Stepenovanje

Stepenovanje je matematička binarna operacija, u zapisu a^b. U ovom zapisu a se naziva osnova, a b eksponent. Čita se „a na b-ti stepen“ ili kraće „a na b“, gde je a kardinalni, a b redni (ordinalni) broj.^[1]^[2] Na primer, 5⁷ se čita „pet na sedmi (stepen)“.name=":1" />

Grafikoni $y = b x$ za razne baze b: baza 10, baza e, baza 2, baza 1/2. Svaka kriva prolazi kroz tačku $(0, 1)$ , jer je svaki nenulti broj podignut u stepen 0 jednak 1. Pri $x = 1$ , vrednost y jednaka je bazi, jer je svaki broj podignut u stepen 1 sam broj.

Ako je n ∈ ℕ, onda stepen predstavlja osnovu pomnoženu samom sobom n puta:

a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}.

Eksponent se obično prikazuje kao superskript desno od osnove. U tom slučaju, $b n$ se naziva „b podignuto u n-ti stepen“, „b podignuto na stepen n“,^[1] „n-ti stepen od b“, „b na n-tom stepenu“,^[3] ili kratko kao „b na n-ti“.

Za jedan važi $b 1 = b$ , i za bilo koji par pozitivnih celih brojeva $m$ i $n$ važi $b n \cdot b m = b n + m$ . Da bi se ovo svojstvo proširilo na celobrojne eksponente koji nisu pozitivni, $b 0$ je definisano kao $1$ , a $b - n$ (pri čemu je $n$ pozitivni ceo broj i $b$ nije nula) definisano je kao $1 / b n$ . Konkretno, $b -1$ je jednako $1 / b$ , recipročna vrednost od $b$ .

Definicija eksponencijacije se može proširiti tako da se dozvoli bilo koji realni ili kompleksni eksponent. Eksponenciranje celobrojnim eksponentima takođe se može definisati za širok spektar algebarskih struktura, uključujući matrice.

Eksponencijacija se intenzivno koristi u mnogim oblastima, uključujući ekonomiju, biologiju, hemiju, fiziku i računarstvo, sa aplikacijama kao što su složene kamate, rast populacije, kinetika hemijskih reakcija, ponašanje talasa i asimetrična kriptografija.

Istorija zapisa

Izraz stepen (lat. potentia, potestas, dignitas) nije najnesrećniji prevod^[4]^[5] starogrčkog δύναμις (dúnamis, ovde: „pojačanje“^[4]) koje je grčki matematičar Euklid koristio za kvadrat linije,^[6] sledeći Hipokrata sa Hiosa.^[7] Arhimed je otkrio i dokazao zakon eksponenata, $10 a \cdot 10 b = 10 a + b$ , neophodan za manipulisanje stepenima od $10$ .^[8] U 9. veku persijski matematičar Muhamed el Horezmi koristio je izraze مَال (māl, „posed“, „imanje“) za kvadrat - muslimani, „poput većine matematičara tih i ranijih vremena, smatrali su na kvadrat broj kao prikaz područja, posebno zemljišta, te otuda i svojstva“^[9] - i كَعْبَة (kaʿbah, „kocka“) za kub, koju su kasnije islamski matematičari u matematičkoj notaciji predstavljali kao slova mīm (m) i kāf (k), do 15. veka, kao što se vidi u delu Abu el-Hasana ibn Ali el-Kalasada.^[10]

Krajem 16. veka, Jost Burgi je za eksponente koristio rimske brojeve.^[11]

Nikola Šike je koristio oblik eksponencijalne notacije u 15. veku, koji su kasnije koristili Henrikus Gramateus i Mihael Štifel u 16. veku. Reč eksponent je skovao 1544. godine Mihael Štifel.^[12]^[13] Samjuel Džik je uveo pojam indeksi 1696.^[6] U 16. veku Robert Rekord je koristio termine kvadrat, kub, zenzizenzik (četvrti stepen), sursolid (peti), zenzikjub (šesti), drugi sursolid (sedmi) i zenzizenzizenzik (osmi).^[9] Bikvadrat je takođe korišten kao naziv za četvrti stepen.

Početkom 17. veka, prvi oblik moderne eksponencijalne notacije je uveo Rene Dekart u svom tekstu pod nazivom Geometrija; u kojem je notacija uvedena u Knjizi I.^[14]

Neki matematičari (kao što je Rene Dekart) koristili su eksponente samo za stepene veće od dva, preferirajući da predstavljaju kvadrate kao ponovljeno umnožavanje. Stoga bi napisali polinome, na primer, kao $ax + bxx + cx 3 + d$ .

Jedan drugi istorijski sinonim, involucija sada se retko sreće^[15] i ne treba ga poistovećivati sa njegovim češćim značenjem.

Godine 1748, Leonard Ojler je napisao:

„Razmotrite eksponencijale ili stepene u kojima je sam eksponent promenljiv. Jasno je da veličine ove vrste nisu algebarske funkcije, jer u tim eksponentima moraju biti konstantne.”^[16]

Ovim uvođenjem transcendentalnih funkcija, Ojler je postavio temelj za moderno uvođenje prirodnog logaritma - kao inverzne funkcije za prirodnu eksponencijalnu funkciju, $f (x) = e x$ .

Osobine stepenovanja

Stepenovanje ima viši prioritet od množenja. a^b^{^c} znači a^(b^{^c}⁾, a ne (a^b)^{^c}.

Za razliku od sabiranja i množenja, stepenovanje nije komutativno (primer:2³ = 8 ≠ 3² = 9), niti asocijativno $a^{(b^{c})}\neq {(a^{b})}^{c}$ .

a^c · b^c = (a · b)^c
a^b · a^c = a^{b + c}
a^b : a^c = a^{b − c} (za a ≠ 0)
(a^b)^{^c} = a^{b · c}

Posledica osobine 3 su

a⁰ = a^{b − b} = a^b : a^b = 1
a^−b = a^{0 − b} = 1 / a^b

čime se, polazeći od definicije stepenovanja sa eksponentom koji je prirodan (odnosno pozitivan ceo) broj, definiše stepenovanje za svaki celobrojni eksponent.

Stepenovanje sa necelobrojnim eksponentima

Racionalni eksponent

Po definiciji,

a^{1/b}={\sqrt[{b}]{a}}

Neka je eksponent b ∈ ℚ racionalan broj. Tada se može napisati b = p / q, p ∈ ℤ q ∈ ℕ, pri čemu je

a^{p/q}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}=({\sqrt[{q}]{a}})^{p}

Kako parni korenovi negativnih brojeva nisu definisani, to nije definisano ni $a^{p/q}$ za parno q i negativno a.

Iracionalni eksponent

Neka je b ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj. Tada je vrednost a^b definisana samo za a ∈ ℝ⁺, kao granična vrednost

\lim _{p/q\to b}a^{p/q}

stepena a^{p / q} sa racionalnim eksponentima p / q, koji teže ka datom eksponentu b.

Konkretna numerička vrednost računa se preko približnih vrednosti, sa željenom preciznošću eksponenta. Npr, ako je x = a^π, tada je a^3,141 < x < a^3,142.

Stepenovanje kompleksnih brojeva

Kako se svaki kompleksan broj z ∈ ℂ može zapisati u obliku $z=\rho e^{i\phi }$ (videti Ojlerovu formulu) to važi

z^{x}=(\rho e^{i\phi })^{x}=\rho ^{x}e^{ix\phi }

.

Stepenovanje matrica

Stepenovanje matrica identično je po definiciji stepenovanju realnih brojeva sa prirodnim eksponentima. Definisano je za kvadratne matrice i prirodan broj kao eksponent.

Inverzne funkcije

Iz stepenovanja se mogu izvesti dve funkcije, u zavisnosti od toga da li je nezavisna promenljiva osnova ili eksponent. Prvi slučaj daje stepenu funkciju ( $y=x^{k}$ ), a drugi eksponencijalnu funkciju ( $y=k^{x}$ ).

Inverzna funkcija stepenoj funkciji je korena funkcija ( $y={\sqrt[{k}]{x}}$ ).

Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je logaritamska funkcija ( $y=\log _{k}x$ ).

Vidi još

e – osnova prirodnog logaritma
Stepena funkcija
Eksponencijalna funkcija
Koren
Logaritam

Reference

^ ^a ^b „Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (na jeziku: engleski). 2020-03-01. Pristupljeno 2020-08-27.
^ Nykamp, Duane. „Basic rules for exponentiation”. Math Insight. Pristupljeno 27. 8. 2020. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
^ Weisstein, Eric W. „Power”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-27.
^ ^a ^b Rotman, Joseph J. (2015). Advanced Modern Algebra, Part 1. Graduate Studies in Mathematics. 165 (3rd izd.). Providence, RI: American Mathematical Society. p. 130, fn. 4. ISBN 978-1-4704-1554-9. ^{[mrtva veza]}
^ Szabó, Árpád (1978). The Beginnings of Greek Mathematics. Synthese Historical Library. 17. Prevod: A.M. Ungar. Dordrecht: D. Reidel. str. 37. ISBN 90-277-0819-3.
^ ^a ^b O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Etymology of some common mathematical terms”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
^ Ball, W. W. Rouse (1915). A Short Account of the History of Mathematics (6th izd.). London: Macmillan. str. 38.
^ For further analysis see The Sand Reckoner.
^ ^a ^b Quinion, Michael. „Zenzizenzizenzic”. World Wide Words. Pristupljeno 2020-04-16.
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
^ Cajori, Florian (1928). A History of Mathematical Notations. 1. London: Open Court Publishing Company. str. 344.
^ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
^ Stifel, Michael (1544). Arithmetica integra. Nuremberg: Johannes Petreius. str. 235v. Stifel was trying to conveniently represent the terms of geometric progressions. He devised a cumbersome notation for doing that. In Liber III, Caput III: De Algorithmo numerorum Cossicorum (Book 3, Chapter 3: On Algorithms of Algebra), on page 235 verso, he presented the notation for the first eight terms of a geometric progression (using 1 as a base) and then he wrote: "Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam." (However, you see how each term of the progression has its exponent in its order (as 1ze has a 1, 1ʓ has a 2, etc.), so each number is implicitly subject to the exponent of its denomination, which [in turn] is subject to it and is useful mainly in multiplication and division, as I will mention just below.) [Note: Most of Stifel's cumbersome symbols were taken from Christoff Rudolff, who in turn took them from Leonardo Fibonacci's Liber Abaci (1202), where they served as shorthand symbols for the Latin words res/radix (x), census/zensus (x²), and cubus (x³).]
^ Descartes, René (1637). „La Géométrie”. Discourse de la méthode [...]. Leiden: Jan Maire. str. 299. „'Et aa, ou a², pour multiplier a par soy mesme; Et a³, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini'” (And aa, or a², in order to multiply a by itself; and a³, in order to multiply it once more by a, and thus to infinity).
^ The most recent usage in this sense cited by the OED is from 1806 („involution”. Oxford English Dictionary (3rd izd.). Oxford University Press. septembar 2005. CS1 održavanje: Format datuma (veza) (Potrebna je pretplata ili članska kartica javne biblioteke UK.)).
^ Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum (na jeziku: latinski). I. Lausanne: Marc-Michel Bousquet. str. 69, 98—99. „Primum ergo considerandæ sunt quantitates exponentiales, seu Potestates, quarum Exponens ipse est quantitas variabilis. Perspicuum enim est hujusmodi quantitates ad Functiones algebraicas referri non posse, cum in his Exponentes non nisi constantes locum habeant.”

Literatura

Cunnington, Susan, The Story of Arithmetic: A Short History of Its Origin and Development, Swan Sonnenschein, London, 1904
Dickson, Leonard Eugene, History of the Theory of Numbers (3 volumes), reprints: Carnegie Institute of Washington, Washington, 1932; Chelsea, New York, 1952, 1966
Euler, Leonhard, Elements of Algebra, Tarquin Press, 2007
Fine, Henry Burchard (1858–1928), The Number System of Algebra Treated Theoretically and Historically, Leach, Shewell & Sanborn, Boston, 1891
Karpinski, Louis Charles (1878–1956), The History of Arithmetic, Rand McNally, Chicago, 1925; reprint: Russell & Russell, New York, 1965
Ore, Øystein, Number Theory and Its History, McGraw–Hill, New York, 1948
Weil, André, Number Theory: An Approach through History, Birkhauser, Boston, 1984; reviewed: Mathematical Reviews 85c:01004

Spoljašnje veze

Laws of Exponents with derivation and examples

[:0-1] „Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (na jeziku: engleski). 2020-03-01. Pristupljeno 2020-08-27.

[:1-2] Nykamp, Duane. „Basic rules for exponentiation”. Math Insight. Pristupljeno 27. 8. 2020. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[3] Weisstein, Eric W. „Power”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-27.

[Rotman-4] Rotman, Joseph J. (2015). Advanced Modern Algebra, Part 1. Graduate Studies in Mathematics. 165 (3rd izd.). Providence, RI: American Mathematical Society. p. 130, fn. 4. ISBN 978-1-4704-1554-9. ^{[mrtva veza]}

[5] Szabó, Árpád (1978). The Beginnings of Greek Mathematics. Synthese Historical Library. 17. Prevod: A.M. Ungar. Dordrecht: D. Reidel. str. 37. ISBN 90-277-0819-3.

[MacTutor-6] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Etymology of some common mathematical terms”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.

[7] Ball, W. W. Rouse (1915). A Short Account of the History of Mathematics (6th izd.). London: Macmillan. str. 38.

[8] For further analysis see The Sand Reckoner.

[worldwidewords-9] Quinion, Michael. „Zenzizenzizenzic”. World Wide Words. Pristupljeno 2020-04-16.

[10] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.

[11] Cajori, Florian (1928). A History of Mathematical Notations. 1. London: Open Court Publishing Company. str. 344.

[12] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics

[13] Stifel, Michael (1544). Arithmetica integra. Nuremberg: Johannes Petreius. str. 235v. Stifel was trying to conveniently represent the terms of geometric progressions. He devised a cumbersome notation for doing that. In Liber III, Caput III: De Algorithmo numerorum Cossicorum (Book 3, Chapter 3: On Algorithms of Algebra), on page 235 verso, he presented the notation for the first eight terms of a geometric progression (using 1 as a base) and then he wrote: "Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam." (However, you see how each term of the progression has its exponent in its order (as 1ze has a 1, 1ʓ has a 2, etc.), so each number is implicitly subject to the exponent of its denomination, which [in turn] is subject to it and is useful mainly in multiplication and division, as I will mention just below.) [Note: Most of Stifel's cumbersome symbols were taken from Christoff Rudolff, who in turn took them from Leonardo Fibonacci's Liber Abaci (1202), where they served as shorthand symbols for the Latin words res/radix (x), census/zensus (x²), and cubus (x³).]

[14] Descartes, René (1637). „La Géométrie”. Discourse de la méthode [...]. Leiden: Jan Maire. str. 299. „'Et aa, ou a², pour multiplier a par soy mesme; Et a³, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini'” (And aa, or a², in order to multiply a by itself; and a³, in order to multiply it once more by a, and thus to infinity).

[15] The most recent usage in this sense cited by the OED is from 1806 („involution”. Oxford English Dictionary (3rd izd.). Oxford University Press. septembar 2005. CS1 održavanje: Format datuma (veza) (Potrebna je pretplata ili članska kartica javne biblioteke UK.)).

[Euler_1748-16] Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum (na jeziku: latinski). I. Lausanne: Marc-Michel Bousquet. str. 69, 98—99. „Primum ergo considerandæ sunt quantitates exponentiales, seu Potestates, quarum Exponens ipse est quantitas variabilis. Perspicuum enim est hujusmodi quantitates ad Functiones algebraicas referri non posse, cum in his Exponentes non nisi constantes locum habeant.”

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]