Косинусна теорема — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Бот Додаје: th:กฎโคไซน์ |
|||
Ред 7:
где је ''а'' страна насупрот угла ''А'', страна ''b'' је насупрот угла ''B'', а страна ''с'' је насупрот угла ''С''.
== [[Tригонометрија у равни]] ==
Косинусна теорема има исту аналитичку форму независно од тога да ли је дати [[троугао]] оштроугли (сл.1) или тупоугли (сл.2). Међутим, обично се посебно доказује сваки од та два случаја, као што је урађено у доказу који следи.
[[Слика:Kosinusna-teorema1.gif|мини|Сл.1.
; Косинусна теорема: У сваком троуглу је <math>\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,</math> где је насупрот странице ''a'' угао ''α''.
; Доказ: На слици десно (сл.1) дат је [[
[[Слика:Kosinusna-teorema2.gif|лево|Сл.2. Тупоугли троугао]]
Даље, на слици (2) лево, дат је [[тупоугли троугао]] ABC, са углом α у темену А, већим од правог угла (90°). Висина CD = h пада на продужетак странице AB у тачку D тако да је D-A-B, те је
:: DA = <math>\ p = b \cos(180^o-\alpha)=-b\cos\alpha.</math>
: Са друге стране, троуглови BCD и ACD су правоугли и, према [[Питагорина теорема|Питагориној теореми]] имамо <math>a^2=h^2+(c+p)^2,\; h^2=b^2-p^2,</math> па заменом добијамо
Ред 26:
Другачијим означавањем троугла, добићемо и остале две формуле, које се заједно са наведеном називају косинусна теорема: <math>b^2=c^2+a^2-2ba\cos\beta,\; c^2=a^2+b^2-2ab\cos\beta.</math> Када је, на пример угао у темену С = γ=90°, због cos(90°)=0, последња формула постаје <math>c^2=a^2+b^2,</math> тј. [[Питагорина теорема]] је посебан случај косинусне теореме. Поред тога, косинусна теорема има још неких важних последица.
; Теорема 2: Квадрат било које странице троугла је мањи, једнак, или већи од
; Доказ: Ако је <math>\alpha<90^o,\,</math> тада је <math>\cos\alpha > 0\,</math> и <math>a^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha <b^2+c^2.\,</math>
Ред 32:
: Ако је <math>\alpha>90^o,\,</math> тада је <math>\cos\alpha < 0\,</math> и <math>a^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha > b^2+c^2.\,</math> Крај доказа.
Важи и
; Теорема 3: [[Угао]] троугла је оштар, прав, или туп зависно од тога да ли је [[квадрат]] супротне странице [[Троугао|троугла]] редом мањи, једнак, или већи од збира квадрата остале две стране.
| |||