Википедија

Теорија скупова континуума — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
Judah, H. et al. већ наведен; види још потребно; викивезе потребне; првог лица не сме да буде; енциклопедијски стил остатак
Поништена измена 12016781 корисника Obsuser (разговор)Mozemo li dobiti detaljno obrazlozenje promjena poduprto efektivnim znanjem teme?
Ред 1:
'''[[Теорија скупова]] [[Континуум (математика)|континуума]]''' од [[Георг Кантор|Канторових]] ({{јез-нем|Georg Cantor}}) времена па до [[1940е|1940-их]] бавила се углавном [[Реалан број|реалним бројевима]] <math>\mathbb{R}</math> тј. континуумом. Главни предмет истраживања теорије скупова континуума су била својства регуларности као и друга структурна својства скупова реалних бројева дефинабилних<ref>Перовић, А.; Јовановић, А.; Величковић, Б. ''[http://poincare.matf.bg.ac.rs/~aljosha/Teorija-Skupova.pdf Теорија скупова]''. Математички факултет. Београд. стр. 88.</ref> на <math>\mathbb{R}</math>. ОваОвај теоријаглавни предмет се често зове и '''дескриптивна теорија скупова'''.
 
Да би се могао у потпуности разумети овај чланак, потребно је прво прочитати чланке [[Основе теорије скупова]] и [[Теорија скупова]].
== Концепција ==
 
== Дескриптивна теорија скупова ==
Дескриптивна теорија скупова проучава својства и структуре дефинабилних подскупова у <math>\mathbb{R}^n</math> и у другим [[пољски простор|пољским просторима]], тј. оним који су сепарабилни, метрички и комплетни. Као пример пољских простора поменућемо [[Рене-Луј Бер|Беров]] ({{јез-франц|René-Louis Baire}}) простор свих функција <math>f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math>, простор комплексних бројева, [[Давид Хилберт|Хилбертов]] ({{јез-нем|David Hilbert}}) простор и сепарабилне [[Стефан Банах|Банахове]] ({{јез-пољ|Stefan Banach}}) просторе. Најпростији пример скупа реалних бројева су основни отворени скупови реалних бројева тј. отворени интервали са рационалним границама, те њихови комплементи. Ако се узму основни отворени скупови па се на њих примене операције комплементирања пребројиво много пута и формира се пребројива унија тако добијених скупова, добијају се [[Емил Борел|Борелови]] ({{јез-франц|Émile Borel}}) скупови. Сви Борелови скупови поседују сва својства регуларности. Као пример својства регуларности имамо [[Анри Леон Лебег|Лебегову]] ({{јез-франц|Henri Léon Lebesgue}}) мерљивост. Скуп реалних бројева је мерљив по Лебегу ако се разликује од неког Бореловог скупа за празан скуп. Ово значи да се скуп мерљив по Лебегу може прекрити отвореним интервалима произвољно мале дужине. Тиме су сви Борелови скупови мерљиви по Лебегу.
 
Линија 16 ⟶ 18:
Помоћу ЦФИ је могуће показати да је сваки (ко)аналитички скуп мерљив по Лебегу и да има Берово својство, а да сваки аналитички скуп има својство савршености. У ЦФИ се не може показати да сваки коаналитички скуп има својство савршености.
 
Теорија пројективних скупова чија је комплексност већа од комплексности коаналитичког скупа је потпуно ЦФИ неодређена. На пример, у <math>L</math> постоји <math>\sideset{}{_2^1}\sum</math> скуп који није мерљив по Лебегу и нема Берово својство, а ако [[Доналд Мартин|Мартинова]] ({{јез-енгл|Donald A. Martin}}) [[аксиома]] важи — онда такав скуп има својства регуларности.
 
== Детерминација ==
Својство регуларности скупа које у себе укључује сва друга класична својства регуларности се зове ''својство детерминације''. Ово својство се може објаснити посматрајућикористећи Беров простор <math>\mathcal{N}</math>. Елементи простора <math>\mathcal{N}</math> су функције <math>f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> односно низови природних бројева дужине <math>\omega</math>. Простор <math>\mathcal{N}</math> је [[топологија (математика)|тополошки]] еквивалент простора ирационалних тачака у <math>\mathbb{R}</math>. Пошто је скуп рационалних бројева као подскуп скупа реалних бројева <math>\mathbb{R}</math> пребројив а јединозаинтересовани штосмо јесамо битно језа својство регуларности, уместо <math>\mathbb{R}</math> се ради са <math>\mathcal{N}</math> пошто је скуп рационалних бројева занемарљив што се тиче својства регуларности.
 
Практичан пример својства детерминације: Нека је <math>A \subseteq \mathcal{N}</math>. Игра <math>\mathcal{G}_{A}</math> дефинисана на <math>A</math> има два играча (<math>I</math> и <math>II</math>), који наизменично играју <math>n_{i} \in \mathbb{N}</math>, тј. играч <math>I</math> игра <math>n_{0}</math>, затим <math>II</math> игра <math>n_{2}</math>, па <math>I</math> игра <math>n_{2}</math>... Тиме у кораку <math>2k</math> играч <math>I</math> игра <math>n_{2k}</math>, а у кораку <math>2k+1</math> играч <math>II</math> игра <math>n_{2k+1}</math>. После бесконачно много корака, ова два играча ће направити бесконачан низ <math>n_{0},n_{1},n_{2},\dots</math> природних бројева. Било који играч побеђује ако овај низ припадне <math>A</math> након неког корака његове игре.
Линија 28 ⟶ 30:
 
== Хипотеза континуума ==
Хипотезу континуума (ХК) формулисао је Кантор. Овом хипотезом се тврди да сваки бесконачни скуп реалних бројева има [[кардиналност]] <math>\aleph_{0}</math> или исту кардиналност као и <math>\mathbb{R}</math>, тј. <math>2^{\aleph_{0}}=\aleph^{1}</math>. Затворени скупови реалних бројева имају својство савршеног скупа, одакле следи да сваки непребројив затворен скуп реалних бројева има исту кардиналност као и <math>\mathbb{R}</math>. На тај начин ХК важи за затворене скупове. [[Павел Сергејевич Александров|Александров]] ({{јез-рус|Па́вел Серге́евич Алекса́ндров}}) проширио је ХК на Борелове скупове, а [[Михаил Јаковлевич Суслин|Суслин]] ({{јез-рус|Михаил Яковлевич Су́слин}}) на све аналитичке скупове. ХК није проширена на коаналитичке скупове и не може се доказати за ове скупове у ЦФИ. Гедел је доказао да је ХК доследна (конзистентна) са) ЦФ. Под претпоставком да је ЦФ доследан, може се конструисати неки ЦФИ модел који се зове конструктивни универзум, у коме ХК важи. Да се доказати да ако је ЦФ доследан, онда су заједно доследни ЦФ, АИ и ХК. Отуд следи да, ако се претпостави да је ЦФ доследан, онда се АИ не може оборити у ЦФ нити се може оборити ХК у ЦФИ.
 
== Види још ==
* [[Теорија скупова]]
* [[Суслинов проблем]]
 
== Референце ==
Линија 40 ⟶ 38:
* Judah, H.; Just, W.; Woodin H. <small>ed.</small> (1992). [http://www.logique.jussieu.fr/~boban/pdf/OCA-applications.pdf ''Set Theory of the Continuum'']. Springer-Verlag, Inc. стр. 154.
* Wilder, R. L. (1965). [https://archive.org/details/IntroductionToTheFoundationsOfMathematics ''The Foundations of Mathematics'']. John Wiley & Sons, Inc. изд. II. стр. 150.
* Judah, H., Just, W., Woodin, H. Set Theory of the Continuum Springer Science & Business Media, Dec 6, 2012
 
== Спољашње везе ==
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Теорија_скупова_континуума”