Фокер-Планкова једначина — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Нова страница: '''Фокер-Планкова једначина''' у статистичкој механици је парцијалн… |
Нема описа измене |
||
Ред 10:
* <math> - \frac{\partial}{\partial x}\left[F(x,t) p(x,t)\right]</math> је члан који описује померај или дрифт
Уопштено, једначина еволуције може садржати поред ова два члана и члан који се односи на скокове густине вероватноће, тј. који би описивао њена [[непрекидност функције|неконтинуална]] понашања, али овакво понашање се не узима у обзир у уобичајеном посматрању начина еволуције.<ref>[http://lptms.u-psud.fr/christophe_texier/files/2012/06/td5pshe.pdf Класични приступ, Фокер-Планкова једначина], приступљено: 27. јануар 2017.</ref>
== Еквивалентност са Ланжевиновом једначином ==
Ред 16:
[[Ланжевинова једначина]] се може егзактно решити и њена решења су неке [[стохастички процеси|стохастичке функције]]. Различитим дискретизацијама Ланжевинове једначине добијају се различите Фокер-Планкове једначине због тога што је [[шум]] који фигурише у Ланжевиновој једначини [[стохастичке променљиве|стохастичке природе]].
Ланжевинова једначина са Итовом дискретизацијом одговара Фокер-Планковој једначини која пропагира унапред у времену.<ref>[http://www2.ph.ed.ac.uk/~dmarendu/ASP/Section15.pdf Фокер-Планкова једначина: еквиваленција са Ланжевиновом једначином], приступљено: 27. јануар 2017.</ref>
=== Доказ ===
Полазећи од Ланжевинове једначине записане као [[парцијална диференцијална једначина|парцијалне диференцијалне једначине]] првог реда:
:<math> \lambda \frac{dx}{dt} = - \frac{\partial V(x)}{\partial x} + \eta(t),</math>
у којој је шум дефинисан као [[Винеров процес]]:
:<math> \langle \eta(t) \rangle = 0, \quad \langle \eta(t) \eta(t') \rangle = \Gamma \delta(t-t'),</math>
посматра се пробна функција <math> \phi(x(t)) </math> која се усредњава по свим реализацијама у инфинитезималном временском померајју <math>\langle \phi(x(t + \delta)) \rangle = \langle \phi(x(t)) \rangle </math> користећи [[Тејлорова формула|Тејлоров развој]] и Ланжевинову једначину.
Проналажењем временског извода <math> \frac{\partial}{\partial t} \langle \phi(x(t)) \rangle </math> добија се Фокер-Планкова једначина идентификовањем дифузионог и дрифт члана.
У зависности од начина усредњавања, тј. дискретизације мултипликативног шума, добијају се различите Фокер-Планкове једначине. Због тога је при записивању Ланжевинове једначине потребно нагласити и на који начин се врши дискретизација. Најпознатији су Стратоновичев и Итов приступ, где Стратоновичев приступ подразумева да се вредност узима на средини интервала и погодан је због тога што при овом приступу важе уобичајена алгебарска правила. С друге стране, Итов приступ којим се при дискретизацији узима вредност функције на крају интервала је погодан због тога што се изрази поједностављују, али се мора опрезније извршавати обичне рачунске операције. Може се показати еквивалентност између Стратоновичевог и Итовог приступа и начин преласка са једне на другу дискретизацију.<ref>[http://www3.ul.ie/gleesonj/Papers/SDEs/AM4062_notes7.pdf Ито-Стратонович дилема], приступљено: 27. јануар 2017.</ref>
== Струја густине ==
| |||