Квадратна форма

Квадратна форма је алгебарски појам који означава пресликавање $\Phi :V\to K$, где је V векторски простор над пољем K, индуковано пресликавањем $F:V\times V\to K$, и то тако да важи $(\forall u\in V)\Phi (u)=F(u,u)$, а које испуњава услове:

$1^{\circ }(\forall \alpha \in K)(\forall u\in V)\Phi (\alpha u)=\alpha ^{2}\Phi (u)$, и

$2^{\circ }F_{0}(u,v)=\Phi (u+v)-\Phi (u)-\Phi (v)$ је билинеарно пресликавање.

Скуп свих оваквих пресликавања Ф означава се са Q(V, K), и за њега важи да је потпростор простора свих пресликавања из V у K ($K^{V}$).

Особине квадратних форми

С обзиром на дефиницију, уколико је F симетрична билинеарна форма, важиће и $F_{0}=2F$, за већ дате ознаке. Додатно, ако поље K није поље карактеристике 2, тада ће, имајући у виду дату једнакост, бити и $F(u,v)={\frac {1}{2}}(\Phi (u+v)-\Phi (u)-\Phi (v))$.

Важи и обратно, тј. за ма које пресликавање Ф које испуњава 1° и 2° постојаће јединствена билинеарна форма F за коју важи $(\forall u\in V)\Phi (u)=F(u,u)$ и $F(u,v)={\frac {1}{2}}(\Phi (u+v)-\Phi (u)-\Phi (v))$, али само уколико је карактеристика поља K већа од 2.

Управо ова једнозначност дозвољава увођење посебног назива за функцију F — поларизација или поларна форма квадратне форме Ф.

Поред овога, може се дефинисати и изоморфизам веторских простора Q(V, K) и S2(V, K) — $\Omega :Q(V,K)\to S2(V,K)$ са $\Omega (\Phi )=F$.

Матрице квадратних форми

Нека је Ф квадратна форма и F њена поларизација и А ($A=[a_{ij}]$) матрица F у бази е ($e=[e_{1},...,e_{n}]$). Пошто је F билинеарна форма, важи $F(u,v)=X^{T}AY$, за неке X и Y. Но, како $\Phi (u)=F(u,u)$, то је $\Phi (u)=X^{T}AY$, за X колону координата вектора u у бази е. Ипак, оваква матрица А није једнозначно одређена, али међу свима које испуњавају услов постоји јединствена која је симетрична. Ово је матрица поларизације F за Ф у бази е, а она се још назива и матрицом квадратне форме Ф у бази е, и означава се са $[\Phi ]_{e}$. Слично као малопре, дата матрица квадратне форме одређује тачно једну квадратну форму (тј. важи и обрат). Општа матрица квадратне форме у бази димензије n је облика

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&\dots &a_{2n}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&a_{2n}&a_{3n}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}$,

тј. важи $[A]_{ij}=[A]_{ji}$ за i и j који су између 1 и n.

Детерминанта матрице квадратне форме Ф се још назива и дискриминантом квадратне форме, у ознаци $\Delta _{e}(\Phi )=\det[\Phi ]_{e}$. Уколико постоји још нека база простора V — g таква да $g=Pe$ тада важи $\Delta _{g}(\Phi )=(\det P)^{2}\Delta _{e}(\Phi )$.

Види још

• Линеарна алгебра
• Пресликавање
• Векторски простор

Литература

• Калајџић, Гојко (2007). Linearna algebra. Математички факултет. ISBN 9788675890621.