Бијекција — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Бот: исправљена преусмерења |
м Бот: исправљена преусмерења; козметичке измене |
||
Ред 1:
[[
У [[математика|математици]], за [[функција (математика)|функцију]] ''-{f}-'' из [[скуп
Другим речима, ''-{f}-'' је бијекција ако је уједно и '''1-1''' ([[инјективно пресликавање|инјекција]]) и '''на''' ([[сурјективно пресликавање|сурјекција]]) између ова два скупа.
На пример, бијективна је функција „насл“, дефинисана на скупу [[цео број|целих бројева]] -{'''Z''' → '''Z'''}-, тако да сваки цео број ''-{x}-'' пресликава у цео број насл(''-{x}-'') = -{x}- + 1. Други пример може бити функција „збиразл“, која сваки пар реалних бројева -{(''x'',''y'')}- пресликава у пар збиразл-{(''x'',''y'') = (''x'' + ''y'', ''x'' − ''y'')}-.
Бијективна функција, или бијекција се такође назива и '''[[пермутација|пермутацијом]]'''. Овај назив се углавном користи када је -{''X'' = ''Y''}-. Скуп свих бијекција из ''-{X}-'' у ''-{Y}-'' се означава као ''-{X}-''<math>{}\leftrightarrow{}</math>''-{Y}-''.
Ред 11:
== Композиција и инверзија ==
Функција ''-{f}-'' је бијекција [[ако и само ако|акко]] је њена [[инверзна функција]]
[[Композиција (математика)|Композиција]] -{''g'' <small>o</small> ''f''}- две бијекције ''-{f}-''<math>\;:\;</math> ''-{X}-''<math>{}\leftrightarrow{}</math>''-{Y}-'' и ''-{g}-''<math>\;:\;</math> ''-{Y}-''<math>{}\leftrightarrow{}</math>''-{Z}-'' је бијекција. Инверз -{''g'' <small>o</small> ''f''}- је -{(''g'' <small>o</small> ''f'')<sup>−1</sup> = (''f''<sup> −1</sup>) <small>o</small> (''g''<sup>−1</sup>)}-.
[[
Са друге стране, ако је композиција -{''g'' <small>o</small> ''f''}- две функције бијекција, можемо у општем случају рећи само да је ''-{f}-'' инјекција, а ''-{g}-'' сурјекција.
Релација ''-{f}-'' из ''-{X}-'' у ''-{Y}-'' је бијекција ако и само ако постоји друга релација ''-{g}-'' из ''-{Y}-'' у ''-{X}-'', таква да је -{''g'' <small>o</small> ''f''}- идентитет на ''-{X}-'', а -{''f'' <small>o</small> ''g''}- је идентитет на ''-{Y}-''. Таква два скупа
== Бијекције и кардиналност ==
Ако су ''-{X}-'' и ''-{Y}-'' [[коначан скуп|коначни скупови]], тада постоји бијекције између скупова ''-{X}-'' и ''-{Y}-'' [[ако и само ако|акко]] ''-{X}-'' и ''-{Y}-'' имају исти број елемената. У ствари, у [[аксиоматска теорија скупова|аксиоматској теорији скупова]], ово се и узима као ''дефиниција'' „истог броја елемената“, и генерализација ове дефиниције за бесконачне скупове доводи до концепта [[
== Примери и контрапримери ==
Ред 35:
* Ако је ''-{X}-'' скуп, онда бијективне функције скупа ''-{X}-'' на самог себе, заједно са операцијом композиције функција, граде [[група (математика)|групу]], [[симетрична група|симетричну групу]] скупа ''-{X}-'', која се означава -{S(''X'')}-, -{S<sub>''X''</sub>}-, или ''-{X}-''! (последње се чита "''-{X}-'' [[факторијел]]"). Доказује се да је свака група ''-{G}-'' изоморфна некој подгрупи симетричне групе -{S(''G'')}-.
* Ако је -{''f''}- бијекција, тада за сваки подскуп ''-{A}-'' домена и сваки подскуп ''-{B}-'' кодомена вреди -{|''f''(''A'')| = |''A''|}- и -{|''f''<sup>−1</sup>(''B'')| = |''B''|}-.
* Ако су ''-{X}-'' и ''-{Y}-'' коначни скупови исте кардиналности, и -{''f'': ''X'' → ''Y''}-, тада су следећи искази еквивалентни:
# ''-{f}-'' је бијекција.
# ''-{f}-'' је сурјекција.
Ред 41:
== Види још ==
* [[Инјективно пресликавање]]
* [[Изоморфизам]]
* [[Пермутација]]
* [[Симетрична група]]
* [[Сурјективно пресликавање|Сурјекција]]
[[Категорија:Функције и пресликавања]]
| |||