Лоранов ред — разлика између измена

 

У [[Математика|математици]], '''Лоранов ред''' комплексне функције -{f(z)}- представља исту ту функцију представљену као степени ред који обухвата и чланове са негативним индексом. Може се користити да би се се изразила комплексна функција тамо гдје се не може примијенити [[Тејлоров ред]]. Лоранов ред је добио име по [[Пјер Алфонс Лоран|Пјеру Алфонсу Лорану]], који га је први објавио 1843. године. [[Карл Вајерштрас]] га је можда открио раније, још 1841. године, али га у сваком случају није тада објавио.

Крива по којој интегралимо, крива &gamma;, позитивно је оријентисана (креће се у смјеру супротном од казаљке на сату), затворена, дио-по-дио глатка и нема пресјека са самом собом, а лежи у прстену -{A}- у ком је функција [[Аналитичка функција|аналитичка]] (холоморфна). Развој -{f(z)}- ће на тај начин бити ваљан свуда на прстену. У слици десно, прстен је приказан црвеном бојом, а примјер криве која се може користити као стаза интеграције означен је са &gamma;. Ако за &gamma; узмемо кружницу <math> |z-c| = \varrho</math>, са <math>r < \varrho < R</math>, проблем се своди на израчунавање комплексних [[Фуријеови коефицијенти|Фуријеових коефицијената]] рестрикције <math>f</math> на <math>\gamma</math>. Чињеница да ови интеграли не зависе од облика криве <math>\gamma</math> представља директну посљедицу [[Стоуксова теорема|Стоуксове теореме]].

 

 

Нека је дата функција -{ƒ(x) = e^&minus;1/x², ƒ(0) = 0}-. Гледана као реална функција, она је бесконачно диференцијабилна у свим тачкама реалне осе; међутим, гледана као комплексна функција, она није диференцијабилна у тачки 0. Ако уведемо смјену -{x}- умјесто −1/-{x}-², добијамо Лоранов ред који конвергира и једнак је функцији -{ƒ(x)}- за све комплексне бројеве -{x}- осим сингуларитета у тачки 0. На слици десно може се видјети -{ƒ(x) = e^&minus;1/x² црном бојом, а апроксимације