Rasplinuti skup

Rasplinuti skup je uopštenje klasičnog skupa kome elementi mogu pripadati merom koja obuhvata kontinualni prelaz od nepripadanja do potpunog pripadanja. To jest, za razliku od klasičnih skupova kojima elementi pripadaju ili ne pripadaju, rasplinutom skupu neki element može pripadati sa bilo kojom merom između ta dva stanja. Koncept se može objasniti na primeru:

„ Нека постоји потреба да се у току кретања воза у сваком моменту изрази да ли се он налази у неком тунелу. То јест, колико му припада. Класичним скуповима се могу изразити два стања: „воз је у тунелу“ и „воз није у тунелу“. Ово може бити довољно за неке примене. Ипак, рецимо да су од посебног интереса моменти када воз није у потпуности у тунелу нити ван њега, и да постоји потреба да се моделира прелаз између ова два стања. Класични скупови немају ову изражајну моћ. Насупрот њима, расплинути скуп може да се употреби за изражавање овог континуалног прелаза. ”

Rasplinuti skupovi su se kao koncept pojavili 1965. godine, kada su iste godine objavljena dva rada Lotfija A. Zadea i Ditera Kloe (Dieter Klaua) koji ih opisuju. Kasnije, koncept rasplinutih skupova nadalje uopšten na rasplinute skupove sa rasplinutim stepenima pripadanja. Danas se ove dve vrste rasplinutih skupova nazivaju rasplinutim skupovima prvog tipa i rasplinutim skupovima drugog tipa. Model rasplinutih skupova drugog tipa kojem se u današnje vreme poklanja posebna pažnja su intervalni rasplinuti skupovi drugog tipa.

Od pojave teorije računanja rečima 1996. godine, primene rasplinute logike su zabeležile značajni uspon.

Rasplinuti skup prvog tipa

Slika 1. Kontinualni rasplinuti skup prvog tipa.

Ako je dat skup elemenata X, takav da je x ∈ X njegov opšti element, rasplinuti skup prvog tipa (RS 1T), A, se definiše kao preslikavanje elemenata X na vrednosti iz intervala [0, 1]. Ovo preslikavanje se označava sa μ_A(x) i naziva se funkcijom pripadanja rasplinutog skupa A. Vrednost koju funkcija pripadanja daje za konkretan elemenat x' se naziva stepenom pripadanja elementa x' skupu A.

Diskretan RS 1T se zapisuje upotrebom razlomačke crte, pri čemu u imeniocu stoji elemenat iz X = {x₁, ... , x₂}, a u brojiocu njegov odgovarajući stepen pripadanja:

$A=\left\{{\dfrac {\mu _{A}(x_{1})}{x_{1}}}+\cdots +{\dfrac {\mu _{A}(x_{n})}{x_{n}}}\right\}$

Kontinualni rasplinuti skup prvog tipa se zapisuje upotrebom znaka za integral u sličnoj formi, za opšti elemenat x ∈ X:

$A=\left\{\int {\dfrac {\mu _{A}(x)}{x}}\right\}$

Na slici 1. je ilustrovan jedan RS 1T A. Elemenat x' ∈ X se funkcijom pripadanja μ_A preslikava u realnu vrednost iz [0, 1]. Ta vrednost predstavlja stepen pripadanja x' rasplinutim skupu A.

Rasplinuti skup drugog tipa

Godine 1975, Zade je došao na ideju da stepen pripadanja tadašnjeg rasplinutog skupa (današnjeg RS 1T) ne mora da bude jedan jasno određen realni broj iz [0, 1]. On umesto toga može biti i rasplinuti skup (RS 1T). Ovako se dobija forma, koja se grafički može predstaviti u tri dimenzije. Takvi skupovi se danas nazivaju rasplinutim skupovima drugog tipa (RS 2T). RS 2T se prema konvencijama označavaju sa tildom iznad imena skupa. Na primer, ${\widetilde {A}}$.

Promenljiva x', koja uzima vrednosti sa domena X, se naziva primarna promenljiva. Rezultujući stepen pripadanja je RS 1T. Interval na kojem se prostire njegov domen se naziva primarnim stepenom pripadanja. On se označava sa J_x'. J_x' predstavlja domen po kojem se može kretati sekundarna promenljiva u, a njen stepen pripadanja je sekundarni stepen pripadanja. Kontinualno se skup označava sa:

${\widetilde {A}}=\int _{x'\in X}\int _{u\in J_{x'}\subseteq [0,1]}1/(x',u)=\int _{x'\in X}\left[\int _{u\in J_{x'}\subseteq [0,1]}1/u\right]/x'$

U praksi je kontinualni RS 2T interpolaciona forma, koja nastaje od diskretnog RS 2T. Diskretni RS 2T nastaje objedinjavanjem više RS 1T u zajedničku formu. Ovi RS 1T se nazivaju ugrađenim RS 1T (engl. embedded T1 FSs). Svakom ugrađenom RS 1T se takođe pridružuje nova rasplinuta funkcija, koja menja vrednost prema primarnoj promenljivoj x', u opsegu [0, 1]. Njome se određuje sekundarni stepen pripadanja za svaki ugrađeni RS 1T.

Slika 2. Kontinualni rasplinuti skup drugog tipa.

Sledi opis slike 2. Pod a) se vidi dvodimenziona projekcija RS 2T ${\widetilde {A}}$ na ravan primerne promenljive i primarnog stepena pripadanja. Ilustrovano je više RS 1T koji su ugrađeni u dati RS 2T. Pod b), za datu primarnu promenljivu x', označen je primarni stepen pripadanja J_x, kojeg čine vrednosti između najmanjeg (${\underline {\mu }}_{\widetilde {A}}(x')$) i najvećeg (${\overline {\mu }}_{\widetilde {A}}(x')$) primarnog stepena pripadanja svih ugrađenih RS 1T, za x'. Kao primer jednog od ugrađenih RS 1T, izdvojen je A_i. Njegov primarni stepen pripadanja je označen sa μ_i(x'). Pod v) je ilustrovan sekundarni stepen pripadanja u funkciji od sekundarne promenljive $u\in J_{x}$. Sekundarni stepen pripadanja ugrađenog RS 1T A_i je označen sa W_i(x').

Intervalni rasplinuti skup drugog tipa

Originalni koncept RS 2T je još tokom ranih 1980-ih pojednostavljen, tako da se za stepen pripadanja neke promenljive ne dobija novi RS 1T, već interval. Drugim rečima, sekundarni stepen pripadanja je uvek jednak 1. Tako nastaje forma pod imenom intervalni rasplinuti skup drugog tipa (IRS 2T). Za današnju formu IRS 2T su zaslužni Hizdal (Ellen Hisdal), Švarc (Daniel G. Schwartz), Turksen, kao i Lijang (Qilian Liang) и Мендел. У задњем цитираном раду се први пут спомињу горња и доња функција припадања, као елементи за поједностављење рада са ИРС 2Т.