Ермитови полиноми представљају ортогонални низ полинома. Именовани су према Шарлу Ермиту , који их је изучавао 1864 . године. Полиноми су од значаја у теорији вероватноће, комбинаторици и нумеричкој анализи. У физици Ермитови полиноми представљају својствена стања квантнога хармоничкога осцилатора.
Дефиниција
уреди
Постоје два стандардна начина нормализације Ермитових полинома:
( 1 ) H e n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 / 2 d n d x n e − x 2 / 2 {\displaystyle (1)\ \ {\mathit {He}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!} ("пробабилистички' Ермитови полиноми" ), и
( 2 ) H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 = e x 2 / 2 ( x − d d x ) n e − x 2 / 2 {\displaystyle (2)\ \ H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=e^{x^{2}/2}{\bigg (}x-{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}e^{-x^{2}/2}\,\!} ("физикални' Ермитови полиноми" ). Те две дефиниције нису потпуно еквивалентне, па постоји трансформација између две дефиниције:
H n ( x ) = 2 n / 2 H e n ( 2 x ) , H e n ( x ) = 2 − n 2 H n ( x 2 ) . {\displaystyle H_{n}(x)=2^{n/2}{\mathit {He}}_{n}({\sqrt {2}}\,x),\qquad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).} Првих шест пробабилистичких Ермитових полинома He n x ). Првих једанаест полинома је:
H e 0 ( x ) = 1 {\displaystyle {\mathit {He}}_{0}(x)=1\,} H e 1 ( x ) = x {\displaystyle {\mathit {He}}_{1}(x)=x\,} H e 2 ( x ) = x 2 − 1 {\displaystyle {\mathit {He}}_{2}(x)=x^{2}-1\,} H e 3 ( x ) = x 3 − 3 x {\displaystyle {\mathit {He}}_{3}(x)=x^{3}-3x\,} H e 4 ( x ) = x 4 − 6 x 2 + 3 {\displaystyle {\mathit {He}}_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3\,} H e 5 ( x ) = x 5 − 10 x 3 + 15 x {\displaystyle {\mathit {He}}_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x\,} H e 6 ( x ) = x 6 − 15 x 4 + 45 x 2 − 15 {\displaystyle {\mathit {He}}_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15\,} H e 7 ( x ) = x 7 − 21 x 5 + 105 x 3 − 105 x {\displaystyle {\mathit {He}}_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x\,} H e 8 ( x ) = x 8 − 28 x 6 + 210 x 4 − 420 x 2 + 105 {\displaystyle {\mathit {He}}_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105\,} H e 9 ( x ) = x 9 − 36 x 7 + 378 x 5 − 1260 x 3 + 945 x {\displaystyle {\mathit {He}}_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x\,} H e 10 ( x ) = x 10 − 45 x 8 + 630 x 6 − 3150 x 4 + 4725 x 2 − 945 {\displaystyle {\mathit {He}}_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945\,} Првих шест физикалних Ермитеових полинома H n x ). Првих неколико физикалних Ермитових полинома:
H 0 ( x ) = 1 {\displaystyle H_{0}(x)=1\,} H 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle H_{1}(x)=2x\,} H 2 ( x ) = 4 x 2 − 2 {\displaystyle H_{2}(x)=4x^{2}-2\,} H 3 ( x ) = 8 x 3 − 12 x {\displaystyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x\,} H 4 ( x ) = 16 x 4 − 48 x 2 + 12 {\displaystyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\,} H 5 ( x ) = 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x {\displaystyle H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x\,} H 6 ( x ) = 64 x 6 − 480 x 4 + 720 x 2 − 120 {\displaystyle H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120\,} H 7 ( x ) = 128 x 7 − 1344 x 5 + 3360 x 3 − 1680 x {\displaystyle H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x\,} H 8 ( x ) = 256 x 8 − 3584 x 6 + 13440 x 4 − 13440 x 2 + 1680 {\displaystyle H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680\,} H 9 ( x ) = 512 x 9 − 9216 x 7 + 48384 x 5 − 80640 x 3 + 30240 x {\displaystyle H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x\,} H 10 ( x ) = 1024 x 10 − 23040 x 8 + 161280 x 6 − 403200 x 4 + 302400 x 2 − 30240 {\displaystyle H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240\,} Ермитов полином може да се представи и матрицом:
H n ( x ) = | x n − 1 0 0 ⋯ 0 1 x n − 2 0 ⋯ 0 0 1 x n − 3 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 ⋯ x | {\displaystyle H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|}
Ортогоналност
уреди
H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} H e n ( x ) {\displaystyle He_{n}(x)} n -тога-степена за n = 0, 1, 2, 3, .... Ти полиноми су ортогонални у односу на тежинску функцију (меру):
w ( x ) = e − x 2 / 2 {\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\!} He )или
w ( x ) = e − x 2 {\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\!} H )тј. ми имамо:
∫ − ∞ ∞ H m ( x ) H n ( x ) w ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,\mathrm {d} x=0} када је m ≠ n . Даље,
∫ − ∞ ∞ H e m ( x ) H e n ( x ) e − x 2 / 2 d x = 2 π n ! δ n m {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}n!\delta _{nm}} или
∫ − ∞ ∞ H m ( x ) H n ( x ) e − x 2 d x = π 2 n n ! δ n m {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{nm}} Пробабилистички полиноми су дакле ортогонални у односу на стандардну нормалну функцију густине вероватноће.
Рекурзивне релације
уреди
Ермитови полиноми такође задовољавају следеће рекурзије:
H e n + 1 ( x ) = x H e n ( x ) − H e n ′ ( x ) . {\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-{\mathit {He}}_{n}'(x).\,\!} H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − H n ′ ( x ) . {\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).\,\!} Ермитови полиноми представљају Апелов низ , тј. они задовољавају следеће једначине
H e n ′ ( x ) = n H e n − 1 ( x ) , {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}'(x)=n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\,\!} H n ′ ( x ) = 2 n H n − 1 ( x ) , {\displaystyle H_{n}'(x)=2nH_{n-1}(x),\,\!}
H e n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k H e k ( y ) {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}{\mathit {He}}_{k}(y)} H n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) H k ( x ) ( 2 y ) ( n − k ) = 2 − n 2 ⋅ ∑ k = 0 n ( n k ) H n − k ( x 2 ) H k ( y 2 ) . {\displaystyle H_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}H_{k}(x)(2y)^{(n-k)}=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).} Ермитови полиноми задовољавају такође следеће рекурентне релације:
H e n + 1 ( x ) = x H e n ( x ) − n H e n − 1 ( x ) , {\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\,\!} H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − 2 n H n − 1 ( x ) . {\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\,\!} Те последње релације често се користе да би се помоћу почетних полинома израчунали остали.
Генерирајуће функције
уреди
Ермитови полиноми могу да се представе и експоненцијалном генерирајућом функцијом:
exp ( x t − t 2 / 2 ) = ∑ n = 0 ∞ H e n ( x ) t n n ! {\displaystyle \exp(xt-t^{2}/2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathit {He}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!}
exp ( 2 x t − t 2 ) = ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) t n n ! {\displaystyle \exp(2xt-t^{2})=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!} Експлицитни израз
уреди
Физикални Ермитови полиноми могу да се напишу експлицитно као:
H n ( x ) = n ! ∑ ℓ = 0 n / 2 ( − 1 ) n / 2 − ℓ ( 2 ℓ ) ! ( n / 2 − ℓ ) ! ( 2 x ) 2 ℓ {\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{\ell =0}^{n/2}{\frac {(-1)^{n/2-\ell }}{(2\ell )!(n/2-\ell )!}}(2x)^{2\ell }} за парне n и
H n ( x ) = n ! ∑ ℓ = 0 ( n − 1 ) / 2 ( − 1 ) ( n − 1 ) / 2 − ℓ ( 2 ℓ + 1 ) ! ( ( n − 1 ) / 2 − ℓ ) ! ( 2 x ) 2 ℓ + 1 {\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{\ell =0}^{(n-1)/2}{\frac {(-1)^{(n-1)/2-\ell }}{(2\ell +1)!((n-1)/2-\ell )!}}(2x)^{2\ell +1}} за непарне n. Те две једначине могу да се комбинују у једну:
H n ( x ) = n ! ∑ m = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) m m ! ( n − 2 m ) ! ( 2 x ) n − 2 m . {\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.} Ермитова диференцијална једначина
уреди
Пробабилистички Ермитови полиноми представљају решење диференцијалне једначине :
( e − x 2 / 2 u ′ ) ′ + λ e − x 2 / 2 u = 0 {\displaystyle (e^{-x^{2}/2}u')'+\lambda e^{-x^{2}/2}u=0} где је λ константа, са граничним условом да u треба да буде полином ограничен у бесконачности. Решење једначине са граничним условом је
u (x ) = H λ (x ). Диференцијална једначина може и да се напише у облику:
L [ u ] = u ″ − x u ′ = − λ u {\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u} Таква једначина назива се Ермитова једначина, иако се тај назив користи и за блиско повезану једначину:
u ″ − 2 x u ′ = − 2 λ u {\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u} чија решења су физиклани Ермитови полиноми.
Ермитова функција
уреди
Ермитове функције могу да се дефинишу помоћу физикалних полинома::
ψ n ( x ) = ( 2 n n ! π ) − 1 / 2 e − x 2 / 2 H n ( x ) = ( − 1 ) n ( 2 n n ! π ) − 1 / 2 e x 2 / 2 d n d x n e − x 2 {\displaystyle \psi _{n}(x)=(2^{n}n!{\sqrt {\pi }})^{-1/2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}H_{n}(x)=(-1)^{n}(2^{n}n!{\sqrt {\pi }})^{-1/2}\mathrm {e} ^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}}} Пошто те функције садрже квадратни корен функције тежине оне су ортонормалне:
∫ − ∞ ∞ ψ n ( x ) ψ m ( x ) d x = δ n m {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{n\,m}\,} Ермитове функције задовољавају диференцијалну једначину:
ψ n ″ ( x ) + ( 2 n + 1 − x 2 ) ψ n ( x ) = 0 . {\displaystyle \psi _{n}''(x)+(2n+1-x^{2})\psi _{n}(x)=0\,.} Та једначина еквивалентна је Шредингеровој једначини за хармонијски осцилатор у квантној механици , тако да су те функције својствене функције.
Ермитеове функције 0 (црна), 1 (црвена), 2 (плава), 3 (жута), 4 (зелена), and 5 (љубичаста). Ермитове функције задовољавају следеће рекурзионе релације:
ψ n ′ ( x ) = n 2 ψ n − 1 ( x ) − n + 1 2 ψ n + 1 ( x ) {\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)} као и
x ψ n ( x ) = n 2 ψ n − 1 ( x ) + n + 1 2 ψ n + 1 ( x ) {\displaystyle x\;\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)} Литература
уреди
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720
![{\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1af1dbe9a17a96e69d0d602eca405acefc07f98)
