Trougaoni broj

Trougaoni broj ili trougao broj računa objekte koji mogu formirati jednakostranični trougao, kao na slici na desnoj strani. N-ti trougaoni broj je broj tačaka koje sačinjavaju trougao sa n tačaka na strani, i jednak je zbiru n prirodnih brojeva od 1 do n. Redosled trougaonih brojeva (sekvenca A000217 u OEIS)OEIS), početak od 0-tog tougaonog broja je:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406 …

Trougaoni brojevi su dati sledećim eksplicitnim formulama:

T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2}

gde je $\textstyle {n+1 \choose 2}$ binomni koeficijent. On predstavlja broj različitih parova koji se mogu odabrati od n + 1 objekata, i to se čita kao "n plus jedan nad dva".

Karl Fridrih Gaus je tvrdio da je pronašao ovu vezu u svojoj ranoj mladosti, množenjem n / 2 parova brojeva kod kojih je zbir vrednosti svakog para n+1.^[1] Međutim, bez obzira na istinitost ove priče, Gaus nije bio prvi koji je otkrio ovu formulu, a neki su pronašli da verovatno njeno poreklo seže do Pitagorejaca do 5. veka pre nove ere .^[2]

Trougaoni broj $T n$ rešava "problem rukovanja" brojanjem rukovanja ako se svaka osoba u sobi sa n + 1 ljudi rukuje jednom sa svim ostalim osobama. Drugim rečima, rešenje problema rukovanja od n ljudi je T_n−1.^[3] Funkcija T je aditiv analognog faktorijela funkcije, koja je proizvod celih brojeva od 1 do n.

Broj segmenata linija između najbližih parova tačaka u trouglu može biti zastupljen u smislu broja tačaka ili sa recidivnim odnosom:

L_{n}=3T_{n-1}=3{n \choose 2};~~~L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.

U roku, odnos između dva broja, tački i segmenata linije je

\lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{L_{n}}}={\frac {1}{3}}

Veze sa drugim figurativnim brojevima

Trougaoni brojevi imaju širok spektar odnosa prema drugim figurativnim brojevima.

Najjednostavnije rečeno, zbir dva uzastopna trougaona broja je kvadratni broj, sa zbirom kvadratne razlike između ova dva (a time i razlika dva kvadratna korena sume). Algebarski,

T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.

Alternativno, ista činjenica može da se demonstrira grafički:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Postoji beskonačno mnogo trougaonih brojeva koji su takođe kvadratni brojevi; na primer: 1, 36. Neki od njih mogu biti generisani jednostavnom rekurzivnom formulom:

S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)

sa

S_{1}=1.

Svi kvadratni trougaoni brojevi su nađeni rekurzijom

S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2

sa

S_{0}=0

i

S_{1}=1.

Kvadrat čija je dužina strane trougaoni broj može da se podeli na kvadrate i polu-kvadrate čije oblasti dodaju kubove.

Takođe, kvadrat n-tog trougaonog broja je isti kao zbir kubova celih brojeva od 1 do n.

Zbir svih trougaonih brojeva do n-tog trougaonog broja je n-ti tetraedarski broj,

{\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.

Uopšteno govoreći, razlika između n-tog m-togonalnog broja i n-tog $(m + 1)$ -togonalnog broja je $(n - 1)$ -ti trougaoni broj. Na primer, šesti heptagonalni broj (81) minus šesti heksagonalni broj (66) jednako je petom trougaonom broju, 15. Svaki drugi trougaoni broj je heksagonalan broj. Poznavajući trougaone brojeve, može se naći bilo koji centriran poligonalan broj: n-ti centriran k-gonalan broj se dobija iz formule

Ck_{n}=kT_{n-1}+1\

gde je $T$ trougaoni broj.

Pozitivna razlika dva trougaona broja je trapezoidni broj.

Druga svojstva

Trougaoni brojevi koji odgovaraju prvostepenom slučaju Faulhaberove forumule.

Naizmenični trougaoni brojevi (1, 6, 15, 28, ...) su heksagonalni brojevi.

Svaki paran savršen broj je trougaoni (a i šestougaoni), što se vidi iz formule

M_{p}2^{p-1}=M_{p}(M_{p}+1)/2=T_{M_{p}}

gde je $M$ _$p$ Mersenov prost broj. Nijedan neparan savršen broj nije poznat, pa su svi poznati savršeni brojevi trougaoni.

Na primer, treći trougaoni broj je (3 × 2 =) 6, sedmi je (7 × 4 =) 28, 31. je (31 × 16 =) 496, a 127. je (127 × 64 =) 8128.

U dekadnom sistemu, digitalni koren nule trougaonog broja je uvek 1, 3, 6 ili 9. Stoga svaki trouglasti broj je ili deljiv sa tri ili ima ostatak 1 kada se podeli brojem devet:

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

…

Obrazac digitalnog korena za trougaone brojeve, ponavljajući svakih devet uslova, kao što je prikazano gore, je "1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9".

Obrnuto, međutim, nije uvek istinito. Na primer, digitalni koren broja 12 je 3 i deljiv je sa tri,a broj 12 ipak nije trougaoni broj.

Ako je $x$ is trougaoni broj, onda je $ax + b$ itakođe trougaoni broj, gde je a neparan kvadrat i $b$ = $(a - 1) / 8$

Primećujemo da će $b$ uvek biti trougaoni broj, jer $8 \times T n + 1 = (2 n + 1) 2$ , koji daje sve neparne kvadrate otkrivene množenjem trougaonog broja brojem 8 i dodavanjem broja 1, a proces za $b$ za dato a je neparan kvadrat suprotan od ove operacije.

Prvih nekoliko parova ovog oblika (ne računajući $1 x + 0$ ) su: $9 x + 1$ , $25 x + 3$ , $49 x + 6$ , $81 x + 10$ , $121 x + 15$ , $169 x + 21$ , … itd. Dato $x$ je ekvivalento $T n$ , ove formule daju $T 3 n + 1$ , $T 5 n + 2$ , $T 7 n + 3$ , $T 9 n + 4$ , i tako dalje.

Zbir svih recipročnih nula trougaonih brojeva je:

\!\ \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}+n}}=2.

To se može prikazati korišćenjem osnovnog zbira teleskopske serije:

\!\ \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n(n+1)}}=1.

Dve druge zanimljive formule u vezi sa trougaonim brojevima su:

T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab\

i

T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},\

od kojih se obe mogu lako utvrditi bilo gledajući tačke obrazaca (vidi gore) ili nekom jednostavnom algebrom.

1796., nemački matematičar i naučnik Karl Fridrih Gaus je otkrio da je svaki pozitivan ceo broj moguće predstaviti kao zbir od najviše tri trougaona broja, napisavši u svom dnevniku svoje čuvene reči, "EΥΡHKA! broj = Δ + Δ + Δ". Imajte na umu da ova teorema ne znači da su trougaoni brojevi različiti (kao u slučaju 20 = 10 + 10), niti da rešenje sa tačno tri nule trougaonih brojeva mora da postoji. Ovo je poseban slučaj Fermaove teoreme poligonalnog broja.

Najduži trougaoni broj oblika $2 k - 1$ je 4095 (vidi jednačinu Ramanudžan-Nagela)

Vaclav Franćišek Šerpinski je postavio pitanje o postojanju četiri različita trougaona broja u geometrijskoj progresiji. Poljski matematičar Kažimjež Šimicek pretpostavio je da je to nemoguće. Njegovu pretpostavku su dokazali Fang i Čen 2007. godine.^[4]^[5]

Aplikacije

Mrežna topologija $n$ računarskih uređaja zahteva prisustvo $T n - 1$ kablova ili drugih veza; Ovo je ekvivalentno gorenavedenom problemu rukovanja.

U formatu turnira koji koristi grupnu fazu tzv. sistem "svako sa svakim", broj utakmica koje je potrebno odigrati između n timova je ekvivalentan trougaonom broju $T n - 1$ . Na primer, grupa od 4 tima treba da odigra 6 mečeva, a grupa od 8 timova treba da odigra 28 mečeva. Ovo je takođe ekvivalentno problemu rukovanja i potpuno povezano sa problemom mreže.

Jedan od načina obračunavanja depresijacije sredstva je metod zbira cifara godina, koji uključuje nalaz $T n$ , gde je $n$ dužina u godinama korisnog života sredstva. Svake godine, sredstvo gubi $(b - s) \times (n - y) ⁄ T n$ , gde je $b$ početna vrednost sredstva (u jedinici valute), $s$ je njegova konačna vrednost za spasavanje, $n$ je konačan broj godina u kojima je sredstvo bilo upotrebljivo, a $y$ tekuća godina u rasporedu depresijacije . Po ovom metodu, sredstvo sa vekom korišćenja $n$ = 4 godine će izgubiti 4/10 svojih "gubljivih" vrednosti u prvoj godini, 3/10 u drugoj, 2/10 u trećoj, i 1/10 u četvrtoj, sračunavajući konačnu depresijaciju 10/10 (potpunu) izgubljene vrednosti.

Trougaoni koreni i testovi za trougaone brojeve

Po analogiji kvadratnog korena x, može se definisati (pozitivan) trougaoni koren x kao broj n takav da je $T n = x$ :^[6]

n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}

koji sledi iz kvadratne formule. Pa je ceo broj x trougaoni ako i samo ako je $8 x + 1$ kvadrat. Ekvivalentno, ako je pozitivni koren n od x ceo broj, onda je x n- $ti$ trougaoni broj.^[6]

Vidi još

Reference

^ Hayes, Brian. „Gauss's Day of Reckoning”. American Scientist. Computing Science. Arhivirano iz originala 02. 04. 2015. g. Pristupljeno 16. 04. 2014.
^ Eves, Howard. „Webpage cites AN INTRODUCTION TO THE HISTORY OF MATHEMATICS”. Mathcentral. Pristupljeno 28. 03. 2015.
^ „The Handshake Problem”. Arhivirano iz originala 24. 11. 2015. g. Pristupljeno 18. 11. 2015. Tekst „ National Association of Math Circles ” ignorisan (pomoć)
^ Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression
^ Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers
^ ^a ^b Euler, Leonhard; Lagrange, Joseph Louis (1810), Elements of Algebra, 1 (2nd izd.), J. Johnson and Co., str. 332—335

Spoljašnje veze

Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Arithmetic series”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Triangular numbers at cut-the-knot
There exist triangular numbers that are also square at cut-the-knot
Weisstein, Eric W. „Triangular Number”. MathWorld.
Triangular numbers via 12 days of Christmas by Vi Hart
Hypertetrahedral Polytopic Roots by Rob Hubbard, including the generalisation to triangular cube roots, some higher dimensions, and some approximate formulae

[Gauss-1] Hayes, Brian. „Gauss's Day of Reckoning”. American Scientist. Computing Science. Arhivirano iz originala 02. 04. 2015. g. Pristupljeno 16. 04. 2014.

[2] Eves, Howard. „Webpage cites AN INTRODUCTION TO THE HISTORY OF MATHEMATICS”. Mathcentral. Pristupljeno 28. 03. 2015.

[3] „The Handshake Problem”. Arhivirano iz originala 24. 11. 2015. g. Pristupljeno 18. 11. 2015. Tekst „ National Association of Math Circles ” ignorisan (pomoć)

[4] Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression

[5] Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers

[EulerRoots-6] Euler, Leonhard; Lagrange, Joseph Louis (1810), Elements of Algebra, 1 (2nd izd.), J. Johnson and Co., str. 332—335

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]