Centar mase

Centar mase je tačka na objektu (ili sistemu) $\mathbb {R} ^{n}$ u kojoj se može smatrati da je koncentrisana čitava masa objekta. Zahvaljujući ovome, čitav objekat se može tretirati kao materijalna tačka, čija je masa jednaka ukupnoj masi sistema, i njegovo kretanje se može porediti sa kretanjem ovakve materijalne tačke. U centru mase je napadna tačka gravitacione sile koja deluje na telo.

Ova igračka koristi principe centra mase da bi održavala ravnotežu na prstu

Težište predstavlja tačku na objektu u kojoj bi se nalazio centar mase kada bi objekat bio konstantne gustine.

Arhimedov zakon poluge

Grčki fizičar i matematičar Arhimed je prvi uveo pojam centra mase i otkrio svojstva poluge. Zakon poluge definiše dobijanje višestruke sile na jednom njenom kraju, promenom rastojanja između oslonca i krajeva poluge. Zakon je sačinjen od sedam postulata koji su navedeni u Arhimedovom delu "O ravnoteži ravnih tela ili o težištima ravnih tela". Arhimed je pod težištem razumeo tačku koja ima osobinu da ostane u ravnoteži kad se za nju obesi telo bez obzira na položaj koji mu je dat.

Arhimed i poluga

,,Dajte mi oslonac i dovoljno dugačku polugu i promeniću svet."

Određivanje centra mase

Centar masa tačaka (jednodimenzioni sistem)

Najjednostavniji primer jeste primer klackalice: Imamo date dve tačke $S$ i $P$ na krajevima klackalice sa svojim masama $m_{1}$ i $m_{2}\ (m_{1},m_{2}\neq 0)$ što ćemo označiti sa $S(m_{1}),\ P(m_{2})$ i neka je $T$ tačka oslonca čiji se položaj traži da bi klackalica bila u ravnoteži. Za $T$ važi:

$|ST|:|TP|=m_{2}:m_{1}\Longleftrightarrow m_{1}{\overrightarrow {TS}}+m_{2}{\overrightarrow {TP}}={\overrightarrow {0}}$

Centar mase tačaka

Iz navedene ekvivalencije se zaključuje da se u težištu masa $T$ sile poništavaju.

Uvođenjem proizvoljne tačke $O,$ može se izvesti definicija težišta masa tačaka $S(m_{1})$ i $P(m_{2})$:

$m_{1}({\overrightarrow {TO}}+{\overrightarrow {OS}})+m_{2}({\overrightarrow {TO}}+{\overrightarrow {OP}})={\overrightarrow {0}}$

Iz ove formule se lako izračunava vektor položaja tačke $T$:

${\overrightarrow {OT}}={\frac {1}{m_{1}+m_{2}}}(m_{1}{\overrightarrow {OS}}+m_{2}{\overrightarrow {OP}})$

Centar mase $n$ tačaka se izračunava formulom:

${\overrightarrow {OT}}={\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}\sum _{k=1}^{n}m_{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}$

Težište trougla

• Težišna duž je duž koja spaja teme sa centrom naspramne stranice.
  • $S_{2}$ - centar mase tačaka $P$ i $Q$
  • $SS_{1}$ - težišna duž iz $S$
• Težište trougla je centar masa trougla sa jednakim opterećenjima/masama u temenima trougla.

Teorema: Težišne duži se seku u centru masa.

Primer klackalice u ravnoteži

Analogno prethodnom slučaju može se izračunati težište mase i za tri tačke $S(m_{1}),$ $P(m_{2})$ i $Q(m_{3})$:

${\overrightarrow {0}}=m_{1}{\overrightarrow {TS}}+m_{2}{\overrightarrow {TP}}+m_{3}{\overrightarrow {TQ}}$

Ovo se fizički može gledati kao trougao od čvrstog materijala koji je u ravnoteži ukoliko je oslonac u tački $T$, a masa skoncentrisana u temenima.

Uvođenjem tačke $O$ pomoću prethodne formule se može izesti formula za izračunavanje vektora položaja:

${\overrightarrow {OT}}={\frac {1}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}(m_{1}{\overrightarrow {OS}}+m_{2}{\overrightarrow {OP}}+m_{3}{\overrightarrow {OQ}})$

Centar mase homogenih tela

Kod homogenih tela centar mase se nalazi u preseku dijagonala.

Ukoliko je homogeno telo u obliku latiničnog slova "L" centar mase se pronalazi u nekoliko koraka:

1. Telo se podeli na dva četvorougla kao na slici (slika 2) . Odredi se centar mase oba četvorougla (centar mase četvorougla je u preseku njegovih dijagonala). Duž $AB$ spaja težišta ova dva četvorougla.
2. Telo se podeli na dva četvorougla kao na slici (slika 3). Odredi se centar mase oba četvorougla (centar mase četvorougla je u preseku njegovih dijagonala). Duž $CD$ spaja težišta ova dva četvorougla
3. Presečna tačka $(O)$ duži $AB$ i $CD$ je centar mase ovog tela

Centar mase tela u obliku slova "L"

Centar mase dvodimenzionog sistema

U zavisnosti od objekta za koji se izračunava centar mase postoje dva slučaja. U diskretnom slučaju kada je dato $n$ materijalnih tela ($n$ je konačan broj), svaki sa masom $m_{i}$ koji su raspoređeni u nekoj ravni tako da se svako materijalno telo nalazi u tački $(x_{i},y_{i})$

$M=\sum m_{i}$ je ukupna masa sistema. Svako telo mora imati moment sile oko svake ose. Odakle sledi:

Moment oko $x$-ose:

$\mu _{x}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}$

Moment oko $y$-ose:

$\mu _{y}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}$

Tačka $T$ koja je centar mase sistema ima koordinate $T={\frac {1}{M}}(\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i},\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}).$

U slučaju kada je dat neprekidan objekat ove se formule mogu uopštiti tako što se umesto sume koristi ingegral.

Fizika

Mehanički sistem

Mehanički sistem predstavlja skup materijalnih tačaka ili tela gde su položaji i kretanja svih materijalnih tačaka ili tela međusobno zavisni. Pri tome se pretpostavlja postojanje sila interakcije između pojedinih čestica (tela). Kruto telo se može smatrati mehaničkim sistemom čestica od kojih je i sastavljeno. Klasičan primer mehaničkog sistema je Sunčev sistem. U njemu su sva tela povezana međusobnim silama interakcije.

Masa sistema i centar mase sistema

Kretanje sistema će sigurno zavisiti, osim od sila koje deluju na njega, od ukupne mase sistema i raspodele mase u sistemu. Masa sistema je jednaka aritmetičkoj sredini masa svih čestica (tela) koje ga čine $m=\sum _{k}m_{k}$. Pri razmatranju kretanja krutih tela i drugih mehaničkih sistema od važnosti je tačka koja se naziva centrom mase. Ako se sistem sastoji od konačnog broja tačaka, čije mase su $m_{1},m_{2}...,m_{k}...,m_{n}$ ($n$ je ukupan broj tih tačaka), centrom mase se naziva tačka $C$ čiji je vektor položaja ${\vec {r}}_{c}$ određen izrazom

${\vec {r}}_{c}$= ${\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}{\vec {r}}_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}$= ${\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}{\vec {r}}_{k}}{m}}$

gde su ${\vec {r}}_{1}$, ${\vec {r}}_{2}$..., ${\vec {r}}_{k}$..., ${\vec {r}}_{n}$ vektori položaja u odnosu na odabranu tačku $O.$

U Dekartovom koordinatnom sistemu, koordinate položaja centra mase su određene sa:

$x_{C}=\ {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}x_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}$

$y_{C}=\ {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}y_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}$

$z_{C}=\ {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}z_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}$

Treba primetiti da centar mase nije materijalna tačka, već se radi o geometrijskoj tački.

Centar mase ne mora biti ni na jednoj od materijalnih tačaka (ili telu, ako je ono u pitanju). Centar mase karakteriše raspodelu mase u mehaničkom sistemu (ili telu). U slučaju krutih tela, koja imaju kontinualnu raspodelu mase, mora se razmišljati na "diferencijalni" način. U mislima telo će se podeliti na elementarne mase $dm,$ pa izraz za centar mase tela poprima oblik

${\vec {r}}_{c}$=${\frac {\int \limits _{m}\,{\vec {r}}\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}$

U Dekartovim koordinatama, koordinate položaja centra mase tela su date sa

$x_{C}=\ {\frac {\int \limits _{m}\,x\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}$

$y_{C}=\ {\frac {\int \limits _{m}\,y\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}$

$z_{C}=\ {\frac {\int \limits _{m}\,z\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}$

Astronomija

Baricentar Zemlje i Meseca

Centar mase ima važan uticaj u astronomiji i astrofizici, gde se obično naziva i baricentar. Baricentar je tačka između dva objekta u kojoj oni balansiraju između sebe; to je centar mase gde dva ili više nebeskih tela kruže jedni oko drugih.

Masa Meseca, iako 81,3 puta manja od mase Zemlje, nije zanemarljiva. Ona deluje na Zemlju i zapravo Mesec ne kruži oko Zemlje, već Mesec i Zemlja osciliraju oko jedne zajedničke tačke - baricentra. I zapravo tačka u kojoj se nalazi baricentar obilazi Sunce po eliptičnoj putanji dok centri Meseca i Zemlje osciliraju oko te tačke.

Literatura

• T. Šukilović, S. Vukmirović (2015). Geometrija za informatičare. Matematički fakultet, Beograd. ISBN 978-86-7589-106-2. 
• Francis Weston Sears, Mehanika, talasno kretanje i toplota, Naučna knjiga, Beograd, 1962.
• G. Kalajdžić, M. Đorić, Geometrija, Matematički fakultet, Beograd, 2013
• Opšta enciklopedija Larousse, 2. tom, Vuk Karadžić, Beograd, 1972.
• Andre K.T. Assis, Archimedes, the Center of Gravity, and the First Law of Mechanics, Montreal 2010
• Baron, Margaret E. (2004) [1969]. The Origins of the Infinitesimal Calculus. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-49544-6. 
• Beatty, Millard F. (2006). Principles of Engineering Mechanics, Volume 2: Dynamics—The Analysis of Motion. Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering. 33. Springer. ISBN 978-0-387-23704-6. 
• Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew (1963). The Feynman Lectures on Physics. Addison Wesley. ISBN 978-0-201-02116-5. 
• Administration, Federal Aviation (2007), Aircraft Weight and Balance Handbook (PDF), United States Government Printing Office, Arhivirano iz originala (PDF) 19. 10. 2011. g., Pristupljeno 23. 10. 2011 
• Giambattista, Alan; Richardson, Betty McCarthy; Richardson, Robert Coleman (2007). College physics. 1 (2nd izd.). McGraw-Hill Higher Education. ISBN 978-0-07-110608-5. 
• Goldstein, Herbert; Poole, Charles; Safko, John (2001). Classical Mechanics (3rd izd.). Addison Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9. 
• Hamill, Patrick (2009). Intermediate Dynamics. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-5728-1. 
• Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). An Introduction to Mechanics (2nd izd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-035048-9. 
• Levi, Mark (2009). The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14020-9. 
• Mancosu, Paolo (1999). Philosophy of mathematics and mathematical practice in the seventeenth century. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513244-1. 
• Murray, Carl; Dermott, Stanley (1999). Solar System Dynamics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57295-8. 
• Sangwin, Christopher J. (2006), „Locating the centre of mass by mechanical means” (PDF), Journal of the Oughtred Society, 15 (2), Arhivirano iz originala (PDF) 05. 10. 2011. g., Pristupljeno 23. 10. 2011 
• Shore, Steven N. (2008). Forces in Physics: A Historical Perspective. Greenwood Press. ISBN 978-0-313-33303-3. 
• Symon, Keith R. (1971). Mechanics (3rd izd.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-07392-8. 
• Van Pelt, Michael (2005). Space Tourism: Adventures in Earth Orbit and Beyond. Springer. ISBN 978-0-387-40213-0. 
• Walton, William (1855), A collection of problems in illustration of the principles of theoretical mechanics (2nd izd.), Deighton, Bell & Co. 
• Asimov, Isaac (1988) [1966]. Understanding Physics. Barnes & Noble Books. ISBN 978-0-88029-251-1. 
• Beatty, Millard F. (2006). Principles of Engineering Mechanics, Volume 2: Dynamics—The Analysis of Motion. Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering. 33. Springer. ISBN 978-0-387-23704-6. 
• Feynman, Richard; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (1963). The Feynman Lectures on Physics. 1 (Sixth printing, February 1977 izd.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-02010-6. 
• Frautschi, Steven C.; Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M.; Goodstein, David L. (1986). The Mechanical Universe: Mechanics and heat, advanced edition. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30432-0. 
• Goldstein, Herbert; Poole, Charles; Safko, John (2002). Classical Mechanics (3rd izd.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9. 
• Goodman, Lawrence E.; Warner, William H. (2001) [1964]. Statics. Dover. ISBN 978-0-486-42005-9. 
• Hamill, Patrick (2009). Intermediate Dynamics. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-5728-1. 
• Jong, I. G.; Rogers, B. G. (1995). Engineering Mechanics: Statics. Saunders College Publishing. ISBN 978-0-03-026309-5. 
• Millikan, Robert Andrews (1902), Mechanics, molecular physics and heat: a twelve weeks' college course, Chicago: Scott, Foresman and Company, Pristupljeno 25. 5. 2011 
• O'Donnell, Peter J. (2015). Essential Dynamics and Relativity. CRC Press. ISBN 978-1-466-58839-4. 
• Pollard, David D.; Fletcher, Raymond C. (2005). Fundamentals of Structural Geology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83927-3. 
• Pytel, Andrew; Kiusalaas, Jaan (2010). Engineering Mechanics: Statics. 1 (3rd izd.). Cengage Learning. ISBN 978-0-495-29559-4. 
• Rosen, Joe; Gothard, Lisa Quinn (2009). Encyclopedia of Physical Science. Infobase Publishing. ISBN 978-0-8160-7011-4. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2006). Principles of physics: a calculus-based text. 1 (4th izd.). Thomson Learning. ISBN 978-0-534-49143-7. 
• Shirley, James H.; Fairbridge, Rhodes Whitmore (1997). Encyclopedia of planetary sciences. Springer. ISBN 978-0-412-06951-2. 
• De Silva, Clarence W. (2002). Vibration and shock handbook. CRC Press. ISBN 978-0-8493-1580-0. 
• Symon, Keith R. (1971). Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-07392-8. 
• Tipler, Paul A.; Mosca, Gene (2004). Physics for Scientists and Engineers. 1A (5th izd.). W. H. Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-0900-8. 
• Vint, Peter (2003), „LAB: Center of Mass (Center of Gravity) of the Human Body” (PDF), KIN 335 - Biomechanics, Pristupljeno 18. 10. 2013 

Spoljašnje veze

• Motion of the Center of Mass shows that the motion of the center of mass of an object in free fall is the same as the motion of a point object.
• The Solar System's barycenter, simulations showing the effect each planet contributes to the Solar System's barycenter.
• Center of Gravity at Work, video showing bjects climbing up an incline by themselves.