Тригонометрија — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м →Подела |
|||
Ред 1:
'''Равнинска тригонометрија''', или једноставно [[тригонометрија]], је грана [[математика|математике]] која се бави решавањем [[троугао|троуглова]] [[Еуклидска геометрија|еуклидске]] [[планиметрија|планиметрије]], тј. елементарне [[геометрија|геометрије]] једне равни. Она је од огромног практичног значаја у различитим областима као што су [[инжењерство]], [[архитектура]], [[геодезија]], [[навигација]] и [[астрономија]]. [[Тригонометријске функције]] имају посебно важну улогу у [[Математичка анализа|математичкој анализи]] и користе се за представљање [[талас]]а и других периодичних појава.
== Тригонометријске функције ==
'''Тригонометријске функције''' су [[Функција (математика)|функције]] угла: [[Синус (тригонометрија)|синус]], [[косинус]], [[тангенс]], [[котангенс]], [[секанс]] и [[косеканс]]. Понекад их називамо тригонометријским односима. За тангенс ћемо овде користити уобичајену англосаксонску ознаку ''-{tan}-'', мада се у српском говорном подручју чешће користи ''-{tg}-''; исто тако, за котангенс, уместо ''-{ctg}-'' писаћемо ''-{cot}-'', а за косеканс, који се на српским универзитетима слабије користи, заједно са [[англосаксонски]]м ''-{csc}-'' пишемо и ''-{cosec}-''. Остале наведене тригонометријске функције имају исте скраћенице у већем делу света. Данас се веома ретко срећу још два назива тригонометријских функција: [[синус версус]] и [[косинус версус]].
=== Правоугли троугао ===
На слици 1. је фигура: правоугли троугао <math>ABC</math>, са истоименим страницама (мала слова абецеде) насупрот темена (велика слова) и углом алфа (мало [[грчки алфабет|грчко слово]] <math>\alpha</math>) у темену <math>A</math>. Дакле, наспрамна катета темену <math>A</math> је <math>a</math>, налегла катета је <math>b</math>, [[хипотенуза]] је <math>c</math>. Дефинишемо основне четири тригонометријске функције: синус, косинус, тангенс и котангенс, истог угла алфа.
[[Датотека:Pravougli-trougao.gif|мини|Сл.1. Правоугли троугао]]
: <math>\sin \alpha = \frac{a}{c}, \quad \cos \alpha = \frac{b}{c}</math>,
: <math>\tan \alpha = \frac{a}{b}, \quad \cot \alpha = \frac{b}{a}</math>.
Постоје још две основне тригонометријске функције угла, косеканс и секанс:
: <math>\csc \alpha = \frac{c}{a}, \quad \sec \alpha = \frac{c}{b}</math>.
Косеканс се код нас чешће пише cosec α. Kao што је дефинисано, три од ових функција су реципрочне осталим три:
: <math>\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}, \quad \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}, \quad \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}</math>.
Из истих дефиниција изводимо:
: <math>\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \frac{\csc \alpha}{\sec \alpha}, \quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1</math>.
Следеће основне релације, које се називају ''основни тригонометријски идентитети'', или [[Питагора|Питагорини]] идентитети, засноване су на [[Питагорина теорема|Питагориној теореми]]:
: <math>\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha =1, \quad 1 + \tan ^2 \alpha = \sec ^2, \quad 1 + \cot ^2 \alpha = \csc ^2 \alpha</math>.
=== Основни углови ===
Вредности тригонометријских функција за неке углове се могу добити једноставно из једнакостраничног троугла и квадрата, који имају углове 60°, 30°, 45°.
[[Датотека:Jednakostranicni.gif|мини|Сл.2. Једнакостранични троугао]]
На слици (2.) имамо фигуру једнакостраничног [[троугао|троугла]] -{ABC}- страница дужине a. Његови унутрашњи углови су по 60°, а угао у темену C између висине и странице је 30°. Висина -{CD}- има дужину <math>h= \frac {a \sqrt{3}}{2}</math>, што се лако добија применом [[Питагорина теорема|Питагорине теореме]] на правоугли троугао -{ADC}-. Из истог правоуглог троугла налазимо вредности:
: <math>\sin 60^o=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60^o = \frac{1}{2}, \quad \tan 60^o = \sqrt{3}, \quad \cot 60^o = \frac{\sqrt{3}}{3}</math>,
: <math>\sin 30^o=\frac{1}{2}, \quad \cos 30^o = \frac{ \sqrt{3}}{2}, \quad \tan 30^o = \frac{ \sqrt{3}}{3}, \quad \cot 30^o = \sqrt{3}</math>.
[[Датотека:Kvadrat.gif|мини|Сл.3. Квадрат]]
На следећој слици (3.) је [[квадрат]] странице a. Темена AC спојена су дијагоналом <math>d=a \sqrt{2}</math>, што се лако добије применом Питагорине теореме на правоугли троугао -{ABC}-. У истом правоуглом троуглу налазимо:
: <math>\sin 45^o = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 45^o = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tan 45^o = 1, \quad \cot 45^o = 1</math>.
=== Тригонометријска кружница ===
Тригонометријске функције угла α се могу дефинисати и помоћу ''тригонометријске кружнице''. Тригонометријска [[кружница]] је полупречника 1 са центром у исходишту координатних оса. На слици даље (Сл.4.) полупречници -{OA}-, -{OC}- и -{OE}- су јединичне дужине. Тачка О је исходиште [[координатни систем|координатног система]], овде [[Декарт]]овог правоуглог. Угао α је AOC, где је крак -{OA}- непокретан. Апсциса и ордината (хоризонтална и вертикална оса бројева) су косинусна и синусна оса. Тангенсна и котангенсна оса се дефинишу као тангенте на тригонометријску кружницу у крајњој тачки десно, односно горе. Исходиште тангенсне осе на слици би била тачка А, а котангенсне Е. Упоређивањем кружнице (Сл.4), <math>OA = OC = 1</math>, и правоуглог троугла (Сл.1.), налазимо:
[[Датотека:Trigonometrijski-krug.gif|мини|Сл.4. Тригонометријска кружница]]
: <math>\sin \alpha = BC = \frac{a}{c}, \quad </math> [[Синус (тригонометрија)|синус]] угла алфа;
: <math>\cos \alpha = OB = \frac{b}{c}, \quad </math> [[косинус]];
: <math>\tan \alpha =AD = \frac{a}{b}, \quad </math> [[тангенс]];
: <math>\cot \alpha = EF = \frac{b}{a}, \quad </math> [[котангенс]];
: <math>\sec \alpha = OD = \frac{c}{b}, \quad </math> [[секанс]];
: <math>\csc \alpha = OF = \frac{c}{a}, \quad </math> [[косеканс]].
Међутим, на тригонометријској кружници можемо доследно дефинисати вредности тригонометријских функције за углове 0°, 90°, па и за остале. [[Пројекција тачке]] C на косинусну осу (тачка B) је косинус угла α, а синус је пројекција тачке C на синусну (обично Y) осу. Продужетак покретног крака -{OC}- датог угла пресеца тангенсну (тачка D) и котангенсну осу (тачка F) у вредностима тангенса и котангенса тог угла.
{| border="1" cellpadding="2" style="margin:auto;"
|+ '''Знак тригонометријске функције'''
|- style="text-align:center;"
! Квадрант !! Величина угла !! sin !! cos !! tan !! cot !! sec !! csc
|- style="text-align:center;"
! I
| од 0° до 90° || + || + || + || + || + || +
|- style="text-align:center;"
! II
| од 90° до 180° || + || - || - || - || - || +
|- style="text-align:center;"
! III
| од 180° до 270° || - || - || + || + || - || -
|- style="text-align:center;"
! IV
| од 270° до 360° || - || + || - || - || + || -
|}
=== Мерење угла ===
Углове меримо у [[степени]]ма - уобичајеним у пракси, у [[радијан]]има - уобичајеним у теорији, и ретко у [[град]]има (лат. ''-{Gradus}-'' - корак, степен, ступањ):
* '''Степен''' је 90-ти део правог угла, угао од једног степена означава се 1°. Према томе, пун угао је 360°, испружен угао је 180°.
* '''Радијан''' је централни угао над луком тригонометријске кружнице чија је дужина једнака радијусу. Како пун угао одговара дужини целе кружнице (обиму) <math>2 \pi r</math>, један радијан има <math>\frac{360^o}{2 \pi}=57^o17'44''</math> с тачношћу од 1". Обратно, 1 радијан = 57,3°.
* '''Град''' је стоти део правог угла, пише се ''p''. Један град се дели на сто делова који се називају метричке минуте (1') и чији се стоти део назива метричка секунда (1"). Град као јединица мере био је уведен заједно са метарским системом мера крајем XVIII века. Међутим, град није постигао широку примену у пракси.
{| border="1" cellpadding="2" style="margin:auto;"
|+ '''Вредности тригонометријских функција основних углова'''
|-
! Степен !! Радијан !! sin !! cos !! tan !! cot !! sec !! csc
|- style="text-align:center;"
| 0° || 0 || 0 || 1 || 0 || ∞ || 1 || ∞
|- style="text-align:center;"
| 30° || <math>\frac{\pi}{6}</math>|| <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{2 \sqrt(3)}{3}</math> || 2
|- style="text-align:center;"
| 45° || <math>\frac{\pi}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || 1 || 1 || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\sqrt{2}</math>
|- style="text-align:center;"
| 60° || <math>\frac{\pi}{3}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 2 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math>
|- style="text-align:center;"
| 90° || <math>\frac{\pi}{2}</math> || 1 || 0 || ∞ || 0 || ∞ || 1
|}
== Основне тригонометријске формуле ==
=== Функције једног угла ===
: <math>\sin ^2 + \cos ^2 = 1, \quad \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tan \alpha, \quad \sin \alpha \cdot \csc \alpha = 1</math>,
: <math>\sec ^2 \alpha - \tan ^2 \alpha = 1, \qquad \cos \alpha \cdot \sec \alpha = 1</math>,
: <math>\csc ^2 \alpha - \cot ^2 \alpha = 1, \quad \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha, \quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1</math>
=== Међусобно изражавање функција ===
: <math> \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos ^2 \alpha} = \frac{ \tan \alpha}{ \sqrt{ 1 + \tan ^2 \alpha}},</math>
: <math>\cos \alpha = \sqrt{1- \sin ^2 \alpha}=\frac{1}{\sqrt{1+ \tan ^2 \alpha}} ,</math>
: <math>\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1- \sin ^2\alpha}}=\frac{1}{\cot \alpha},</math>
: <math>\cot \alpha = \frac{\sqrt{1- \sin ^2\alpha}}{\sin \alpha}= \frac{1}{\tan \alpha}.</math>
=== Функције збира и разлике ===
: <math>\sin (\alpha \pm \beta )= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,\,</math>
: <math>\cos (\alpha \pm \beta )= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta,</math>
: <math>\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}, \quad \cot (\alpha \pm \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}.</math>
: <math>\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}, \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha},</math>
=== Функције вишекратног угла ===
: <math>\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \quad \sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,</math>
: <math>\cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha, \quad \cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha,</math>
: <math>\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}, \quad \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha},</math>
: <math>\cot2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}, \quad \cot3\alpha=\frac{\cot^3\alpha-3\cot\alpha}{3\cot^2\alpha-1},</math>
: <math>\tan4\alpha=\frac{4\tan\alpha-4\tan^3\alpha}{1-6\tan^2\alpha+\tan^4\alpha}, \quad \cot4\alpha=\frac{\cot^4\alpha-6\cot^2\alpha+1}{4\cot^3\alpha-4\cot\alpha}.</math>
За веће n прикладнија је [[Моаврова формула]] за [[комплексан број]], развијена у [[биномни ред]]:
: <math>\cos n \alpha +i \sin n \alpha = (\cos\alpha+ i \sin\alpha )^n = \,</math>
::: <math>\cos^n\alpha+in \cos^{n-1}\alpha \sin\alpha - C_n^2 \cos^{n-2}\alpha \sin^2\alpha -
-iC_n^3 \cos^{n-3}\alpha \sin^3\alpha + C_n^4 \cos^{n-4}\alpha \sin^4\alpha + ..., </math>
где је <math>C_n^k = C(n, k) ={n \choose k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdots 1} = \frac{n!}{k!(n-k)!} </math> [[биномни коефицијент]]. <br>
Отуда је:
: <math>\cos n \alpha = \cos^n\alpha-C_n^2\cos^{n-2}\alpha \sin^2\alpha+C_n^4\cos^{n-4}\alpha \sin^4\alpha - C_n^6\cos^{n-6}\alpha \sin^6\alpha + ...,</math>
: <math>\sin n \alpha = n \cos ^{n-1} \alpha \sin \alpha - C_n^3 \cos ^{n-3} \alpha \sin ^3\alpha +C_n^5 \cos ^{n-5} \alpha \sin ^5 \alpha - ....</math>
=== Збир и разлика функција ===
: <math>\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},</math>
: <math>\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},</math>
: <math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},</math>
: <math>\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},</math>
: <math>\tan\alpha\pm\tan\beta=\frac{\sin (\alpha\pm\beta )}{\cos\alpha\cos\beta}, \quad \cot\alpha\pm\cot\beta=\pm\frac{\sin (\alpha\pm\beta)}{\sin\alpha\sin\beta},</math>
: <math>\tan\alpha+\cot\beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos\alpha\sin\beta}, \quad \cot\alpha-\tan\beta=\frac{cos (\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cos\beta}.</math>
=== Производ функција ===
: <math>\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)],</math>
: <math>\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta)],</math>
: <math>\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)].</math>
=== Функције половине угла ===
: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}, \quad \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},</math>
: <math>\tan\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},</math>
: <math>\cot\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}.</math>
=== Степеновање функција ===
: <math>\sin^2\alpha=\frac{1}{2}(1-\cos2\alpha), \quad \cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+\cos2\alpha),</math>
: <math>\sin^3\alpha=\frac{1}{4}(3\sin\alpha-\sin3\alpha), \quad \cos^3\alpha=\frac{1}{4}(\cos3\alpha+3\cos\alpha),</math>
: <math>\sin^4\alpha=\frac{1}{8}(\cos4\alpha-4\cos2\alpha+3), \quad \cos^4\alpha=\frac{1}{8}(\cos4\alpha+4\cos2\alpha+3).</math>
За рачунање <math>\sin^n\alpha\,</math> и <math>\cos^n\alpha\,</math> при већем n можете поћи од [[Моаврова формула|Моаврове формуле]].
== Синусоиде ==
[[Датотека:Harmonijski-talas.gif|мини|Сл.5. Хармонијски талас]]
У многим проблемима механике и физике разматрају се величине које зависе од времена t и изражавају се формулом:
: <math>u=a\sin(\omega t +\phi); \qquad (*)</math>
такве величине називамо [[синусне величине|синусним]], а њихове временске промене - [[хармонијски талас]]. Граф функције десно је општа [[синусоида]] (Сл.5.), која се од обичне синусоиде (<math>y=\sin x</math>) разликује по овоме:
# њена [[амплитуда]] (ширина њихаја), тј. највећи отклон од осе t, је <math>a</math>;
# њен [[Периодичност функције|период]] <math>T</math> ([[таласна дужина]]) је <math>\frac{2\pi}{\omega}</math>, где ω називамо [[фреквенција|фреквенцијом]] таласа;
# њена почетна [[фаза]] је угао φ.
Величину (*) можемо представити у облику:
: <math>r=A\sin\omega t + B\sin\omega t, \qquad (**)</math>
где је <math>a=\sqrt{A^2+B^2}, \quad \tan\phi=\frac{B}{A};</math> величине <math>A,\; B,\; a,\; \phi</math> можемо представити елементима правоуглог троугла (Сл.6.).
=== Сабирање синусоида ===
[[Датотека:Harmonijski-trougao.gif|мини|Сл.6. Троугао синусоиде]]
Збир две синусне величине једнаких [[фреквенција]] ω такође је синусна величина исте фреквенције:
: <math>A_1 \sin(\omega t+\phi _1)+A_2 \sin(\omega t+\phi _2)=A \sin (\omega t+\phi), \,</math>
при чему је:
: <math>A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2 \cos(\phi _2-\phi _1)},</math>
: <math>\tan\phi=\frac{A_1\sin\phi_1+A_2\sin\phi_2}{A_1\cos\phi_1+A_2\cos\phi_2}.</math>
[[Линеарна комбинација]] неколико синусних величина с једнаком фреквенцијом је синусна величина исте фреквенције:
: <math>\sum_i {c_i A_i \sin (\omega t+\phi_i)} = A \sin (\omega t+\phi); \,</math>
<math>A\,</math> и <math>\phi\,</math> је могуће графички представити у векторском дијаграму.
== [[Решавање троугла]] ==
Због обима теме овде наводимо само [[Формула|формуле]]. Још неке [[Дефиниција|дефиниције]] појмова који следе можете потражити у прилогу [[планиметрија]].
=== Правоугли троугао ===
Странице <math>a</math> и <math>b</math> су катете, <math>c</math> је хипотенуза; <math>A,\; B</math> су угови насупрот страницама <math>a,\; b</math>.
'''Основни односи''': <math>a=c\sin A =c\cos B, \quad a=b \tan A=b\cot B</math>
'''Основни задаци''':
# Задато је <math>c,\; A.</math> Израчунавамо <math>B=90^o-A,\; a=c\sin A,\; b=c \cos A.</math>
# Задато је <math>a,\; c.</math> Израчунавамо <math>B=90^o-A,\; b=a \cot A,\; c=\frac{a}{\sin A}.</math>
# Задато је <math>a,\; c.</math> Израчунавамо <math>\sin A=\frac{a}{c},\; b=c cos A,\; B=90^o-A.</math>
# Задато је <math>a,\; b.</math> Израчунавамо <math>\tan A=\frac{a}{b},\; c=\frac{a}{\sin A},\; B=90^o-A.</math>
=== Косоугли троугао ===
<math>a,\; b,\; c</math> су странице, <math>A,\; B,\; C</math> су углови насупрот страницама, ''P'' је површина, ''R'' је полупречник описане кружнице, ''r'' је полупречник уписане кружнице, ''s'' је полуобим <math>s=\frac{a+b+c}{2}.</math> Полуобим понекад означавамо и са ''p''.
'''Основне теореме''':
* <math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \;</math> [[синусна теорема]],
* <math>a^2=b^2+c^2-2bc \cos A \;</math> [[косинусна теорема]],
* <math>\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan\frac{A+B}{2}}{\tan\frac{A-B}{2}} \;</math> [[тангенсна теорема]].
'''Површина троугла''':
* <math>P=\frac{ab \sin C}{2}, \quad P=\frac{abc}{4R},</math>
* <math>P=2R^2 \sin A \sin B \sin C, \quad P=rs,</math>
* <math>P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\; </math> [[Херонов образац]].
'''Важне дужи троугла''':
* Висина на страницу <math>a: \quad h_a=b \sin C =c \sin B.</math>
* Тежишница на страницу <math>a: \quad t_a=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2+2bc \cos A}.</math>
* Симетрала угла <math>A: \quad l_A=\frac{2bc \cos\frac{A}{2}}{b+c}.</math>
* Полупречник описане кружнице: <math>R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}.</math>
* Полупречник уписане кружнице:
** <math>r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}},</math>
** <math>r=s\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2},</math>
** <math>r=4R \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}.</math>
'''Основни задаци''':
1) Задане су страница и два угла <math>a,\; A,\; B.</math> Израчунавамо
: <math>C=180^o-A-B, \quad b=\frac{a\sin B}{\sin A}, \quad c=\frac{a\sin C}{\sin A}, \quad P=\frac{1}{2}ab\sin C.</math>
2) Две странице и угао међу њима <math>a,\; b,\; C.</math> Израчунавамо
: <math>\tan\frac{A-B}{2}=\frac{a-b}{a+b}\cot\frac{C}{2}, \quad \frac{A+B}{2}=90^o-\frac{1}{2}C,</math>
: затим из <math>A+B, \; A-B</math> налазимо <math>A,\; B,</math> и
: <math>c=\frac{a\sin C}{\sin A}, \quad P=\frac{1}{2}ab\sin C.</math>
3) Две странице и угао насупрот једне од њих <math>a,\; b,\; A.</math> Израчунавамо
: <math>\sin B=\frac{b\sin A}{a}.</math> Затим, ако је <math>a \ge b,</math> онда је <math>B < 90^o</math> и има само једну вредност; ако је <math>A<B</math> онда:
*# B има две вредности за <math>b\sin A<a \; (B_2=180^o-B_1).</math>
*# B има једну вредност (90°) за <math>b\sin A=a.\,</math>
*# Троугао је немогућ за <math>b\sin A>a.\,</math>
: <math>C=180^o-(A+B), \quad c=\frac{a\sin C}{\sin A}, \quad P=\frac{1}{2}ab\sin C.</math>
4) Три странице <math>a,\; b,\; c.</math> Израчунавамо
: <math>r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}},</math>
: <math>\tan\frac{A}{2}=\frac{r}{s-a}, \quad \tan\frac{B}{2}=\frac{r}{s-b}, \quad \tan\frac{C}{2}=\frac{r}{s-c},</math>
: <math>P=rs=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.</math>
== Циклометријске функције (аркус) ==
'''Аркус-функцијама''' од х ([[инверзна функција|инверзним]] тригонометријским) називамо величине y мерене у [[радијан]]има, одређене једначинама:
: <math>y=\arcsin x\,</math> ([[аркус-синус]]), ако је <math>x=\sin y,\,</math>
: <math>y=\arccos x\,</math> ([[аркус-косинус]]), ако је <math>x=\cos y,\,</math>
: <math>y=\arctan x\,</math> ([[аркус-тангенс]]), ако је <math>x=\tan y,\,</math>
: <math>y=\arccot x\,</math> ([[аркус-котангенс]]), ако је <math>x=\cot y.\,</math>
'''Примери'''
1) <math>\arcsin 0 = 0\,</math> или <math>\pi \,</math> или <math>2 \pi \,</math>, уопште <math>\arcsin 0 = k \pi, \,</math>
2) <math>\arccos\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}</math> или <math>-\frac{\pi}{3}</math> или <math>\frac{\pi}{3}+2\pi,</math> уопште <math>\arccos\frac{1}{2}=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi,</math>
3) <math>\arctan 1 =\frac{\pi}{4}</math> или <math>\frac{5\pi}{4},</math> уопште <math>\arctan 1 = \frac{\pi}{4}+k\pi.</math>
'''Главне вредности'''
Аркус функције су ''вишезначне''; њихове главне вредности су ограђене. Означавамо их са ''arc sin x, arc cos x, arc tan x, arc cot x'', (последње две, ми често означавамо ''arc tg x, arc ctg x'').
: <math>-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2},</math>
: <math>0 \le \arccos x \le + \pi,</math>
: <math>-\frac{\pi}{2}<\arctan x < +\frac{\pi}{2},</math>
: <math>0<\arccot x < \pi.\,</math>
=== Изражавање једних аркус-функција с другима ===
Следеће [[формула|формуле]] тачне су ''само за главне'' вредности аркус-функција, а формуле у угластим заградама ''само за позитивне'' вредности х (јер су границе главних вредности различито одређене за разне [[функција|функције]]).
: <math>\arcsin x=-\arcsin(-x)=\frac{\pi}{2}-\arccos x=[\arccos\sqrt{1-x^2}]=</math>
:: <math>=\arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\left[ \arctan\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right],</math>
: <math>\arccos x=\pi-\arccos(-x)=\frac{\pi}{2}-\arcsin x=[\arcsin\sqrt{1-x^2}]=</math>
:: <math>=\left[\arctan\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right]=\arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math>
: <math>\arctan x=-\arctan(-x)=\frac{\pi}{2}-\arctan x=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=</math>
:: <math>=\left[\arccos\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right]=\left[\arccot\frac{1}{x}\right],</math>
: <math>\arccot x=\pi-\arccot(-x)=\frac{\pi}{2}-\arctan x=</math>
:: <math>=\left[\arcsin\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right]=\arccos\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\left[\arctan\frac{1}{x}\right].</math>
=== Основни односи ===
Уведимо ознаку <math>f(\pm)=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}\pm y\sqrt{1-x^2}),</math> где "+", односно "-"
иду у пару. Тада је:
: <math>\arcsin x+\arcsin y=f(+), \quad [xy\le 0 \vee x^2+y^2\le 1]</math>
::::: <math>=\pi-f(+), \quad [x>0, y>0, x^2+y^2>1]</math>
::::: <math>=-\pi-f(+), \quad [x<0, y<0, x^2+y^2>1],</math>
: <math>\arcsin x-\arcsin y=f(-), \quad [xy \ge 0 \vee x^2+y^2 \le 1]</math>
::::: <math>=\pi-f(-), \quad [x>0,y<0, x^2+y^2 >1] \,</math>
::::: <math>=-\pi-f(-), \quad [x<0, y>0, x^2+y^2>1].</math>
Означимо са <math>g(\pm)=\arccos(xy\pm\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}),</math> где "+", односно "-" иду у пару. Тада је:
: <math>\arccos x+\arccos y=g(-), \quad [x+y\ge 0]</math>
::::: <math>=2\pi-g(-), \quad [x+y<0],</math>
: <math>\arccos x-\arccos y=-g(+), \quad [x \ge y]</math>
::::: <math>=g(+), \quad [x<y].</math>
Уведимо ознаке <math>h(\pm)=\arctan\frac{x\pm y}{1\mp xy},</math> где горњи знак "+" или "-" иде са горњима. Тада важи:
: <math>\arctan x+\arctan y=h(+), \quad [xy<1]</math>
::::: <math>=\pi+h(+), \quad [x>0, xy>1]</math>
::::: <math>=-\pi+h(+), \quad [x<0, xy>1],</math>
: <math>\arctan x-\arctan y=h(-), \quad [xy>-1]</math>
::::: <math>=\pi+h(-), \quad [x>0, xy<-1]</math>
::::: <math>=-\pi+h(-), \quad [x<0, xy<-1].</math>
Уведимо ознаку <math>u=\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}).</math> Важе следеће једнакости:
: <math>2\arcsin x=u, \quad \left[ |x| \le \frac{1}{\sqrt{2}} \right]</math>
:::: <math>=\pi-u, \quad \left[ \frac{1}{\sqrt{2}}<x \le 1 \right]</math>
:::: <math>=-\pi-u, \quad \left[ -1 \le x < -\frac{1}{\sqrt{2}} \right].</math>
: <math>2\arccos x=\arccos(2x^2-1), \quad [0 \le x \le 1]</math>
:::: <math>=2\pi-\arccos(2x^2-1), \quad [-1 \le x <0].</math>
Уводимо смену <math>t=\arctan\frac{2x}{1-x^2},</math> па важе једнакости:
: <math>2\arctan x=t, \quad [ |x|<1]</math>
:::: <math>=\pi +t, \quad [x>1]</math>
:::: <math>=-\pi+t, \quad [x<-1].</math>
Коначно, <math>\cos(n\arccos x)=2^{n-1}T_n(x),\; (n \ge 1),</math>
при чему <math>n \,</math> не мора бити цео број; <math>T_n(x) \,</math> се одређује једначином:
: <math>T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2^n}.</math>
Ако је <math>n \,</math> цео број, <math>T_n(x) \,</math> је полином од х ([[полином Чебишева]]).
[[Категорија:Тригонометрија]]
| |||