Ојлерови и Тејт-Брајанови углови — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Нема описа измене |
Нема описа измене |
||
Ред 6:
Дакле, Ојлерови углови су пример једне уређене тројке међу собом независних параметара који једнозначно одређују ортогоналне трансформације [[Декартов координатни систем|Декартовог координатног система]], наравно, уз податак о вектору транслације, који може бити и нула-вектор. Три независна параметра, о којима је реч, одговарају трима степенима слободе код обртања крутог тела око непомичне тачке.
== Сопствена и светска ротација ==
=== Сопствена ротација ===
Сопствена ротација је елементарна ротација која се јавља у правцима ротирајућег координатног система <math> XYZ</math>, који мења своју оријентацију након сваке елементарне ротације.
Позиција покретних оса може бити достигнута коришћењем три ротације са угловима <math>\psi, \theta, \varphi</math>. Тако се систем <math> XYZ</math> ротира док је систем <math>xyz</math> фиксиран. Нека се на почетку систем <math> XYZ</math> поклапа са системом <math>xyz</math> и нека се ротације врше око покретних оса система <math>XYZ</math> на следећи начин:
* ротација система <math> XYZ</math> око <math>Z</math>-осе за угао <math>\psi</math>. <math>X</math>-оса сада лежи на линији чворова;
* ротација система <math> XYZ</math> сада око ротиране <math>X</math>-осе за угао <math>\theta</math>. <math>Z</math>-оса сада прелази у своју коначну оријентацију, а <math>X</math>-оса остаје линија чворова;
* ротација система <math> XYZ</math> трећи пут око нове Z-осе са угао <math>\varphi</math>.
[[Датотека:Унутрашња ротација.jpg|оквир|центар]]
=== Светска ротација ===
Светска ротација је елементарна ротација која се јавља у правцима фиксираног координатног система <math>xyz</math>.
Нека се на почетку системи <math>XYZ</math> и <math>xyz</math> поклапају, и нека се ротације врше око фиксираних оса система <math>xyz</math> на следећи начин:
* ротација система <math>XYZ</math> око <math>z</math>-осе за угао <math>\varphi</math>. <math>X</math>-оса сада гради угао <math>\varphi</math> са <math>x</math>-осом;
* ротација система <math>XYZ</math> поново око <math>x</math>-осе за угао <math>\theta</math>. <math>Z</math>-оса сада гради угао <math>\theta</math> са <math>z</math>-осом;
* ротација система <math>XYZ</math> трећи пут око <math>z</math>-осе за угао <math>\psi</math>.
[[Датотека:Ротација2.jpg|оквир|центар]]
Композиција сопствених ротација, названа <math>(YXZ)</math> може бити представљена као производ матрица <math> R(Y, \theta_{1}) \cdot R(X, \theta_{2})\cdot R(Z, \theta_{3})</math>. Углове ротација у следећим изразима означимо са <math>\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}</math>. Они се односе на углове сваке од ове три ротације редоследом којим се примењују.
Производ следеће три матрице одређује једну ротацију која одговара композицији три елементарне ротације:
<math> R(Y, \theta_{1}) =
\begin{bmatrix}
cos \theta_{1} & 0 & sin \theta_{1} \\
0 & 1 & 0 \\
-sin \theta_{1} & 0 & cos \theta_{1}
\end{bmatrix}
,
R(X, \theta_{2}) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & cos \theta_{2} & -sin \theta_{2} \\
0 & sin \theta_{2} & cos \theta_{2}
\end{bmatrix}
,
R(Z, \theta_{3}) =
\begin{bmatrix}
cos \theta_{3} & -sin \theta_{3} & 0 \\
sin \theta_{3} & cos \theta_{3} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>
Производ <math> R(Y, \theta_{1}) \cdot R(X, \theta_{2})\cdot R(Z, \theta_{3})</math> је дакле ротација која одговара трима Ојлеровим угловима.
== Ојлерове теореме ==
=== Прва Ојлерова теорема ===
'''''Свако кретање <math>g</math> простора <math>\mathbb{E}^3</math> које има фиксну тачку неку <math>O'</math> је ротација око неке оријентисане праве <math>p</math> која садржи <math>O'</math> за угао <math>\varphi \in [0,2\pi)</math>.'''''
Линија 24 ⟶ 77:
Када чињенице компонујемо са транслацијом, добијамо два ефективна начина да објекат доведемо у произвољан положај у простору, што има огромне примене, не само у рачунарској графици, већ и у индустрији, роботици...
=== Друга Ојлерова теорема ===
'''''Свако кретање f простора <math>\mathbb{E}^3</math> које чува координатни почетак, може се представити као композиције три сопствене ротације око координатних оса:'''''
Линија 60 ⟶ 113:
У практичним применама се поставља питање: како за ортогоналну матрицу <math> A=(a_{ij})</math> одредити углове <math>\psi,\theta ,\varphi</math> где је <math>\psi,\varphi \in [0,\frac{\pi}{2})</math>, a <math>\theta \in (\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})</math>?
Линија 85 ⟶ 138:
<math>sin \varphi = -cos(\varphi + \frac{\pi}{2}) = - \vec n \circ \vec f_{3} = ... = \frac{a_{23}}{\sqrt{1 - a^2_{31}}}</math>
== Практична примена ==
| |||