Ранг матрице — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м ispravke |
м Бот: исправљена преусмерења; козметичке измене |
||
Ред 1:
'''Ранг матрице''' је један од најважнијих појмова [[линеарна алгебра|линеарне алгебре]], области [[математика|математике]]. У извесном смислу, ранг мери „пуноћу“ [[матрица (математика)|матрице]] и њој одговарајућег [[линеарно пресликавање|линеарног пресликавања]]. Појам [[комплементарност|комплементаран]] рангу је [[дефект матрице]].
== Дефиниција ==
Постоји неколико еквивалентних дефиниција ранга матрице. Најчешће се он дефинише као димензија [[слика матрице|слике матрице]], односно као [[димензија векторског простора|димензија]] [[векторски простор|простора]] који [[генератриса|генеришу]] (каткад се каже и „разапињу“) њене колоне. Другим речима, ранг матрице је највећи број њених [[линеарна независност|линеарно независних]] колона.
Векторски простор који генеришу колоне матрице назива се и њеним простором колона, а његова димензија '''рангом колона'''. Аналогно, простор врста је векторски простор који генеришу врсте матрице, док његову димензију називамо '''рангом врста'''. Ранг врста и ранг колона сваке матрице су једнаки, одакле и за оба назив „ранг“ без даљег одређења. Посебно је ранг матрице једнак рангу њој [[транспонована матрица|транспоноване матрице]].
Елементарне операције над врстама и колонама матрице не мењају њен ранг. Стога [[еквивалентне матрице|еквивалентне]] (и посебно [[сличне матрице|сличне]]) матрице имају једнак ранг. Све матрице [[линеарно пресликавање|линеарног пресликавања]] између два векторска простора у односу на произвољан пар њихових [[база
'''Детерминантни ранг''' матрице је ред највеће њене [[инверзна матрица|инверзибилне]] [[подматрица|подматрице]], односно највећег њеног не-нула [[минора]]. Детерминантни ранг матрице једнак је њеном рангу.
== Својства ранга ==
Ранг ''-{m''×''n}-'' матрице је [[цео број]] између 0 и -{min(''m'',''n'')}-. Једина матрица ранга нула је [[нула-матрица]]. Квадратна матрица реда ''-{n}-'' је ранга ''-{n}-'' ако и само ако је инверзибилна, стога за инверзибилне матрице кажемо и да су „пуног ранга“. Општије, ранг дијагонализабилне квадратне матрице једнак је броју њених не-нула својствених вредности, рачунајући са вишеструкостима. Ако је -{0≤''k''≤''n''}- и ''-{P}-'' матрица [[пројекција (психологија)|пројекције]] простора ''-{'R'''<sup>''n''</sup>}- на неки његов -{''k}-''-димензиони [[векторски потпростор|потпростор]] (ортогоналне или дуж ма ког комплементарног -{(''n'' − ''k'')}--димензионог потпростора), тада је ''-{P}-'' ранга ''-{k}-''. Свака матрица ранга ''-{k}-'' је производ инверзибилне матрице и матрице пројекције на неки ''-{k}-''-димензиони потпростор.
Линеарно пресликавање ''-{L'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}- је мономорфизам ([[
Један од најважнијих исказа о рангу матрице, који понекад називају и ''основном теоремом линеарне алгебре'', јесте следећи
Ред 29:
Према овој једнакости је ранг реалне матрице једнак броју њених не-нула [[сингуларна вредност|сингуларних вредности]].
== Ранг и системи линеарних једначина ==
[[Кронекер-Капелијева теорема]] тврди да је систем линеарних једначина
:''-{A'''''x''' = '''b'}-''
конзистентан ако и само ако је ранг проширене матрице система
Ранг матрице може понудити и додатне информације о броју решења линеарног система (формата ''-{m'' × ''n}-''), на пример:
* Ако је ''-{r''(''A'') = ''m}-'', тада ће систем у ВСЕО имати водећу променљиву у свакој од једначина и стога је нужно конзистентан, са јединственим решењем ако је ''-{m'' = ''n}-'' или бесконачно много решења (која чине афини потпростор димензије ''-{n'' − ''m}-'' ако је ''-{m'' < ''n}-''.
* Ако је ''-{r''(''A'') = ''n}-'', тада су све променљиве водеће у сведеном облику, па је систем или неконзистентан или има јединствено решење, већ зависно од тога да ли је ранг проширене матрице система једнак ''-{n'' + 1}- или -{''n}-''.
* Ако је
== Нумеричко израчунавање ==
Ранг матрице се увек може израчунати [[Гаусов поступак елиминације|Гаусовим поступком елиминације]], али је у нумеричким израчунавањима која користе [[аритметика покретног зареза|аритметику покретног зареза]] овај поступак ([[LU декомпозиција|''-{LU}-'' декомпозиција]]) нестабилан. Уместо њега, чешће се користе [[декомопозиција по сингуларним вредностима]] или [[QR декомпозиција|''-{QR}-'' декомпозиција]] са пивотима. Нумеричко одређивање ранга увек укључује и практични избор прага помоћу којег се одређује када елемент јако мале нумеричке вредности треба третирати као нулу, који ће зависити од својстава матрице и конкретне примене.
== Уопштења ==
Ранг се дефинише и за матрице над произвољним [[
Ранг глатког пресликавања између две глатке [[многострукост]]и у некој тачки се дефинише као (линеарни) ранг његовог [[диференцијал]]а.
| |||