Википедија

Геометријски ред — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
Нема описа измене
м Разне исправке; козметичке измене
Ред 1:
[[Датотека:GeometricSquares.svg|right|thumb|Сваки од љубичастих квадрата има 1/4 површине од следећег већег квадрата  (1/2×<span class="nowrap" contenteditable="false">1/2</span> = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16). Сума порвршина љубичастих квадрата представља једну трећину површине великог квадрата.]]
У [[Математика|математици]], геометријски ред је [[Ред (математика)|ред]] са константном размером између узастопних [[израз|израза]]а. На пример, [[Ред (математика)|ред]]
: <math>\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots</math>
је геометријски, зато што сваки узастопни израз може бити добијен множењем претходног израза 1/2. 
Ред 15:
Следећа табела показује узастопни геометријски ред са различитим узаступним бројевима :
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 10px;"
 
!делилац, ''r''
! Почетни израз, ''a''
Линија 48 ⟶ 47:
: Ако је ''r'' је '''веће од један''' или '''мање од минус један''' израз реда постаје све већи и већи. Сума израза постаје такође све већа и већа, тако да ред нема суму. ([[Дивергентни редови]].)
: Ако је ''r''  '''једнако један''', сви изрази реда су исти. Дивергентни редови.
: Ако је ''r''  '''минус један''' изрази узимају две ачтернативне вредности (нпр. 2, &#x2212;2, 2, &#x2212;2, 2,... ). Сума израза осцилира између две вредности (нпр. 2, 0, 2, 0, 2,... ). Ово је различит тип дивергенције и опет ред нема суму. Видети на пример [[Гандијев ред]]: 1 &#x2212; 1 + 1 &#x2212; 1 + ···.
 
== Сума ==
Линија 166 ⟶ 165:
Збир је
: <math>\frac{1}{1 -r}\;=\;\frac{1}{1 -\frac{1}{4}}\;=\;\frac{4}{3}.</math>
Ово израчунавање користи [[метод исцрпљења]], рану верзију [[интеграција (математика)|интеграције]]. Користећи [[Infinitezimalni račun| рачун]], иста површина се може наћи уз помоћ [[Интеграл|одређеног интеграла]]
 
=== Фрактална геометрија ===
[[Датотека:Koch_Snowflake_Triangles.png|thumb|Унутрашњост [[Кохова пахуља|Кохове пахуљице]] представља скуп бесконачно много троуглова.]]
У учењу о [[Фрактал|фракталима]], геометријски ред често настаје као [[ обим]], [[површина]], или [[запремина]] [[Самосличност|самосличне]] фигуре.
 
На пример, површина унутрашњости [[Кохове пахуљице]] се може описати као унија бесконачно много [[Једнакостранични троугао|једнакостраничних троуглова]] (видети слику изнад). Свака страна зеленог троугла је тачно 1/3 дужине великог плавог троугла, самим тим заузима тачно 1/9 површине. Слично, сваки жути троугао има 1/9 површине зеленог троугла, и тако даље. Узимајући плави троугао као јединицу површине, укупна површина пахуљице је
Линија 179 ⟶ 178:
 
=== Зенонов парадокс ===
Конвергенција геомeтријскоггеометријског низа открива да сума укључује бесконачан број сабирака који могу бити коначни, па самим тим омогућава решавање многих [[Зенон из Елеје|Зенонових парадокса]]. На пример, Зенон тврди да је покретање немогуће, зато што један може поделити било који коначан број корака где сваки корак узима половину преостале дистанце. Зенонова грешка се огледа у претпоставци да збир бесконачних бројева или коначних корака не може бити коначан. Ово је наравно нетачно, што нам говори и конвергенција геометријског низа са <math>r = 1/2</math>.
 
=== Еуклид ===
Линија 187 ⟶ 186:
У економији, геометријски ред се веома често користи да представи [[вредност (економија)|вредност]] [[Ануитет|ануитета]] (сума новца за исплату у редовним терминима).
 
На пример, претпоставимо да ће исплата од $100 бити достављена власнику ануитета једном годишње (на крају године) [[доживотно]]. Примање $100 годишње од сада вреди мање него тадашњих $100, зато што власник не може да инвестира новац док га не добије. Практично, представљање $100 годишње се може представити као $100&nbsp;/&nbsp;(1&nbsp;+&nbsp;<math>I</math> ), где је <math>I</math> годишња каматна стопа.
 
Слично томе, уплата од $100 на две године се може представити као $100&nbsp;/&nbsp;(1&nbsp;+&nbsp;<math>I</math>)<sup>2</sup> (I jеје квадрирано због тога што каматна стопа расте две године). Представљање примања вредности од $100 годишње доживотно је
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\$100}{(1+I)^n},</math>
Што представља бесконачан ред :
: <math>\frac{\$ 100}{(1+I)} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^2} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^3} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^4} \,+\, \cdots.</math>
Ово је геометријски  ред са узастопним делиоцем 1&nbsp;/&nbsp;(1&nbsp;+&nbsp;<math>I</math> ). Збир је представља први члан подељен са (један минус узастопни делилац):
: <math>\frac{\$ 100/(1+I)}{1 - 1/(1+I)} \;=\; \frac{\$ 100}{I}.</math>
На пример, ако је каматна стопа 10% (<math>I</math>&nbsp;=&nbsp;0.10), онда цела рента има вредност од $100 / 0.10 = $1000.
Линија 211 ⟶ 210:
&=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}.
\end{align}</math>
Диференцирањем геометријског реда, један садржи варијанту <ref><cite class="citation" id="CITEREFTaylor1955" contenteditable="false">Taylor, Angus E. (1955), ''Advanced Calculus'', Blaisdell, ppp.&nbsp; 603</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AGeometric+series&rft.aufirst=Angus+E.&rft.aulast=Taylor&rft.btitle=Advanced+Calculus&rft.date=1955&rft.genre=book&rft.pages=603&rft.pub=Blaisdell&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" contenteditable="false">&nbsp;</span></ref>
: <math> \sum^{\infty}_{n=1}n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\quad\text{ for }|x| < 1.</math>
Слично су добијени:
Линија 220 ⟶ 219:
== Видети још ==
* [[0.999...]]
* [[Асимптота]]<br />
* [[Дивергентни геометријски ред]]
* [[Упрошћена хипергеометријска функција]]
Линија 227 ⟶ 226:
* [[Тестирање количника]]
* [[Тестирање корена]]
* [[Ред (математика)]]<br />
* [[Ханојска кула]]<br />
 
=== Специфична геометријска серија ===
Линија 239 ⟶ 238:
 
== Референце ==
{{Reflistreflist}}
 
== Спољашње везе ==
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Геометријски_ред”