Комплексан број — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Бот: исправљена преусмерења; козметичке измене |
. |
||
Ред 1:
{{друга употреба|Број (вишезначна одредница)}}
[[Датотека:Complex number illustration.svg|thumb|right|Комплексни број може бити визуелно представљени као пар бројева {{math|(''a'', ''b'')}} који формирају вектор на дијаграму који се назива [[Комплексна раван|Аргандов дијаграм]], чиме се представља [[комплексна раван]]. -{„Re“}- је реална оса, -{„Im“}- је имагинарна оса, и {{math|''i''}} је [[имагинарна јединица]] која задовољава {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}.]]
Уређени пар [[Реалан број|реалних бројева]], означен са <math>(a,b)</math>, при чему су <math>a</math> и <math>b</math> реални бројеви (<math>a,b\in\mathbb{R}</math>), назива се '''комплексан број'''.<ref>-{Complex Variables (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill (USA), ISBN 978-0-07-161569-3}-</ref><ref>{{Citation |title=College Algebra and Trigonometry |edition=6 |first1=Richard N. |last1=Aufmann |first2=Vernon C. |last2=Barker |first3=Richard D. |last3=Nation |publisher=Cengage Learning |year=2007 |isbn=0-618-82515-0 |page=66 |url=https://books.google.com/?id=g5j-cT-vg_wC&pg=PA66 |chapter=Chapter P}}</ref> (Реалан број је „прост“, док је уређени пар „сложен“, или комплексан, јер га сачињавају два броја). Скуп свих оваквих парова, односно свих комплексних бројева, означавамо са <math>\mathbb{C}</math> и он је суштински Декартов производ <math>\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}</math>. Уређени пар <math>(a,b)</math>, као комплексан број, записује се још као <math>a+bi</math>. Притом се елемент <math>i</math> назива имагинарним бројем, и има својство да је <math>i^2=-1</math>.<ref>{{Citation |title=Elementary Algebra |author=Charles P. McKeague |publisher=Brooks/Cole |isbn=978-0-8400-6421-9 |year=2011 |page=524 |url=https://books.google.com/?id=etTbP0rItQ4C&pg=PA524}}</ref> Имагинарни број се у физици често обележава и латиничним словом <math>j</math>.
У скупу комплексних бројева могуће је вршити операције [[Сабирање|сабирања]], [[Множење|множења]] и [[Дељење|дељења]] и оне се дефинишу на следећи начин:
: <math>(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2, y_1+y_2)\,</math> (сабирамо први са првим, други са другим)
: <math>(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1)\,</math> (до овог резултата је лако доћи ако их помножимо у облику <math>(x_1+y_1 i)\cdot(x_2+y_2 i)</math> и запамтимо да је <math>i^2=-1</math>)
: <math> \frac{(x_1,y_1)}{(x_2,y_2)} = (\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2},\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2})</math> (применимо методу као код множења, с тим што израз у имениоцу помножимо са <math>x_2-y_2 i</math>)
У комплексном броју <math>z=a+bi</math> број <math>a</math> се назива реални део и пише се <math>a=Re(z)</math>, а број <math>b</math> је имагинарни део и пише се <math>b=Im(z)</math>.
Линија 17 ⟶ 15:
Скуп реалних бројева може се посматрати као подскуп скупа комплексних бројева (кад је други члан уређеног пара, односно коефицијент уз <math>i</math>, једнак нули). Иако се комплексним бројевима не изражавају [[количина|количине]], као што је то случај с реалним бројевима, њихово увођење се користи у решавању проблема састављених у терминима реалних бројева, на пример, проблема о пролазу струје кроз проводник, о профилу крила авиона (користећи [[функције Жуковског]]), итд.
Није мање важна ни примена комплексних бројева на чисто математичке проблеме. Тако на пример, за налажење корена [[кубна једначина|кубне једначине]] потребне су операције с комплексним бројевима.<ref>{{harvtxt|Burton|1995|p=294}}</ref> Историјски, комплексни бројеви су уведени због решавања [[квадратна једначина|квадратних једначина]]. Свака квадратна једначина облика <math>ax^2+bx+c=0</math> има два решења у скупу комплексних бројева, док смо у скупу реалних бројева наилазили на проблем кад је у решењу облика <math>x=(-b\plusmn\sqrt{b^2-4ac})/2a</math> израз испод корена био негативан. Увођењем имагинарног броја са својством да је <math>i^2=-1</math>, корен поприма облик <math>\sqrt{i^2|b^2-4ac|}=\sqrt{i^2}\sqrt{|b^2-4ac|}=i\sqrt{b^2-4ac}</math> и решење добијамо у скупу комплексних бројева. Чињеница да комплексни бројеви не изражавају величине дала је повод за идеалистичко тумачење комплексних бројева (Г. [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|Лајбниц]]). велика заслуга у смислу материјалистичког тумачења комплексних бројева припада Л. [[Леонард Ојлер|Ојлеру]]. Комплексни број се аксиоматски дефинише као [[уређени пар|уређен пар]] реалних бројева <math>(a,b)</math>. Формуле сабирања, множења, дељења се [[постулат|постулирају]] овако:
<center><math>(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,</math>,</center>
Линија 26 ⟶ 24:
<center><math>-1=i^2= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \not= \sqrt{(-1)(-1)}=1</math>.</center>
==Дефиниција==
Дефиницију комплексних бројева као уређених парова дао је [[Вилијам Роуан Хамилтон|Вилијам Р. Хамилтон]], ирски математичар (1805– 1865.) Та се дефиниција темељи само на особини реалних бројева, чиме се избјегава донекле неразјашњени појам броја <math>\sqrt{-1}</math> .
С друге стране, запис облика <math>z = x + yi</math> погоднији је за рачунање.
Оба облика комплексног броја
<math>z = x + yi</math> i
<math>z = (x, y)</math> потпуно су еквивалентна.
Скуп комплексних бројева <math>\mathbb{C}</math> је скуп свих бројева облика <math>z=x+iy</math>, где су <math>x,y\in \mathbb{R}</math>.
Посебно је <math>0=0+i0</math>.
<math>x=\mathrm{Re}( z)</math> је реални део комплексног броја <math>z</math>,
<math>y=\mathrm{Im} z</math> је имагинарни део комплексног броја <math>z</math>.
;Алгебарски облик комплексног броја је
<math>z = x + iy</math> za <math>x, y \in \mathbb{R}</math>
;Тригонометријски облик комплексног броја је
<math>z = r(cos \theta + isin\theta), r \ge 0,\theta \in \mathbb{R}</math>
pri čemu je
<math>r=\mid z\mid</math> модул
<math>\theta = ARg z</math> аргумент
;Експоненцијални облик комплексног броја је
<math>z=r^{i\theta}</math> za <math>r \ge 0,\theta \in \mathbb{R}</math>
при чему је
<math>r=\mid z\mid</math> модул
<math>\theta = ARg z</math> аргумент
Два комплексна броја су једнака ако су им једнаки реални и имагинарни делови.
<math>z_{1} = z_{2} \, \, \leftrightarrow \, \, ( \operatorname{Re}(z_{1}) = \operatorname{Re}(z_{2}) \, \and \, \operatorname{Im} (z_{1}) = \operatorname{Im} (z_{2})).</math>
Коњуговано комплексни број броја <math>z=x+iy</math> је број <math>\bar z=x-iy</math>.
Модул или [[апсолутна вредност]] комплексног броја <math>z</math> је ненегативни реални број <math>r=\vert z\vert=\sqrt{x^2+y^2}</math>.
==Особине сабирања комплексних бројева==
<math>(z_1+z_2=z_2+z_1 </math> za <math>\forall z_1,z_2 \in \mathbb{C}</math> [[komutativnost]] sabiranja<ref>[http://lav.fesb.hr/mat1/predavanja/node19.html Рачунске операције су дефинисане]</ref>
<math>z_1 + (z_2 + z_3)=(z_1 + z_2) + z_3,</math> za <math>\forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C}</math> [[асоцијативност]] сабирања
<math>\exists 0\in \mathbb{C} z+0=z</math> za <math>\forall z \in \mathbb{C}</math> неутрални елемент [[0 (broj)|0(nula)]] за сабирање
Комплексни број <math>0=(0,0)=0+0i</math>
<math>(\forall z \in \mathbb{C}) (\exists (-z)\in \mathbb{C} z+(-z)=0 </math> постојање инверзног елеманта.
Комплексни број <math>-z=(-x,-y)=-x-yi</math><ref name=file1333 >[https://element.hr/artikli/file/1333 Аксиоми поља комплексних бројева]</ref>
==Особине множења комплексних бројева==
<math>(z_1*z_2=z_2*z_1 </math> za <math>\forall z_1,z_2 \in \mathbb{C}</math> комутативност множења
<math>z_1 * (z_2 + z_3)=(z_1 + z_2) + z_3</math> za <math>\forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C}</math> асоцијативност множења
<math>\exists 1\in \mathbb{C} z*1=z</math> za <math>\forall z \in \mathbb{C}</math> neutralni element <math>1</math> за множење
<math>\forall z \in \mathbb{C})(z \ne 0 )(\exists z'\in \mathbb{C} z*(-z)=1 </math> постојање реципроћног елеманта
<math>z_1 * (z_2 + z_3) = z_1 * z_2 + z_1 * z_3</math> za <math>\forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C}</math> дистрибутивност множења у односу на сабирање<ref name=file1333 />
===Реалан производ два комплексна броја===
У скупу комплексних бројева скаларном производу вектора одговара појам реалног производа комплексних бројева који је скаларни производ вектора који су одређени комплексним бројевима који се множе.
;Definicija
Реалан производ комплексних бројева <math>a</math> i <math>b</math>, у ознаци <math>a \circ b</math>, је реалан број одређен као
<math>a \circ b =\frac{1}{2}( \overline{a}b+a\overline{b})</math>
Нека су -{A}- и -{B}- тачке одређене комплексним бројевима <math>a = \mid a \mid(cos \varphi +
i sin \varphi)</math> i<math>b = \mid b \mid(cos \psi +
i sin \psi)</math> Лако је проверити да је
<math>a \circ b = \mid a \mid \mid b \mid ( cos \varphi+i sin \psi)= \mid OA \mid \mid AB \mid cos \widehat{AOB} </math>
Особине реалног производа два комплексна броја
#<math>a \circ a = \mid a \mid ^2</math>
#<math>a \circ b = b \circ a</math>
#<math>\overline{a \circ b}=a \circ b</math>
#<math>(\alpha a )\circ b =\alpha(a \circ b )=a \circ ( \alpha b)</math>
#<math>(az))bz)= \mid z \mid ^2 (a\circ b)</math>
#<math>a\circ b = 0 <=> OA \perp OB</math> (за тачке -{A}- и -{B}- комплексне равни одређене комплексним бројевима <math>a</math> и <math>b</math>)
Реалан производ комплексних бројева <math>a</math> и <math>b</math> једнак је потенцији координантног почетка <math>O</math> комплексне равни у односу на круг чији је пречник <math>AB</math>, где су <math>A</math> и <math>B</math> тачке комплексне равни одређене комплексним бројевима <math>a</math> Q <math>b</math>.
Тачка <math>M</math> је средина дужи -{AB}- одређена комплексним бројем <math>\frac{a+b}{2}
</math>, потенција тачке <math>O</math> у односу на круг са средиштем у тачки <math>M</math> и полупречником
<math>r = \frac{a-b}{2}= \frac{\mid a-b \mid}{2}</math> једнака је
<math>OM^2 - r^2 =\mid \frac{a+b}{2} \mid -\mid \frac{a-b}{2} \mid = \frac{(a+b)(\overline{a}+\overline{b} }{4}-\frac{(a-b)(\overline{a}-\overline{b}) }{4}= a\circ b
</math>
Нека су тачке <math>A</math>,<math>B</math>,<math>C</math>,<math>D</math> тачке комплексне равни одређене комплексним бројевима <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math>. Тада су следећа тврђења еквивалентна:
#<math>AB \perp CD</math>
#<math>(a+b)\circ (c+d)=0</math>
#<math>\frac{b-a}{d-c}\in i\mathbb{R} \ \begin{Bmatrix}
0
\end{Bmatrix}</math>
#<math>Re(\frac{b-a}{d-c})=0</math>
Средиште кружнице описане око троугла <math>ABC</math> налази се у координантном почетку комплексне равни. Ако су темена <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> троугла <math>ABC</math> одређена комплексним бројевима <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> респективно, тада је ортоцентар <math>H</math> тог троугла одређен комплексним бројем <math>h = a + b + c</math>.
===Комплексан производ два комплексна броја===
Комплексан производ два комплексна броја је аналоган векторском производу вектора.
;Дефиниција
Комплексан број
<math>a \times b =\frac{\overline{a}b - a \overline{b}}{2}</math>
називамо комплексним производом комплексних бројева <math>a</math> и <math>b</math>.
Нека су <math>A</math> и <math>B</math> тачке одређене комплексним бројевима
<math>
a = \mid a \mid(cos\varphi +i sin \varphi)</math> и
<math>a = \mid b \mid(cos\psi +i sin \psi)</math>
Лако је провјерити да је
<math>\mid a \times b \mid =\mid a \mid \mid b \mid sin(\varphi -\psi)=
\mid OA \mid \mid AB \mid sin\widehat{AOB}=2P_{AOB} </math>
Нека су <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> комплексни бројеви. Тада комплексан производ два комплексна броја има следеће особине
#<math>\overline{a \times b}= -a \times b</math>
#<math>a \times b= 0 <=> a=0 \lor b=0 \lor a= \lambda b</math> gdje je <math>\lambda \in \mathbb{R} \ \begin{Bmatrix}
0
\end{Bmatrix}</math>
#<math>
a \times b =-b \times a</math>
#<math>\alpha (a \times b)=(\alpha a)\times b = a \times (\alpha b)</math> ( <math>\forall \alpha \in\mathbb{R}</math> )
Ако су <math>A(a)</math> и <math>B(b)</math> две различите тачке различите од <math>O(0)</math>, тада је
<math>a \times b = 0 </math> onda i samo onda ako su <math>O</math>, <math>A</math>,<math>B</math> колинеарне тачке.
Нека су <math>A(a</math>) и <math>B(b</math>) две различите тачке у комплексној равни различите од координантног почетка. Комплексан производ бројева <math>a</math> и <math>b</math> има следећи геометријски смисао
<math>a \times b = \begin{cases}
2iP_{AOB} \ za \ trougao \ AOB \ pozitivno \ orijentisan \\
-2iP_{AOB} \ za \ trougao \ AOB \ negativno \ orijentisan
\end{cases}</math>
Нека су <math>A(a)</math>, <math>B(b)</math> и <math>C(c)</math> три различите тачке у комплексној равни.
Тада је
<math>P_{ABC}=\begin{cases}
\frac{1}{2}( a \times b + b \times c + c \times a )\ ako \ je \ ABC \ pozitivno \ orjentisan \\
\frac{1}{2}( a \times b + b \times c + c \times a )\ ako \ je \ ABC \ negativno \ orjentisan
\end{cases}</math>
Нека су <math>A(a)</math>, <math>B(b)</math> и <math>C(c)</math> три различите тачке у комплексној равни.
Тада су следећа тврђења еквивалентна
#Тачке <math>A</math>,<math>B</math>,<math>C</math> су колинеарне
#<math>(b - a) \times (c - a) = 0</math>
#<math>a \times b + b \times c + c \times a = 0</math>
Нека су <math>A(a)</math>, <math>B(b)</math>, <math>C(c)</math> и <math>D(d)</math> четири тачке од којих ни једна група од три нису колинеарне. Тада је <math>AB\parallel CD</math> онда и само онда ако је <math>(b-a)\times(d-c) = 0</math>
==Дијељење комплексних бројева==
<math>\displaystyle \frac{z_1}{z_2} \displaystyle = \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\cdot \frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2} \displaystyle = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \quad \textrm{za}\quad z_2\neq 0</math>
У сваком скупу бројева дељење се дефинише као множење инверзним елементом. Уверимо се да за
<math>
\forall z \in \mathbb{C})(z \ne 0 )\exists z'\in \mathbb{C}</math>
Нека је
<math>z = x + yi \ne 0</math> bilo koji. Onda je <math>x^2 + y^2 \ne 0</math> па је добро дефинисан број
<math>z'= \frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y}{x^2+y^2}i</math>
<math>\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z \bar{z}}=\frac{\bar{z}}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2} -\frac{y}{x^2+y^2}i.</math>
имамо
<math>z'*z=z*z'=1 </math>
<math>z'=z^{-1}=\frac{1}{z}</math>
== Коњуговано комплексни бројеви ==
[[Датотека:Complex conjugate picture.svg|мини|десно|Коњуговано комплексни бројеви]]
Комплексан број <math>\overline{z} \ = x - yi=r^{-i\theta} </math> називамо коњугованим бројем <math>z = x + yi = r^{i\theta}</math>.<ref>[http://www.elfak.ni.ac.rs/downloads/informacije/studenti/praktikumi/kompleksni-brojevi.pdf Коњуговано комлексни број комплексног броја]</ref>
Бројеви <math>z</math> i <math>\overline{z}</math> чине пар коњугованик бројева. Њиховим сабирањем и одузимањем добијамо
: <math>Re z = \frac{1}{2}(z+\overline{z})</math>
: <math>Im z = \frac{1}{2i}(z-\overline{z})</math>
Лако се проверава да вреди
#<math>
\overline{z_1+z_2} =\overline{z_1} +\overline{z_2}</math>
#<math>
\overline{z_1-z_2} =\overline{z_1} -\overline{z_2}</math>
#<math>
\overline{z_1*z_2} =\overline{z_1} *\overline{z_2}</math>
#<math>
\overline{(\frac{z_1}{z_2})} =\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_1}}</math><ref name=file1333 />
Neka je
<math>z=r(cos \theta+ isin \theta)= r\ cis \theta</math> тригонометријски облик комплексног броја. Тада је
<math>z^2=z*z</math>
<math>z^2=r\ cis \theta * r\ cis \theta =r^2 \ cis (\theta + \theta)= r^2 \ cis 2\theta</math>
<math>z^3=r^2\ cis 2\theta * r\ cis \theta =r^3 \ cis (2\theta + \theta)= r^3 \ cis 3\theta</math>
<math>z^4=r^3\ cis 3\theta * r\ cis \theta =r^4 \ cis (3\theta + \theta)= r^4 \ cis 4\theta</math> <ref>[http://www.elfak.ni.ac.rs/downloads/informacije/studenti/praktikumi/kompleksni-brojevi.pdf Степеновање, 19. фебруар 2014].</ref>
На овај начин добијамо општи облик Де Моавровог теорема који има важну улогу у електротехници
<math>z^n= r^n \ cis n\theta</math> Q
<math>(cos \theta+ isin \theta)^n= cos n\theta + isin n\theta (n \in Z)</math><ref>[http://www.elfak.ni.ac.rs/downloads/informacije/studenti/praktikumi/kompleksni-brojevi.pdf Моаврова формула]</ref>
==Степеновање комплексног броја==
<math>z^n = r^n(cosn \theta + isin n \theta) = r^ne^{in\theta}</math> za <math>n \in N</math>.
<math>z^mz^n=z^{m+n}</math>
<math>(z_1z_2)^n=(z_1z_2)^n</math>
<math>(z^m)^n=z^{mn}</math>
==Кореновање комплексног броја==
<math>\sqrt[n]{z}=\begin{Bmatrix}
u_0,u_1...u_n
\end{Bmatrix}
</math> за <math>n \in N</math>
где је
<math>
u_k=\sqrt[n]{r}(cos\frac{\sqrt[n]{r}}{n}+i sin \frac{\theta+2k\pi }{n})</math> za <math>k=0,1,...(n-1)</math>
<math>u_k= \sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi )/2} </math> za <math>k=0,1,...(n-1)</math>
== Квадратни корен имагинарног броја ==
<math>\sqrt{i} = \frac{1}{2}\sqrt{2} + i\frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).</math>
Овај резултат можемо добити на следећи начин
<math>i = (a+bi)^2\!</math>
<math>i = a^2 + 2abi - b^2.\!</math>
Добијамо две једначине
<math>\begin{cases}
2ab = 1\! \\
a^2 - b^2 = 0\!
\end{cases}</math>
чија су решења
<math>a = b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.</math>
Избор главног корена даје
<math>a = b = \frac{1}{\sqrt{2}}.</math>
Резултат можемо добити помоћу Моаврове формуле
<math>i = \cos\left (\frac{\pi}{2}\right ) + i\sin\left (\frac{\pi}{2}\right )</math>
<math>\begin{align}
\sqrt{i} & = \left ( \cos\left ( \frac{\pi}{2} \right ) + i\sin \left (\frac{\pi}{2} \right ) \right )^{\frac{1}{2}} \\
& = \cos\left (\frac{\pi}{4} \right ) + i\sin\left ( \frac{\pi}{4} \right ) \\
& = \frac{1}{\sqrt{2}} + i\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) . \\
\end{align}
</math>
==Апсолутна вредност аргумента==
Апсолутна вредност (или модул или величине) комплексног броја <math>z = x + yi</math> je
:<math>\textstyle r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.\,</math><ref name=file1333 />
Квадрат апсолутне вредности је
<math>\textstyle |z|^2=z\bar{z}=x^2+y^2.\,</math>
<math>\varphi = \arg(z) =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
\mbox{indeterminate } & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0.
\end{cases}</math>
==Множење и дељење у поларном облику==
Из тригонометријских идентитета
: <math> \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b)</math>
: <math> \cos(a)\sin(b) + \sin(a)\cos(b) = \sin(a + b)</math>
имамо
: <math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\,</math>
;Пример
: <math>(2+i)(3+i)=5+5i. \,</math>
: <math>\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} </math>
Дељење
: <math>\frac{z_1}{ z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).</math>
== Тригонометријски облик ==
Линија 35 ⟶ 357:
Множити комплексне бројеве је веома погодно баш у овом облику.<br /> у множењу комплексних бројева множе се њихови модули, а аргументи се сабирају.
слично је и за дељење.
Из овог правила произлази [[Моаврова формула]]:
Линија 47 ⟶ 368:
Комплексни бројеви се често представљају [[вектор]]има у [[комплексна раван|комплексној равни]] (слика доле). Геометријски смисао бројева <math>a,b, \rho,\phi</math> види се на [[цртеж]]у. У сабирању комплексних бројева њихови вектори се сабирају по [[правило паралелограма|правилу паралелограма]].
[[Датотека:Kompleksna-ravan.gif|thumb|right|Комплексна раван]]
Дужина вектора <math>\rho</math> је [[модуларна аритметика|модуо]], или модул комплексног броја, а као што се види на горњој слици, може се добити помоћу [[Питагорина теорема|Питагорине теореме]]. Модул, интензитет комплексног броја често означавамо као апсолутну вредност, тј. удаљеност броја од исходишта координатног система: <math>|z|=\rho = \sqrt{a^2+b^2}</math>.
Комплексни бројеви у тригонометријском облику су уско повезани с експоненцијалном функцијом имагинарног аргумента. Важи следећа [[Ојлерова формула]]:
: <center><math>e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi \,</math>;</center>
помоћу ње се дефинише [[степеновање]] комплексних бројева, [[логаритам]] комплексног броја и др.
Комплексни бројеви образују [[алгебарско затворено поље]]. [[Поље (математика)|Поље]] комплексних бројева је проширење поља реалних бројева придруживањем овом пољу елемента <math>i</math>, таквог да је <math>i^2=-1</math>.
;Множење
Множење комплексних бројева у тригонометријском облику је слично множењу комплексних бројева у стандардном облику.
Нека су задани комплексни бројеви
<math>z_1=r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)</math> i <math>z_2=r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)</math>
онда је <ref name="profesorka.wordpress.com" >[https://profesorka.wordpress.com/2014/02/19/mnozenje-i-deljenje-kompleksnih-brojeva-u-trigonometrijskom-obliku/ Множење и дељење комплексних бројева у тригонометрији, 19. фебруар 2014]</ref>
<math>z_1z_2=r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)=</math>
<math>r_1r_2(cos\varphi_1cos\varphi_2+icos\varphi_1sin\varphi_2+icos\varphi_2sin\varphi_1+i^2sin\varphi_1sin\varphi_2)=</math>
<math>
r_1r_2(( cos\varphi_1cos\varphi_2 - sin\varphi_1 sin\varphi_2)+ i(cos\varphi_1sin\varphi_2 cos\varphi_2sin\varphi_1)=</math>
<math>r_1r_2(cos(\varphi_1+\varphi_2)+i sin(\varphi_1+\varphi_2)</math>
;Дељење
Нека су задати комплексни бројеви
<math>z_1=r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)</math> i <math>z_2=r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)</math>
<math>\frac{z_1}{z_2}= \frac{r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)}{r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)}= \frac{r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)}{r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)}*
\frac{r_1(cos\varphi_2-isin\varphi_2)}{r_2(cos\varphi_2-isin\varphi_2)}
</math><ref name="profesorka.wordpress.com" />
<math> \frac{r_1}{r_2}*\frac{cos\varphi_1cos\varphi_2-icos\varphi_1sin\varphi_2+icos\varphi_2sin\varphi_1-i^2sin\varphi_1sin\varphi_2}{cos^2\varphi_2+sin^2\varphi_2}</math>
<math>\frac{r_1}{r_2}(cos(\varphi_1-\varphi_2)+isin (\varphi_1-\varphi_2))=\frac{r_1}{r_2}(cis(\varphi_1-\varphi_2)</math>
===Де Моаврова формула ===
Нека је
: <math>z=r(cos \theta+ isin \theta)= r\ cis \theta</math> тригонометријски облик комплексног броја. Тада је
: <math>z^2=z*z</math>
: <math>z^2=r\ cis \theta * r\ cis \theta =r^2 \ cis (\theta + \theta)= r^2 \ cis 2\theta</math>
: <math>z^3=r^2\ cis 2\theta * r\ cis \theta =r^3 \ cis (2\theta + \theta)= r^3 \ cis 3\theta</math>
: <math>z^4=r^3\ cis 3\theta * r\ cis \theta =r^4 \ cis (3\theta + \theta)= r^4 \ cis 4\theta</math>
На овај начин добијамо општи облик Де Моаврове теореме који има важну улогу у електротехници
: <math>( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\,</math><ref>[https://profesorka.wordpress.com/2014/02/21/moavrova-formula-i-n-ti-koren-kompleksnog-broja/ Де Моаврова формула, 21. фебруар 2014.]</ref>
== Полар облик ==
{{Main|Поларни координатни систем}}
[[Датотека:Complex number illustration modarg.svg|right|thumb|Аргумент {{mvar|φ}} и модуо {{mvar|r}} лоцирају тачку на Аргандовом дијаграму; <math>r(\cos \varphi + i \sin \varphi)</math> или <math>r e^{i\varphi}</math> су ''поларни'' изрази за тачку.]]
{{rut}}
===Апсолутна вредност и аргумент===
An alternative way of defining a point ''P'' in the complex plane, other than using the ''x''- and ''y''-coordinates, is to use the distance of the point from ''O'', the point whose coordinates are {{math|(0, 0)}} (the [[origin (mathematics)|origin]]), together with the angle subtended between the [[positive real axis]] and the line segment ''OP'' in a counterclockwise direction. This idea leads to the polar form of complex numbers.
The ''[[absolute value]]'' (or ''modulus'' or ''magnitude'') of a complex number {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} is
:<math>\textstyle r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.\,</math>
If {{mvar|z}} is a real number (i.e., {{math|1=''y'' = 0}}), then {{math|1=''r'' = {{!}} ''x'' {{!}}}}. In general, by [[Pythagoras' theorem]], {{mvar|r}} is the distance of the point ''P'' representing the complex number {{mvar|z}} to the origin. The square of the absolute value is
:<math>\textstyle |z|^2=z\bar{z}=x^2+y^2.\,</math>
where <math>\bar{z}</math> is the [[#Conjugation|complex conjugate]] of <math>z</math>.
The ''[[arg (mathematics)|argument]]'' of {{mvar|z}} (in many applications referred to as the "phase") is the angle of the [[radius]] ''OP'' with the positive real axis, and is written as <math>\arg(z)</math>. As with the modulus, the argument can be found from the rectangular form <math>x+yi</math>:<ref>{{Citation
|title=Complex Variables: Theory And Applications
|edition=2nd
|chapter=Chapter 1
|first1=H.S.
|last1=Kasana
|publisher=PHI Learning Pvt. Ltd
|year=2005
|isbn=81-203-2641-5
|page=14
|url=https://books.google.com/?id=rFhiJqkrALIC&pg=PA14}}</ref>
:<math>\varphi = \arg(z) =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
\mbox{indeterminate } & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0.
\end{cases}</math>
[[Датотека:visualisation_complex_number_roots.svg|thumb|{{{1|250px}}}|Визуализација квадратног до шестог корена комплексног броја -{''z''}-, у поларној форми <span class="nowrap">-{''re''<sup>''iφ''}-</sup></span> где <span class="nowrap">-{''φ'' = arg ''z''}-</span> и <span class="nowrap">-{''r''}- = <nowiki>|</nowiki>-{''z''}- <nowiki>|</nowiki></span>{{snd}}ако је -{''z''}- реално, <span class="nowrap">-{''φ''}- = 0 или {{pi}}</span>. Главни корени су приказани црном бојом.]]
Normally, as given above, the [[principal value]] in the interval {{open-closed|−π,π}} is chosen. Values in the range {{closed-open|0,2π}} are obtained by adding {{math|2π}} if the value is negative. The value of {{mvar|φ}} is expressed in [[radian]]s in this article. It can increase by any integer multiple of {{math|2π}} and still give the same angle. Hence, the arg function is sometimes considered as [[Multivalued function|multivalued]]. The polar angle for the complex number 0 is indeterminate, but arbitrary choice of the angle 0 is common.
The value of {{mvar|φ}} equals the result of [[atan2]]:
:<math>\varphi = \mbox{atan2}\left(\operatorname{Im}(z),\operatorname{Re}(z) \right).</math>
Together, {{mvar|r}} and {{mvar|φ}} give another way of representing complex numbers, the ''polar form'', as the combination of modulus and argument fully specify the position of a point on the plane. Recovering the original rectangular co-ordinates from the polar form is done by the formula called ''trigonometric form''
:<math> z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ).\,</math>
Using [[Euler's formula]] this can be written as
:<math>z = r e^{i \varphi}.\,</math>
Using the [[Cis (mathematics)|cis]] function, this is sometimes abbreviated to
:<math> z = r \operatorname{cis} \varphi. \,</math>
In [[angle notation]], often used in [[electronics]] to represent a [[Phasor (sine waves)|phasor]] with amplitude {{mvar|r}} and phase {{mvar|φ}}, it is written as<ref>{{Citation
|title=Electric circuits
|chapter=Chapter 9
|edition=8th
|first1=James William
|last1=Nilsson
|first2=Susan A.
|last2=Riedel
|publisher=Prentice Hall
|year=2008
|isbn=0-13-198925-1
|page=338
|url=https://books.google.com/?id=sxmM8RFL99wC&pg=PA338}}
</ref>
:<math>z = r \ang \varphi . \,</math>
=== Множење и делење у поларном облику ===
[[File:Complex multi.svg|right|thumb|Multiplication of {{math|2 + ''i''}} (blue triangle) and {{math|3 + ''i''}} (red triangle). The red triangle is rotated to match the vertex of the blue one and stretched by [[square root of 5|{{sqrt|5}}]], the length of the [[hypotenuse]] of the blue triangle.]]
Formulas for multiplication, division and exponentiation are simpler in polar form than the corresponding formulas in Cartesian coordinates. Given two complex numbers {{math|1=''z''<sub>1</sub> = ''r''<sub>1</sub>(cos φ<sub>1</sub> + ''i'' sin φ<sub>1</sub>)}} and {{math|1=''z''<sub>2</sub> = ''r''<sub>2</sub>(cos φ<sub>2</sub> + ''i'' sin φ<sub>2</sub>)}}, because of the well-known trigonometric identities
:<math> \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b)</math>
:<math> \cos(a)\sin(b) + \sin(a)\cos(b) = \sin(a + b)</math>
we may derive
:<math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\,</math>
In other words, the absolute values are multiplied and the arguments are added to yield the polar form of the product. For example, multiplying by {{math|''i''}} corresponds to a quarter-[[turn (geometry)|turn]] counter-clockwise, which gives back {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}. The picture at the right illustrates the multiplication of
:<math>(2+i)(3+i)=5+5i. \,</math>
Since the real and imaginary part of {{math|5 + 5''i''}} are equal, the argument of that number is 45 degrees, or π/4 (in [[radian]]). On the other hand, it is also the sum of the angles at the origin of the red and blue triangles are [[arctan]](1/3) and arctan(1/2), respectively. Thus, the formula
:<math>\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} </math>
holds. As the [[arctan]] function can be approximated highly efficiently, formulas like this—known as [[Machin-like formulas]]—are used for high-precision approximations of [[pi|π]].
Similarly, division is given by
:<math>\frac{z_1}{ z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).</math>
== Матрични облик ==
Линија 66 ⟶ 514:
Реципрочну вредност у овом запису рачунамо тражењем инверзне матрице. Дељење дефинишемо као множење реципрочном вредношћу.
== Референце ==
{{Reflist|30em}}
== Литература ==
{{Refbegin|30em}}
* {{Citation |last=Ahlfors |first=Lars |authorlink=Lars Ahlfors |title=Complex analysis |publisher=McGraw-Hill |year=1979 |edition=3rd |isbn=978-0-07-000657-7}}
* {{Citation |last=Conway |first=John B. |title=Functions of One Complex Variable I |year=1986 |publisher=Springer |isbn=0-387-90328-3}}
* {{Citation |last1=Joshi |first1=Kapil D. |title=Foundations of Discrete Mathematics |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=New York |isbn=978-0-470-21152-6 |year=1989}}
* {{Citation |last=Pedoe |first=Dan |authorlink=Dan Pedoe |title=Geometry: A comprehensive course |publisher=Dover |year=1988 |isbn=0-486-65812-0}}
* {{Citation |last1=Press |first1=WH |last2=Teukolsky |first2=SA |last3=Vetterling |first3=WT |last4=Flannery |first4=BP |year=2007 |title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |edition=3rd |publisher=Cambridge University Press |publication-place=New York |isbn=978-0-521-88068-8 |chapter=Section 5.5 Complex Arithmetic |chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=225}}
* {{springer|id=c/c024140|title=Complex number|year=2001|first=E.D.|last=Solomentsev}}
* {{Citation |last1=Burton |first1=David M. |title=The History of Mathematics |publisher=[[McGraw-Hill]] |location=New York |edition=3rd |isbn=978-0-07-009465-9 |year=1995}}
* {{Citation |last1=Katz |first1=Victor J. |title=A History of Mathematics, Brief Version |publisher=[[Addison-Wesley]] |isbn=978-0-321-16193-2 |year=2004}}
* {{Citation |title=An Imaginary Tale: The Story of <math>\scriptstyle\sqrt{-1}</math> |first=Paul J. |last=Nahin |publisher=Princeton University Press |isbn=0-691-02795-1 |year=1998}}
* {{Citation |author1=H.D. Ebbinghaus |author2=H. Hermes |author3=F. Hirzebruch |author4=M. Koecher |author5=K. Mainzer |author6=J. Neukirch |author7=A. Prestel |author8=R. Remmert |title=Numbers |publisher=Springer |isbn=0-387-97497-0 |edition=hardcover |year=1991}}
* -{''The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe'', by [[Roger Penrose]]; Alfred A. Knopf, 2005; ISBN 0-679-45443-8. Chapters 4–7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.}-
* -{''Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra'', by John Derbyshire; Joseph Henry Press; ISBN 0-309-09657-X (hardcover 2006). A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.}-
* -{''Visual Complex Analysis'', by [[Tristan Needham]]; Clarendon Press; ISBN 0-19-853447-7 (hardcover, 1997). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.}-
* -{Conway, John B., ''Functions of One Complex Variable I'' (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 2 edition (12 September 2005). ISBN 0-387-90328-3.}-
{{refend}}
== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Complex numbers}}
{{wikiversity|Complex Numbers}}
{{wikibooks|Calculus/Complex numbers}}
* {{springer|title=Complex number|id=p/c024140}}
* -{[https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers/the-complex-numbers/v/complex-number-intro Introduction to Complex Numbers from Khan Academy]}-
* {{In Our Time|Imaginary Numbers|b00tt6b2}}
* -{[http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/eulers-investigations-on-the-roots-of-equations Euler's Investigations on the Roots of Equations] at Convergence. MAA Mathematical Sciences Digital Library.}-
* -{[http://mathforum.org/johnandbetty/ John and Betty's Journey Through Complex Numbers]}-
* -{[http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexNumberOrigin.html The Origin of Complex Numbers by John H. Mathews and Russell W. Howell]}-
* -{[http://www.dimensions-math.org/Dim_regarder_E.htm Dimensions: a math film.] Chapter 5 presents an introduction to complex arithmetic and [[stereographic projection]]. Chapter 6 discusses transformations of the complex plane, [[Julia set]]s, and the [[Mandelbrot set]].}-
{{Authority control}}
[[Категорија:Број]]
| |||