Брза Фуријеова трансформација
Брза Фуријеова трансформација (енгл. Fast Fourier transformation; често се означава као FFT) је алгоритам за „брзо“ израчунавање вредности дискретне Фуријеове трансформације. Убрзање у односу на уобичајен поступак израчунавања дискретне Фуријеове трансформације постиже се избегавањем поновног израчунавања израза који се међусобно негирају. Алгоритам се приписује Џејмсу В. Кулију (James W. Cooley) и Џону В. Тукију (John W. Tukey) који су га објавили 1965. године. Међутим, Карл Фридрих Гаус га је развио већ 1805. да би израчунао путању астероида Палас и Јуно. Притом су многе верзије развијене и пре Кулијеве и Тукијеве варијанте. После су се појавила многа побољшања и варијације.
За брзу Фуријеову трансформацију постоји и алгоритам у супротном смеру - инверзна брза Фуријеова трансформација.
Неформалан опис Кули-Туки алгоритмаУреди
Кули-Туки алгоритам се базира на идеји подели-па-владај (divide-and-conquer, енг.). Предуслов за његово извршавање је да број тачака (тачке измерене за неки сигнал, на пример) на којима се врши трансформација буде степен двојке. Како често можемо сами да изаберемо колико тачака хоћемо да узмемо, ово и не представља велику препреку.
ДФТ израчунавамо тако што наше тачке (вектор) прво поделимо на два вектора, један који одговара компонентама изворног вектора са парним индексима, а други са непарним. Онда израчунамо ДФТ оба вектора и спојимо резултате. Притом користимо особине јединичног корена Фуријеове матрице. После понављамо рекурзивно поступак. Тиме можемо да ДФТ на крају израчунамо према сложености у времену.
Формалан опис Кули-Туки алгоритмаУреди
Присетимо се дефиниције дискретне Фуријеове трансформације:
- за
где је вектор који желимо да трансформишемо, а тај вектор Фурије трансформисан.
Дефинишимо .
Потом дефинишемо вектор са парним индексима:
и означимо његову ДФТ као:
те вектор са непарним индексима:
и његову ДФТ:
Следи спајање:
Напомена: , али се ради лакшег разумевања наводи различито!
Често смо у пракси заинтересовани за конкретне фреквенције. Уводимо нотацију:
- , је негде у близини , а периода нашег мерења.
Онда је брза фуријеова трансформација за одређену фреквенцију:
ЛитератураУреди
- Brenner, N.; C. Rader (1976). „A New Principle for Fast Fourier Transformation”. IEEE Acoustics, Speech & Signal Processing. 24 (3): 264—266. doi:10.1109/TASSP.1976.1162805.
- Cooley James W.; Tukey, John W. (1965). „An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series”. Math. Comput. 19 (90): 297—301. doi:10.1090/S0025-5718-1965-0178586-1.
- Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein, 2001. Introduction to Algorithms, 2nd. ed. MIT Press and McGraw-Hill. ISBN 978-0-262-03293-3.. Especially chapter 30, "Polynomials and the FFT."
- Duhamel, Pierre (1990). „Algorithms meeting the lower bounds on the multiplicative complexity of length- DFTs and their connection with practical algorithms”. IEEE Trans. Acoust. Speech. Sig. Proc. 38 (9): 1504—151. doi:10.1109/29.60070.
- P. Duhamel and M. Vetterli, 1990, Fast Fourier transforms: a tutorial review and a state of the art, Signal Processing 19: 259–299.
- A. Edelman, P. McCorquodale, and S. Toledo, 1999, The Future Fast Fourier Transform?, SIAM J. Sci. Computing 20: 1094–1114.
- D. F. Elliott, & K. R. Rao, 1982, Fast transforms: Algorithms, analyses, applications. New York: Academic Press.
- Funda Ergün, 1995, Testing multivariate linear functions: Overcoming the generator bottleneck, Proc. 27th ACM Symposium on the Theory of Computing: 407–416.
- M. Frigo and S. G. Johnson, 2005, "The Design and Implementation of FFTW3," Proceedings of the IEEE 93: 216–231.
- Carl Friedrich Gauss, 1866. "Nachlass: Theoria interpolationis methodo nova tractata," Werke band 3, 265–327. Göttingen: Königliche Gesellschaft der Wissenschaften.
- W. M. Gentleman and G. Sande, 1966, "Fast Fourier transforms—for fun and profit," Proc. AFIPS 29: 563–578. doi:10.1145/1464291.1464352
- H. Guo and C. S. Burrus, 1996, Fast approximate Fourier transform via wavelets transform, Proc. SPIE Intl. Soc. Opt. Eng. 2825: 250–259.
- H. Guo, G. A. Sitton, C. S. Burrus, 1994, The Quick Discrete Fourier Transform, Proc. IEEE Conf. Acoust. Speech and Sig. Processing (ICASSP) 3: 445–448.
- Steve Haynal and Heidi Haynal, "Generating and Searching Families of FFT Algorithms", Journal on Satisfiability, Boolean Modeling and Computation vol. 7, pp. 145–187 (2011).
- T, Heideman M.; Johnson, D. H.; C. S. Burrus (1984). „Gauss and the history of the fast Fourier transform”. IEEE ASSP Magazine. 1 (4): 14—21. doi:10.1109/MASSP.1984.1162257.
- Heideman, Michael T.; Burrus, C. Sidney (1986). „On the number of multiplications necessary to compute a length- DFT”. IEEE Trans. Acoust. Speech. Sig. Proc. 34 (1): 91—95. doi:10.1109/TASSP.1986.1164785.
- S. G. Johnson and M. Frigo, 2007. "A modified split-radix FFT with fewer arithmetic operations," IEEE Trans. Signal Processing 55 (1): 111–119.
- T. Lundy and J. Van Buskirk, 2007. "A new matrix approach to real FFTs and convolutions of length 2k," Computing 80 (1): 23-45.
- Kent, Ray D. and Read, Charles. Acoustic Analysis of Speech. 2002. ISBN 978-0-7693-0112-9.. Cites Strang, G. (1994)/May–June). Wavelets. American Scientist, 82, 250-255.
- Morgenstern, Jacques (1973). „Note on a lower bound of the linear complexity of the fast Fourier transform”. J. ACM. 20 (2): 305—306. doi:10.1145/321752.321761.
- M. J. Mohlenkamp (1999). „A fast transform for spherical harmonics” (PDF). J. Fourier Anal. Appl. 5 (2-3): 159—184. doi:10.1007/BF01261607. Архивирано из оригинала (PDF) 06. 02. 2007. г. Приступљено 25. 03. 2012.
- H. J.Nussbaumer (1977). „Digital filtering using polynomial transforms”. Electronics Lett. 13 (13): 386—387. doi:10.1049/el:19770280.
- V. Pan, 1986, The trade-off between the additive complexity and the asyncronicity of linear and bilinear algorithms, Information Proc. Lett. 22: 11-14.
- Christos H. Papadimitriou, 1979, Optimality of the fast Fourier transform, J. ACM 26: 95-102.
- D. Potts, G. Steidl, and M. Tasche, 2001. "Fast Fourier transforms for nonequispaced data: A tutorial", in: J.J. Benedetto and P. Ferreira (Eds.), Modern Sampling Theory: Mathematics and Applications (Birkhauser).
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP (2007). „Chapter 12. Fast Fourier Transform”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd изд.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
- Rokhlin, Vladimir; Tygert, Mark (2006). „Fast algorithms for spherical harmonic expansions”. SIAM J. Sci. Computing. 27 (6): 1903—1928. doi:10.1137/050623073.
- James C. Schatzman, 1996, Accuracy of the discrete Fourier transform and the fast Fourier transform, SIAM J. Sci. Comput. 17: 1150–1166.
- Shentov, O. V.; S. K. Mitra; Heute, U.; Hossen, A. N. (1995). „Subband DFT. I. Definition, interpretations and extensions”. Signal Processing. 41 (3): 261—277. doi:10.1016/0165-1684(94)00103-7.
- Sorensen, H. V.; D. L. Jones; Heideman, M. T.; C. S. Burrus (1987). „Real-valued fast Fourier transform algorithms”. IEEE Trans. Acoust. Speech Sig. Processing. 35 (35): 849—863. doi:10.1109/TASSP.1987.1165220.
- Welch, Peter D. (1969). „A fixed-point fast Fourier transform error analysis”. IEEE Trans. Audio Electroacoustics. 17 (2): 151—157. doi:10.1109/TAU.1969.1162035.
- Winograd, S. (1978). „On computing the discrete Fourier transform”. Math. Computation. 32 (141): 175—199. JSTOR 2006266. doi:10.1090/S0025-5718-1978-0468306-4.