Питагорина теорема — разлика између измена

м
Разне исправке
м (replace archive.today -> archive.is (domain archive.today blocked by onlinenic))
м (Разне исправке)
# Како су тачке -{A}-, -{K}- и -{L}- колинеарне, правоугаоник -{BDLK}- има двоструко већу површину од троугла -{ABD}-.
# Како су тачке -{C}-, -{A}- и -{G}- колинеарне, квадрат -{BAGF}- има двоструко већу површину од троугла -{FBC}-.
# Из претходног следи да правоугаоник -{BDLK}- има исту површину као квадрат -{BAGF}-, која је једнака -{AB}-<sup>2</sup>².
# Слично, могуће је показати да правоугаоник -{CKLE}- мора да има исту површину као квадрат -{ACIH}- која износи -{AC}-<sup>2</sup>².
# Сабирањем добијених једнакости биће -{AB}-<sup>2</sup>² + -{AC}-<sup>2</sup>² = -{BD × BK + KL × KC}-
# Како је -{BD = KL}-, важи -{BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC}-
# Одатле је -{AB}-<sup>2</sup>² + -{AC}-<sup>2</sup>² = -{BC}-<sup>2</sup>², пошто је -{CBDE}- квадрат.
 
[[Датотека:Pythagoras generalizatoin 1.JPG|мини|лево|150п|Пример генерализације Питагорине теореме]]
# Како је -{AB}- нормално на -{CD}- и -{AC}- нормално на -{CB}-, углови -{HAC}- и -{HCB}- су једнаки као углови са нормалним крацима.
# Последица је да су троуглови -{AHC}- и -{CHB}- међусобно слични, и слични полазном троуглу -{ACB}-, па су њихове одговарајуће странице пропорционалне.
# Из једнакости -{AB/AC=AC/AD}- и -{AB/BC=BC/BD}-, унакрсним множењем добија се да важи -{AC}-<sup>2</sup>²=-{ABxAD}- и -{BC}-<sup>2</sup>²=-{ABxBD}-.
# Сабирањем добијених једнакости биће -{AC}-<sup>2</sup>²+-{BC}-<sup>2</sup>²=-{ABxAD+ABxBD=ABx(AD+BD)}-
# Како је -{AD+BD=AB}-, важи -{AC}-<sup>2</sup>²+-{BC}-<sup>2</sup>²=-{ABxAB=AB}-<sup>2</sup>².
 
Поред наведених тврђења, Еуклид је у првој књизи ''Елемената'' доказао и тврђење у супротном смеру од Питагорине теореме, према коме је правоугли троугао једини троугао код кога важи једнакост -{a}-<sup>2</sup>²+-{b}-<sup>2</sup>²=-{c}-<sup>2</sup>².<ref>Еуклид, ''Елементи'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID01_T_48.HTML књига -{I}-, тврђење -{XLVIII}-], Приступљено 23. 4. 2013.</ref>
 
=== Гарфилдов доказ ===
# Спајањем тачака ''-{Е}-'' и ''-{F}-'' добија се шестоугао ''-{ABGFED}-'', који је преполовљен својом дијагоналом ''-{DG}-''. Троуглови ''-{ABC}-'' и ''-{ECF}-'' су симетрични у односу на дијагоналу ''-{DG}-'', што за последицу има да су тачке ''-{D}-'', ''-{C}-'' и ''-{G}-'' [[Колинеарност|колинеарне]].
# Ако се четвороугао ''-{DABG}-'' заротира око тачке ''-{A}-'' за 90° (у смеру кретања казаљке на сату на приложеној слици), поклопиће се са четвороуглом ''-{CAJI}-'', што значи да они имају једнаке површине. То је последица чињенице да су углови ''-{DAC}-'' и ''-{BAJ}-'' прави, што значи да је угао ''-{DAB}-'' једнак углу ''-{CAJ}-'', пошто су оба једнака збиру правог угла и угла ''-{CAB}-''. Слично, угао ''-{AJI}-'' је једнак углу ''-{ABG}-'', јер су оба једнака збиру правог угла и угла ''-{ABC}-''. То значи да дуж ''-{AD}-'' прелази у ''-{AC}-'', дуж ''-{AB}-'' прелази у ''-{AI}-'', а дуж ''-{BG}-'' у ''-{JI}-''.
# Како четвороуглови ''-{DABG}-'' и ''-{CAJI}-'' имају једнаке површине (рецимо, ''-{S}-''), и шестоуглови ''-{ABGFED}-'' и ''-{AJIHBC}-'' имају међусобно једнаке површине (2''-{S}-''). Ако се из шестоугла ''-{ABGFED}-'' изоставе подударни троуглови ''-{ABC}-'' и ''-{ECF}-'', његова површина се смањује на збир површина квадрата ''-{ACED}-'' и ''-{BCFG}-''. Са друге стране, ако се из површине шестоугла ''-{AJIHBC}-'' изузму површине подударних троуглова ''-{ABC}-'' и ''-{HJI}-'', добијена површина је једнака површини квадрата ''-{ABHJ}-'', а одатле непосредно следи једнакост ''-{AC}-''<sup>2</sup>²+''-{BC}-''<sup>2</sup>²=''-{AB}-''<sup>2</sup>².
 
=== Доказ Џорџа Ејрија ===
=== Питагорине тројке ===
{{Види још|Питагорина тројка}}
Питагорина тројка је [[Уређени пар#Уређена n-торка|уређена тројка]] [[Природан број|природних бројева]] -{x}-, -{y}- и -{z}- за које важи једнакост -{x}-<sup>2</sup>²+-{y}-<sup>2</sup>²=-{z}-<sup>2</sup>², односно, Питагорину тројку чине целобројне дужине страница правоуглог троугла. [[Вавилонија|Вавилонске]] глинене таблице<ref>Видети [http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html -{YBC}- 7289] и [http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html -{Plimpton}- 322]</ref> ({{јез-енгл|YBC 7289, Plimpton 322}}) које су датиране у период 1800—1600. п. н. е. показују да су такве тројке биле познате много пре Питагоре. Данас није најјасније какву су употребну вредност имала та знања. Према неким изворима<ref>{{cite web|url=http://www.maa.org/news/monthly105-120.pdf|title=Eleanor Robson, Words and Pictures: New Light on Plimpton 322|accessdate = 16. 11. 2008}}</ref>, чини се да је у питању списак готових решења једног проблема који је омогућавао древном предавачу [[Математика|математике]] да без додатних израчунавања одмах провери тачност ученичких радова.
 
Свака Питагорина тројка је облика (''-{ka}-'',&nbsp;''-{kb}-'',&nbsp;''-{kc}-''), где је ''-{k}-'' природан број и (''-{a}-'',&nbsp;''-{b}-'',&nbsp;''-{c}-'') примитивна Питагорина тројка (односно чине је [[узајамно прости бројеви]]). Различитих примитивних Питагориних тројки има бесконачно много и позната је њихова експлицитна [[параметарска једначина|параметризација]].
1.572.075

измена