Мјерљиви простор

(преусмерено са Борелов простор)

У математици, мјерљиви простор или Борелов простор [1] је основни објект у теорији мјера. Састоји се од скупа и σ-алгебре на овом скупу и даје информације о скуповима који ће се мјерити.

ДефиницијаУреди

Размотримо неиспразни скуп   и σ-алгебру   на  . Тада се торка   назива мјерљивим простором.[2]

Имајте на уму да за разлику од простора за мјерење, није потребна никаква мјера за мјерљиви простор.

ПримјерУреди

Погледајте скуп

 

Једна могућа σ-алгебра би била

 

Тада је   мјерљиви простор. Друга могућа σ-алгебра била био партитивни скуп на  :

 

Са овим, други мјерљиви простор на скупу   је дат са  .

Обични мјерљиви просториУреди

Ако је   коначан или пребројив бесконачан, σ-алгебра је већину времена партитивни скуп на  , тако да је  . То доводи до мјерног простора  .

Ако је   тополошки простор, σ-алгебра је најчешће Борелова σ-алгебра  , тако да је  . То доводи до мјерљивог простора   који је заједнички за све тополошке просторе као што су реални бројеви  .

Двосмисленост са Бореловим просторимаУреди

Термин Борелов простор се користи за различите типове мјерљивих простора. Може се односити на

  • било који мјерљиви простор, тако да је синоним за мјерљиви простор као што је горе дефинисано [1]
  • мјерљиви простор који је Борел изоморфан мјерљивом подскупу реалних бројева (из Борелове σ-алгебре)[3]

РеференцеУреди

  1. 1,0 1,1 Sazonov, V.V. (2001) [1994], „Measurable space”, Ур.: Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
  2. ^ Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. стр. 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. 
  3. ^ Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. 77. Switzerland: Springer. стр. 15. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7.