Statika

Statika (prema grčkom στατιϰὴ [τέχνη]: nauka o ravnoteži, od στατιϰός: koji zaustavlja) zajedno sa kinematikom i dinamikom čini oblast mehanike u kojoj se proučavaju zakoni ravnoteže tela, kao i uzroci usled kojih dolazi do promene ovih stanja. Ravnotežu fluida proučavaju aerostatika i hidrostatika (mehanika fluida). Konkretno, u statici se proučavaju zakoni slaganja sila i uslovi ravnoteže tela na koje deluju sile. Pod ravnotežom tela podrazumeva se stanje mirovanja tela u odnosu na druga tela. Ako se telo u odnosu na koje se posmatra ravnoteža može smatrati nepokretnim onda se ravnoteža smatra apsolutnom, dok je u protivnom relativna. Statika proučava samo apsolutnu ravnotežu. Uslovi ravnoteže suštinski zavise od agregatnog stanja tela pa se posebno proučava ravnoteža čvrstih tela a posebno fluida. Statika tečnih tela se obično naziva hidrostatika dok se statika gasovitih tela naziva aerostatika.

Primer jedne grede u statičkoj ravnoteži. Zbir svih sila i momenata sile je nula.

U statici čvrstih tela osnovne su veličine sila, moment sile i spreg sila. Teoretski deo statike bavi se metodama sastavljanja i rastavljanja sila i redukcijom skupa sila na jednu silu (rezultanta) i jedan moment (spreg). U posebnom slučaju, svaka od te dve veličine može biti jednaka nuli ili obe mogu biti jednake nuli. Ako su obe veličine jednake nuli, telo je u ravnoteži, koja se u statici posebno proučava postavljanjem uslova ravnoteže, iz kojih, zavisno od skupa sila, sledi strogo određen broj jednačina ravnoteže. U tim se jednačinama pojavljuju, osim geometrijskih veličina, poznate (zadate) sile koje deluju na telo (opterećenje) i reaktivne sile kojima oslonci deluju na telo (reakcije veza) i koje su po pravilu nepoznate. Ako broj nepoznanica odgovara broju postavljenih jednačina, zadatak je statički određen i nepoznanice se mogu odrediti metodama statike krutih tela. U protivnom na (statički neodređene zadatkei), treba da se primene dopunske jednačine mehanike čvrstih tela. Primenjena statika proučava veze tela sa okolinom (oslonci, zglobovi, uklještenja) ravnoteža ravnih, zakrivljenih, okvirnih i rešetkastih nosača i druge složene sisteme čvrstih tela. Proučavaju se i sile trenja između dva tela, kada se mogu pretpostaviti da važi Kulonov zakon trenja.

Statika proučava uslove ravnoteže materijalnih tela na koja deluju sile i zakone pretvaranja sistema sila koji deluju na čvrsta tijela. Pod statičkom ravnotežom tela podrazumeva se njegovo stanje mirovanja s obzirom na određeni referentni sistem. Ako je to inercijski (ubrzanje) sistem, ravnoteža je apsolutna, u protivnom relativna. U tehničkim problemima u većini slučajeva za inercijski sistem, referentni sistem može se uzeti sistem vezan za Zemlju. Ako se telo delovanjem sila kreće pravolinijski uniformnom brzinom (v = konstantna), telo je u dinamičkoj ravnoteži. Tada za telo važi prvi Njutnov zakon (zakon inercije), i može se reći da se telo ponaša kao da na njega ne deluje nikakva sila. Stanje mirovanja se podrazumeva kada je brzina sistema jednaka nuli (v = 0).

Istorija statike

Arhimed (oko 287. p. n. e. - 212. p. n. e.)

Glavni članak: Istorija klasične mehanike

Statika (grč. στατιχη statike, prvobitno značenje: učenje o težinama i ravnoteži) najstarija je grana mehanike, njeni osnovni zakoni bili su uglavnom poznati već u starom veku. Prve naučne osnove postavio je Arhimed (oko 287. p. n. e. - 212. p. n. e.). Između ostalog, postavio je strogu teoriju ravnoteže poluge na koju deluju paralelne sile. Kasniji razvoj polja statike se može naći u radovima Sabit ibn Kura. U 17. veku francuski je matematičar Pjer Varinjon (1654–1722) razradio geometrijsku teoriju ravnoteže pomoću pojma momenta sile, koju su u 19. veku svojim radovima dopunili francuski naučnici Luj Puanso (1777–1859) i Mišel Šal (1793–1880). Time su uglavnom bile postavljene osnove teorije statike čvrstog tela.

Podela statike

Prvo pravilo statike: deo dimnjaka može biti u ravnoteži (mirovanju) samo ako su sila težine i sila u užetu jednakog iznosa ($\scriptstyle {\vec {T}}$ = $\scriptstyle {\vec {F}}$), ako imaju zajednički pravac delovanja, a suprotan smer.

Prema načinu i metodama proučavanja uslova ravnoteže, razlikuju se geometrijska i analitička statika čvrstih tela. Geometrijska statika proučava metode svođenja zadatog sistema sila na jednostavniji oblik i uslove ravnoteže zadatog sistema sila. Kako je sila koja deluje na čvrsto telo klizeći vektor, mogu se pri tome upotrebiti metode vektorske algebre. Zbog toga razmatranja u tom delu statike imaju geometrijska obeležja, pa se taj deo statike naziva još i geometrijom sila.

Problemi statike čvrstih tela mogu se rešavati i analitičkim postupkom, pri čemu se zadate i tražene veličine razmatraju i određuju brojčano. Analitička statika zasniva se na načelu virtualnih radova, u koje se ubrajaju u osnovna načela mehanike. To načelo daje opšte uslove ravnoteže mehaničkih sistema.

Prema agregatnom stanju tela razlikuje se statika čvrstih tela (ili samo statika), statika tečnosti (hidrostatika) i statika gasovitih tela (aerostatika). Statika čvrstih tela deli se dalje na statiku krutih (stereostatika) i statiku elastičnih tela (elastostatika, statika deformabilnih tela, nauka o čvrstoći ili otpornost materijala). U poslednje vreme razvija se i statika plastičnih tela (plastostatika).

Problemi statike

Problemi statike se, u principu, svode na slučajeve kada sile:

• imaju zajedničku napadnu tačku,
• nemaju zajedničku napadnu tačku.

Prvi slučaj se može tretirati kao ravnoteža materijalne tačke(tj. zanemaruju se oblik i dimenzije tela uzimajući da mu je sva masa skoncentrisana u napadnoj tački). drugi slučaj se tretira kao ravnoteža tela. Načina za rešavanje zadataka iz ove oblasti ima dosta a najrasprostranjeniji su geometrijski (korišćenjem pravila za razlaganje sila kao vektora) i analitički.

Ravnoteža

Glavni članak: Ravnoteža (mehanika)

Stabilna ravnoteža.

Labilna ravnoteža.

Indiferentna ravnoteža.

Ravnoteža je stanje ili odnos u kojem su sve sile koje deluju na nešto (neki predmet ili sistem) međusobno neutralisane, u potpunosti ili u meri takvoj da se posmatrani objekt ne pomiče unutar referentnog sistema. U mehanici materijalna je tačka u ravnoteži, ako je vektorski zbir sila koje deluju na tu tačku jednak nuli. Kruto je telo u ravnoteži, ako je vektorski zbir svih sila koje na njega deluju jednak nuli i ako je algebarski zbir svih momenata sila, s obzirom na svaku od tri bilo koje međusobno normalne ose, jednak nuli. Obično se razlikuju tri vrste ravnoteže zavisno od toga da li je potencijalna energija posmatranog sistema minimalna, maksimalna ili pak konstantnog iznosa (vidi slike):

• stabilna ravnoteža - potencijalna energija posmatranog sistema minimalna
• labilna ravnoteža - potencijalna energija posmatranog sistema je maksimalna
• indiferentna

Kada se sistem izvede iz stabilne ravnoteže, on ponovno sam od sebe prelazi u pređašnje stanje; ako se pomakne iz stanja labilne ravnoteže, preći će u stanje stabilne ravnoteže, dok će u slučaju indiferentne ravnoteže ostati u onome stanju u koje se dovede.

Uravnoteženi sistem sila

Uravnoteženi sistem sila je skup svih sila koje deluju na jednu materijalnu tačku ili bilo koje čvrsto telo pri čemu materijalna tačka ostaje u ravnoteži ili telo može biti u stanju mirovanja.

Ravnoteža materijalne tačke

Materijalna tečka se nalazi u ravnoteži kada je vektorski zbir svih sila koje na nju deluju jednak nuli.

Statički moment sile

Ako je čvrsto telo utvrđeno na nekoj osovini koja prolazi kroz neku tačku O, a na njega deluje neka sila F u tački A onda će ta sila težiti da okrene telo oko ose O. Proizvod vektora položaja koji polazi od tačke O (koja se naziva momentna tačka) do napadne tačke sile F i vektora sile F je moment sile. Moment sile u kružnom kretanju je analogan pojmu sile u translatornom kretanju. On je vektorska veličina. Moment sile koji obrće telo u smeru kretanja kazaljke na satu ima negativan smer i obrnuto, moment sile koji obrće telo u smeru suprotnom smeru kazaljke na satu ima pozitivan smer.

Statički pojam sile

Pod silom se u statici podrazumeva količinska mera mehaničkog uzajamnog delovanja između materijalnih tela. Sila prestavlja osnovni pojam u statici. Delovanje sile na kruto telo određuje se (vektor):

• brojnom vrednošću sile (iznosom ili intenzitetom),
• pravcem (pravac delovanja sile),
• smerom sile,
• hvatištem sile.

Sistemi sila

Skup svih sila koje deluju na bilo koje kruto telo zove se sistem sila. Pri tome se razlikuje slobodno i vezano (neslobodno) telo. Slobodnom telu nisu nametnute nikakve veze i ono može iz zadatog položaja da pređe u bilo koji drugi položaj u prostoru. Ako slobodno telo pod delovanjem zadatog sistema sila može biti u ravnoteži, odnosno miruje, onda je to uravnoteženi sistem sila. Ako se pak jedan sistem sila koji deluje na slobodno telo može zameniti drugim sistemom sila, a da se pri tome ne promeni stanje mirovanja ili stanje kretanja krutog tela, za takva se dva sistema kaže da su jednakovredna ili ekvivalentna.

Sile koje deluju na kruto telo ili na sistem krutih tela mogu biti spoljašnje i unutrašnje. Spoljašnje sile određuju delovanje drugih tela koja ne ulaze u posmatrani sitem (na posmatrana tela), dok unutrašnje sile određuju uzajamno delovanje među telima zadatog sistema. Unutrašnje sile čine uravnoteženi sistema sila i ne utiču na uslove ravnoteže tela. Zato se u statici krutog tela razmatraju uslovi ravnoteže samo spoljašnjih sila. U statici deformabilnih tela uzimaju se u obzir i spoljašnje i unutrašnje sile. Sistemi sila mogu biti ravanski i prostorni.

Aksiome statike

Prva aksioma: Da bi slobodno telo na koje dejstvuju dve sile bilo u ravnoteži, sile moraju imati jednaki intenzitet, zajedničku liniju dejstva i biti surotnih smerova.

Druga aksioma: Dejstvo datog sistema sila na kruto telo neće se promeniti ako mu se doda ili oduzme uravnoteženi sistem sila.

Posledica prve i druge aksiome je: Dejstvo sile na kruto telo neće se promeniti ako se napadna tačka sile prenese u bilo koju tačku tela duž linije dejstva sile, ne menjajući pri tome ni pravac, ni smer, ni intezitet sile.

Treća aksioma: Rezultanta dveju sila koje dejstvuju u istoj tački tela, jednaka je njihovom vektorskom zbiru i pri tome linija dejstva rezultante sadrži zajedničku napadnu tačku sila. Rezultanta je određena jednačinom: ${\vec {F}}_{r}={\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}$.

Četvrta aksioma glasi: Dva materijalna tela uvek dejstvuju jedno na drugo silama istog inteziteta, zajedničke linije dejstva i suprotnih smerova.

Peta aksioma: Ravnoteža deformabilnog tela pod dejstvom datog sistema sila, neće se poremetiti ako telo postane kruto (princip solidifikacije).

Oslonac ili veza

Glavni članak: Oslonac

Oslonac ili veza u statici (mehanici) je mehanički ili fizički deo (uređaj) koji ograničava ili sprečava kretanje nekog tela. Ako se telo ili čestica ne može od oslonca odvojiti, oslonac se naziva postojanim (na primer prsten na užetu), u protivnom oslonac je nepostojan. Na primer uteg na stolu može se premeštati po stolu i pri tome se oslonac ne prekida, ali se može i podići, a time je oslonac prekinut. Oslonci koje ne zavise od vremena zovu se stacionarni oslonci, a oni koji zavise od vremena su nestacionarni oslonci.

Razlikuju se unutrašnji i spoljašnji oslonci sistema. Unutrašnji oslonci sprečavaju relativni pomak pojedinih tela unutar sistema. Prema tome, ako su oslonci ona tela koja pripadaju posmatranom sistemu, onda su to unutrašnji oslonci i obratno. Materijalni sistem koji ima samo unutrašnje oslonce zove se slobodni sistem. Delovanje oslonaca na materijalni sistem očituje se u tome što oslonci sprečavaju, odnosno menjaju kretanje sistema koje bi priložene spoljašnje sile pobudile kad bi sistem bio slobodan. Zbog toga se može smatrati da oslonci stvaraju isto delovanje kao i sile, pa se u statici delovanje oslonaca, prema četvrtom pravilu statike, zamenjuje silama koje se zovu reakcije oslonaca ili samo reakcije.

Sile koje ne zavise od oslonaca zovu se zadate (aktivne), a reakcije oslonaca zavisne (pasivne) sile. Reakcije oslonaca razlikuju se od zadanih sila koje deluju na telo u tome što njihovi iznosi uvek zavise od zadatih sila i nisu unapred poznate. Na primer, pri krutom štapu reakcija oslonca ima pravac delovanja uzdužne ose, a takva veza može prenositi zatezne i pritisne sile.

Veze i reakcije veza

Vezano telo je ono čije je kretanje ograničeno, delimično ili potpuno dejstvom drugih tela. Tela koja ograničavaju slbodu kretanja vezanom telu, nazivamo vezama. Vezano telo i veza prema četvrtoj aksiomi, uzajamno deluju silama koje su jednake po intezitetu, imaju zajedničku liniju dejstva, a suprotnih su smerova. Sile kojima veze deluju na vezano telo zovemo rakcije veza. Reakcija veze ima pravac u kome se veza suprotstavlja pomeranju tela, a smer suprotan onom u kome je to pomeranje vezom sputano. Princip oslobađanja od veza: Vezano telo može se razmatrati kao slobodno, ako se veze uklone, a njihovo dejstvo na telo zameni odgovarajućim silama - reakcijama veza.

Literatura

• Boško Pavlović, Fizika prvo deo, tehnološko-metalurški fakultet, Beograd, 2004.
• Milan Mićunović i Miloš Kojić, Statika, Naučna knjiga, Beograd, 1987.
• Mirjana Lukačević i Vukman Čović, Statika, Građevinska knjiga, Beograd, 1991.
• Beer, F.P.; Johnston Jr, E.R. (1992). Statics and Mechanics of Materials. McGraw-Hill, Inc. 
• Beer, F.P.; Johnston Jr, E.R.; Eisenberg (2009). Vector Mechanics for Engineers: Statics, 9th Ed. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-352923-3. 

Spoljašnje veze

• Online test of statics conceptual knowledge (meant for teachers)
• Free engineering Statics courseware with about 300 interactive exercises with hints and feedback : Carnegie Mellon Open Learning Initiative
• Statics for Robotics
• Statics
• Engineering statics – A course at the University of Nebraska–Lincoln