:

$e^{\ln(x)}=x\qquad {\mbox{if }}x>0\,\!$

$\ln(e^{x})=x.\,\!$

Drugim rečima, logaritamska funkcija je bijekcija se skupa pozitivnih realnih brojeva u skup realnih brojeva. Preciznije, to je izomorfizam iz grupe pozitivnih realnih brojeva u odnosu na množenje u grupu realnih brojeva u odnosu na sabiranje. Zapisano kao funkcija:

$\ln :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$

Logaritmi se mogu definisati za bilo koju pozitivnu osnovu osim 1, ne samo za broj e, i korisni su za rešavanje jednačina u kojima se nepoznata pojavljuje u eksponentu.

Zašto se naziva prirodnim

Na prvi pogled, pošto najčešće koristimo brojevni sistem sa osnovom 10, broj 10 može da izgleda kao prirodnija osnova od e. Ali matematički, broj 10 nije od posebne važnosti. Njegova važnost je kulturološka, jer je osnova za brojevne sisteme mnogih ljudskih društava usled toga što je to uobičajen broj prstiju na rukama kod ljudi. Međutim, u raznim kulturama su se javljali brojevni sistemi sa raznim osnovama, kao što su 5, 20, i 60.

Log_e je prirodni logaritam, jer se jako često javlja u matematici. Na primer, uzmimo problem diferenciranja logaritamske funkcije:

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {\log _{b}(e)}{x}}={\frac {1}{\ln(b)x}}$

Ako je osnova b jednaka e, onda je izvod prosto 1/x, a ako za x = 1 ovaj izvod je jednak 1. Još jedan smisao u kome je logaritam sa osnovom e najprirodniji je da može vrlo jednostavno da se definiše u terminima prostog integrala ili Tejlorovog reda, a ovo nije slučaj za ostale logaritme.

Postoji još razloga zašto se ova osnova naziva prirodnom, a koje ne koriste matematičku analizu. Na primer, postoji više prostih redova koji uključuju prirodni logaritam. Štaviše, Pjetro Mengoli i Nikolas Merkator su ga nazivali logarithmus naturalis nekoliko decenija pre nego što su Njutn i Lajbnic razvili analizu.

Osobine

• $\ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {za}}\quad 0<x<y\;$
• ${\frac {h}{1+h}}\leq \ln(1+h)\leq h\quad {\rm {za}}\quad h>-1\;$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1.\,$

Izvod, Tejlorov red

Izvod prirodnog logaritma je

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,$

Tejlorovi polinomi za $\log _{e}$(1+x) pružaju tačnu aproksimaciju samo u intervalu -1 < x ≤ 1. U opštem slučaju za x > 1, Tejlorovi polinomi višeg stepena su gore aproksimacije.

Ovo dovodi do Tejlorovog reda za $\ln(1+x)$ oko $0$; takođe je poznatog pod nazivom Merkatorov red

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots \quad {\rm {za}}\quad \left|x\right|\leq 1\quad$

osim ako je $\quad x=-1$

Desno je slika funkcije $\ln(1+x)$ i nekih njenih Tejlorovih polinoma oko $0$. Ove aproksimacije konvergiraju u funkciju samo u oblasti -1 < x ≤ 1; izvan ove oblasti Tejlorovi polinomi višeg stepena su gore aproksimacije za funkciju.

Uvrštavanjem x-1 umesto x, dobijamo alternativni oblik za ln(x)

$\ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}$

$\ln(x)=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}\cdots$

${\rm {za}}\quad \left|x-1\right|\leq 1\quad {\rm {osimakoje}}\quad x=0.$

Korištenjem Ojlerove transformacije na Merkatorov red, dobija se sledeće, koje vredi za svako x čija je apsolutna vrednost veća od 1:

$\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots$

Ovaj red sličan je BBP formuli.

Takođe uočite da je $x \over {x-1}$ inverzna funkcija sama sebi, tako da kada želimo da dobijemo prirodni logaritam nekog broja y, jednostavno uvrstimo u $y \over {y-1}$ za x.

Prirodni logaritam u integraciji

Prirodni logaritam dopušta jednostavnu integraciju funkcija oblika g(x) = f '(x)/f(x): antiderivacija od g(x) je data sa f(x)|). Ovo je slučaj zbog pravila derivacije proizvoda i sledeće činjenice:

$\ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.$

Drugim rečima,

$\int {1 \over x}dx=\ln |x|+C$

i

$\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.$

Sledi primer za slučaj kada je g(x) = tan(x):

$\int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx$

$\int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.$

Neka je f(x) = cos(x), a f'(x)= - sin(x):

$\int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C$

$\int \tan(x)\,dx=\ln {\left|\sec(x)\right|}+C$

gde je C konstanta integracije.

Prirodni logaritam se može integrisati parcijalnom integracijom:

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

Literatura

• Boyers, Carl (1968). A History of Mathematics. Wiley.