Теорија скупова — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Нема описа измене |
|||
Ред 6:
Оцем теорије скупова, као посебне математичке дисциплине, се сматра Георг Кантор ({{јез-нем|Georg Cantor}}). Његово фундаментално откриће је било да је скуп реалних бројева непребројив тј. и поред тога да су скупови природних и реалних бројева бесконачни, више је реалних бројева него природних што је довело до закључка да постоје различите вредности бесконачности.
Према Кантору два скупа <math>A</math> и <math>B</math> су исте величине, тј. кардиналности, ако се елементи скупа <math>A</math> могу 1-у-1 пресликати у елементе скупа <math>B</math>. На тај начин скупови <math>\mathbb{N}</math> природних и реалних <math>\mathbb{R}</math> бројева имају различите кардиналности. Тиме је Кантор дефинисао његову хипотезу континуума која тврди да сваки бесконачни скуп реалних бројева је или пребројив или није тј. има кардиналност скупа <math>>\mathbb{N}</math>, или кардиналност скупа <math>\mathbb{R}</math>. До данас, Канторова хипотеза континуума нити је оборена нити доказана. Покушаји да се ова хипотеза докаже довели су до сазнања да се сама хипотеза не може нити доказати нити оборити на основи постојеће аксиоматике модерне теорије скупова.
Наивно схватање да скуп мора да има увек неко својство или карактеристику довело је до открића тзв. Раселовог ({{јез-енг|Bertrand Russell}}) парадокса (који је пре Расела био познат Цермелоу ({{јез-нем|Ernst Zermelo}})) који гласи
Ред 82:
Цела математика се може формализовати унутар ЦФИ што значи да је могуће саму математику проучавати математички. Сваком питању о постојању неког математичког објекта или могућности доказивања неке претпоставке или хипотезе може се дати прецизна математичка формулација. Питање о могућности доказа неке математичке тврдње постаје смислено математичко питање. Кад је већ реч о нерешеном математичком проблему или дилеми има смисла да се упитамо да ли је могуће решити их унутар формалног ЦФИ система. Одговор може не бити ни да ни не јер је ЦФИ некомплетан систем.
Наведимо неколико примера где је могуће формализовати математичке објекте унутар ЦФИ. Скуп природних бројева се може идентфиковати са коначним ординалима, тј. <math>>\mathbb{N}=\omega</math>. Скуп целих бројева <math>\mathbb{Z}</math> може да се дефинише као скуп класа еквиваленције парова природних бројева где је релација еквиваленције <math>(n,m)\equiv (n\prime,m\prime)</math> ако и само ако <math>n+m\prime = m+n\prime</math>. Ако се сваки природни број <math>n</math> идентификује са класом еквиваленције пара <math>(n,0)</math> онда се операције суме и производа природних бројева могу природно проширити на скуп целих бројева <math>\mathbb{Z}</math>. Скуп рационалних бројева <math>\mathbb{Q}</math> се може да дефинише као скуп класа еквиваленције парова <math>(n,m)</math> целих бројева при чему је <math>m \neq 0</math> и при релацији еквиваленције <math>(n,m)\equiv (n\prime,m\prime)</math> ако и само ако је <math>n . m\prime = m . n\prime</math>. Операције суме и производа на <math>\mathbb{Z}</math> могу се природно проширити на <math>\mathbb{Q}</math>. Поредак <math>\leq_{\mathbb{Q}}</math> на скупу рационалних бројева је дефинисан са: <math>r \leq_{\mathbb{Q}}s</math> ако и само ако постоји <math>t \in \mathbb{Q}</math> такво да је <math>s=r+t</math>. Реални бројеви се могу дефинисати као Дедекиндови пресеци у <math>\mathbb{Q}</math>, тј. реални број је дат паром <math>(A,B)</math> двају дисјунктних непразних скупова таквих да је <math>A \cup B=\mathbb{Q}</math>, и <math>a \leq_{\mathbb{Q}} b</math> за свако <math>a \in A</math> и <math>b \in B</math>. Опреације суме, производа и уређености <math> \leq_{\mathbb{Q}}</math> на <math>\mathbb{Q}</math>, се могу проширити на скуп реалних бројева <math>\mathbb{R}</math>.
ЦФИ модел је пар <math>(M,E)</math> где је <math>M</math> непразан скуп а <math>E</math> је бинарна релација на <math>M</math> таква да су све ЦФИ аксиоме истините ако се интерпретирају у <math>(M,E)</math>. На тај начин ако је <math>\phi</math> нека тврдња у теорији скупова онда се може наћи неки ЦФИ модел за који је тврдња <math>\phi</math> важећа, тада се негација <math> \neg \phi</math> не може доказати у ЦФИ. Ако се може наћи модел за <math>\phi</math> и модел за <math> \neg \phi</math>, тада се <math>\phi</math> не може доказати нити оборити у ЦФИ. У том се случају каже да је <math>\phi</math> независна од ЦФИ. Геделова теорема комплетности логике првог реда каже да је ЦФИ консистентна аксиоматика ако се може наћи ЦФИ модел. Косистентност овде значи да ЦФИ аксиоме нису противречне једна другој.
| |||