Грам—Шмитов поступак ортонормализације

Грам—Шмитов поступак ортонормализације је метод у линеарној алгебри, који служи за ортогонализацију и нормирање скупа вектора у задатом еуклидском простору.

Поступак је следећи. Узмимо на пример векторски простор произвољне димензије Rⁿ, са базом {v₁, v₂, ... ,v_n}, Грам-Шмитовим поступком ортогонализације можемо да трансформишемо базу {v_i} у ортонормирану базу, {u_i}. Прво нормализујемо v₁: u₁=v₁/||v₁||.

Затим израчунавамо w₂=v₂-<v₂,u₁>u₁, па нормализујемо w₂: u₂=w₂/||w₂||

Овај поступак применимо за све векторе из базе {v_i}: w_i+1=v_i+1-<v_i+1,u_iui>- ... - <v_i+1,u₁>u₁ и u_i+1=w_i+1/||w_i+1||. Вектори {u₁, ... ,v_n} су линеарно независни, и стога чине базу векторског простора Rⁿ.

Пример

Узмимо следећи скуп вектора у Rⁿ (са уобичајеним скаларним производом)

$S=\left\lbrace \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\right\rbrace .$

Сада применимо Грам-Шмитов поступак како бисмо добили ортогонални скуп вектора:

$\mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

$\mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}-\mathrm {proj} _{({3 \atop 1})}\,{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}.$

Проверимо векторе u₁ и u₂ како бисмо утврдили да су стварно ортогонални:

$\langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}\right\rangle =-{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{5}}=0.$

Сада можемо и да их нормализујемо, тако што ћемо их поделити са њиховим дужинама:

Први кораци Грам-Шмитовог поступка.

$\mathbf {e} _{1}={1 \over {\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

$\mathbf {e} _{2}={1 \over {\sqrt {40 \over 25}}}{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}={1 \over {\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}.$