Trigonometrijski identiteti

U matematici trigonometrijski identiteti su ekvivalentni sa upotrebom trigonometrijskih funkcija i one važe za svaku vrednost promenljivih. Geometrijski, oni su identiteti koji uključuju određene funkcije jednog ili više uglova. Oni su posebni trigonometrijski identiteti, oni uključuju oba ugla dužine strana trougla. Samo neki su pomenuti u ovom članku.

Kosinus i sinus oko jediničnog kruga.

Ovi identitei su korisni kada god imamo izraz koji uključuje trigonometrijske funkcije, a treba da bude pojednostavljen. Bitan zahtev je integracija ne-trigonometrijskih funkcija : uobičajena tehnika uključuje prvobitno primenu pravila supstitucije na trigonometrijskim funkcijama, i onda pojednostavljivanje rezultata integrala sa trigonometrijskim identitemia.

Notacija

Uglovi

Ovaj članak koristi grčka slova kao što su alpha beta, gamma i theta da predstavi uglove. Nekoliko različitih jedinica su široko rasprostranjene, uklljučujući stepene, radijane i gradijane :

1 pun krug  = 360 stepeni = 2$\pi$ radijana  =  400 gradijana.

Sledeća tabela pokazuje verziju nekih od uobičajenih uglova:

Degrees	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
Radians	${\frac {\pi }{6}}\!$	${\frac {\pi }{3}}\!$	${\frac {2\pi }{3}}\!$	${\frac {5\pi }{6}}\!$	${\frac {7\pi }{6}}\!$	${\frac {4\pi }{3}}\!$	${\frac {5\pi }{3}}\!$	${\frac {11\pi }{6}}\!$
Grads	33⅓ grad	66⅔ grad	133⅓ grad	166⅔ grad	233⅓ grad	266⅔ grad	333⅓ grad	366⅔ grad
Degrees	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
Radians	${\frac {\pi }{4}}\!$	${\frac {\pi }{2}}\!$	${\frac {3\pi }{4}}\!$	$\pi \!$	${\frac {5\pi }{4}}\!$	${\frac {3\pi }{2}}\!$	${\frac {7\pi }{4}}\!$	$2\pi \!$
Grads	50 grad	100 grad	150 grad	200 grad	250 grad	300 grad	350 grad	400 grad

Osim ako je navedeno suprotno svi uglovi u ovom članku će biti u radijanima, osim uglova koji se završavaju simbolom stepena (°), koji su u stepenima.

Trigonometrijske funkcije

Primarne trigonometrijske funkcije su sinus i kosinus ugla. Oni su ponkad skraćene sin i cos.

Sinus ugla je definisan u kontekstu pravog trougla kao odnos dužina stranice koja je naspram ugla, podeljene dužinom najduže stranice trougla, hipotenuze.

Kosinus ugla je takođe definisan u kontekstu pravog trougla, kao odnos dužina stranica na kojoj leži ugao, podeljene dužinom najduže stranice trougla, hipotenuzom.

Tangens ugla je odnos sinusa i kosinusa:

$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}.$

Konačno, reciprocna funkcija sec, csc i ctg su recipročne sinusu kosinusu i tangensu:

$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.$

Inverzne funkcije

Glavni članak: Inverse trigonometric functions

Inverzne trigonometrijske funkcije su delimično inverzne funkcije za trigonometrijske funkcije. Na primer, inverzna funkcija za sinus, poznata kao 'inverzni sinus' ili arcsin zadivoljava

$\sin(\arcsin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq 1$

i

$\arcsin(\sin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq \pi /2.$

Ovaj članak koristi notacije ispod za inverzne trigonometrijske funkcije :

Function	sin	cos	tan	sec	csc	cot
Inverse	arcsin	arccos	arctan	arcsec	arccsc	arccot

Pitagorini identiteti

Osnovna veza između sinusa i kosinusa su Pitagorini trigonometrijski identitet :

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\!$

gde cos² θ znači (cos(θ))² i sin² θ znači (sin(θ))².

Ovo se može posmatrati kao verzija pitagorine teoreme, i prati jednačinu x² + y² = 1 za puni krug. Ova jednakost može biti pokazana i preko sinusa i preko kosinusa :

$\sin \theta =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\quad {\text{and}}\quad \cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\,$

Povezani identiteti

Deljenjem Pitagorinog identiteta sa cos² θ ili sin² θ doprinosi stvaranju dva identiteta :

$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \quad {\text{and}}\quad 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta .\!$

Korišćenjem ovih identiteta zajedno sa razmernim identitetima, moguće je izraziti bilo koju trigonometrijsku funkciju u izrazima bilo kojih drugih (sve do plus minus znaka) :

Each trigonometric function in terms of the other five.

in terms of	$\sin \theta \!$	$\cos \theta \!$	$\tan \theta \!$	$\csc \theta \!$	$\sec \theta \!$	$\cot \theta \!$
$\sin \theta =\!$	$\sin \theta \$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\!$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!$	${\frac {1}{\csc \theta }}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!$
$\cos \theta =\!$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\!$	$\cos \theta \!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}\!$	${\frac {1}{\sec \theta }}\!$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!$
$\tan \theta =\!$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}\!$	$\tan \theta \!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}\!$	${\frac {1}{\cot \theta }}\!$
$\csc \theta =\!$	${\frac {1}{\sin \theta }}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}\!$	$\csc \theta \!$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}\!$
$\sec \theta =\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!$	${\frac {1}{\cos \theta }}\!$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}\!$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!$	$\sec \theta \!$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}\!$
$\cot \theta =\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}\!$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!$	${\frac {1}{\tan \theta }}\!$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!$	$\cot \theta \!$

Istorijska stenografija

Sve trigonometrijske funkcije ugla θ se mogu konstruisati geometrijski u okviru punog kruga sa centrom u  O. Mnogi ovi okviri nisu više u upotrebi.

Sinus versus, kosinus versus i eksekant se koristi u navigaciji. Na primer sinus versus formula je korišćena za izračunavanje udaljenosti između dva dela svere. Danas se retko koristi.

Name(s)	Abbreviation(s)	Value
versed sine, versine	$\operatorname {versin} (\theta )$ $\operatorname {vers} (\theta )$ $\operatorname {ver} (\theta )$	$1-\cos(\theta )$
versed cosine, vercosine	$\operatorname {vercosin} (\theta )$	$1+\cos(\theta )$
coversed sine, coversine	$\operatorname {coversin} (\theta )$ $\operatorname {cvs} (\theta )$	$1-\sin(\theta )$
coversed cosine, covercosine	$\operatorname {covercosin} (\theta )$	$1+\sin(\theta )$
half versed sine, haversine	$\operatorname {haversin} (\theta )$	${\frac {1-\cos(\theta )}{2}}$
half versed cosine, havercosine	$\operatorname {havercosin} (\theta )$	${\frac {1+\cos(\theta )}{2}}$
half coversed sine, hacoversine cohaversine	$\operatorname {hacoversin} (\theta )$	${\frac {1-\sin(\theta )}{2}}$
half coversed cosine, hacovercosine cohavercosine	$\operatorname {hacovercosin} (\theta )$	${\frac {1+\sin(\theta )}{2}}$
exterior secant, exsecant	$\operatorname {exsec} (\theta )$	$\sec(\theta )-1$
exterior cosecant, excosecant	$\operatorname {excsc} (\theta )$	$\csc(\theta )-1$
chord	$\operatorname {crd} (\theta )$	$2\sin {\frac {\theta }{2}}$

Simetrija smene i periodičnost

Ispitivanjem punog kruga, prateća svojstva trigonometrijskih funkcija mogu biti utvrđeni.

Simetrija

Kada su trigonometrijske funkcije reflektovane na određen ugao, rezultat je često jedna od trigonometrijskih funkcija. To nas vodi do sledećih identiteta :

Reflected in $\theta =0$	Reflected in $\theta =\pi /2$ (co-function identities)	Reflected in $\theta =\pi$
${\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}$

Smene i periodičnosti

Pod smenom funkcije kruga nekim određenim uglom često je moguće uočiti različite trigonometrijske funkcije koje pokazuju te rezultate u jednostavnijem obliku. Neki primeri ovoga su prikazani smenom funkcija kruga sa π/2, π i 2π radijana. Zbog stila funkcija je π ili 2π, ima slučajeva kada je nova funkcija u potpunosti ista kao stara bez smene.

Shift by π/2	Shift by π Period for tan and cot	Shift by 2π Period for sin, cos, csc and sec
${\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}$

Zbir uglova i razlika identiteta

Ilustracija adicione formule za sinus i kosinus.

Ilustracija adicione formule za tangens.

Vidi još: § Product-to-sum and sum-to-product identities

Poznate su kao adicione i oduzimajuće teoreme ili formule. One potiču iz desetog veka i utvrdio ih je persijski matematicar Abū al-Wafā' Būzjānī. Jedan metod dokazivanja ovih identiteta se poklapa sa Eulerovom formulom.

Za diagram adicije ugla za sinus i kosinus, tamna linija sa 1 svoje dužine je dužine jedan. Hipotenuza desnog ugla trougla sa uglom β sa kojim daje sinus β i kosinus β. Kosinus β linija je hipotenuza desnog ugla trougla sa uglom α tako da ima sa strane sinus α i kosinus α i oboje pomoženo sa kosinus β. Ovo je isto za sinus β liniju. Uopsteno dijagram može biti korišćen da pokaže sinus i kosinus zbira identiteta

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

Jer suprotne strane pravougaonika su jednake.

Sine	$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!$
Cosine	$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,$
Tangent	$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
Arcsine	$\arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin \left(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}}\right)$
Arccosine	$\arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos \left(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}}\right)$
Arctangent	$\arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)$

Matrična forma

Vidi još: Množenje matrica

Zbir i razlika formula sinusa i kosinusa može biti napisana u matriks formi kao :

${\begin{aligned}&{}\quad \left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)\left({\begin{array}{rr}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta &-\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta \\\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta &-\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos(\alpha +\beta )&-\sin(\alpha +\beta )\\\sin(\alpha +\beta )&\cos(\alpha +\beta )\end{array}}\right).\end{aligned}}$

Sinus i kosinus zbira beskonačnosti odnosa

$\sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{(k-1)/2}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)$

$\cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{k/2}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)$

U ova dva identiteta asimetričnost se pojavljuje ali nije viđena u slučaju zbira konačnosti mnogih uslova : U svakom produktu, ima nekoliko konačnih sinus faktora i dvosmislenosti mnogih kosinus faktora.

Samo ako beskonacnost mnogih ovih uslova θ_i nije nula, onda samo konačnost mnogih uslova sa desne strane neće biti nula jer sinus fakor će nestati, u savkom uslovu, sve osim konačnosti mnogih kosinus faktora će biti zajedno.

Zbir tangensa

ako e_k (for k = 0, 1, 2, 3, ...) bude kti stepen elementarnog simetričnog polinoma u varijablama

$x_{i}=\tan \theta _{i}\,$

for i = 0, 1, 2, 3, ..., i.e.,

${\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \end{aligned}}$

Onda

$\tan \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}.\!$

Broj uslova sa desne strane zavisi od broja uslova sa leve.

Na primer:

${\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}$

I tako dalje.

Zbir sekansa i kosekansa

${\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$

gde e_k is the kti stepen elementarnog simetričnog polinoma u n varijabli x_i = tan θ_i, i = 1, ..., n, i broj uslova u imeniocu i broj faktora u rezultatu u broiocu zavisi od broja uslova u zbiru sa leve strane. Slučaj konačnosti mnogih uslova može biti proverena matematičkom indukcijom. Konvergencija serija u imeniocu može biti pokazana pisanjem sekans identiteta u formi

$e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots ={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{\sec \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)}}$

i onda posmatra da je leva strana konvergentna ukoliko je desna strana konvergentna, i slična kosenkans identitetu.

Na primer,

${\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}$

Eksponencijalne definicije

Function	Inverse function
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,$	$\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,$	$\arccos x=i\,\ln \left(x-i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$
$\tan \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,$	$\arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {i}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\cot \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,$
$\operatorname {cis} \,\theta =e^{i\theta }\,$	$\operatorname {arccis} \,x={\frac {\ln x}{i}}=-i\ln x=\operatorname {arg} \,x\,$

Literatura

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ur. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. 

Spoljašnje veze

• Values of Sin and Cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5⅝°, and for the same angles Csc and Sec and Tan.