Википедија

Комплексан број — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
.
Ред 422:
: <math>( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\,</math><ref>[https://profesorka.wordpress.com/2014/02/21/moavrova-formula-i-n-ti-koren-kompleksnog-broja/ Де Моаврова формула, 21. фебруар 2014.]</ref>
 
== ПоларПоларни облик ==
{{Main|Поларни координатни систем}}
[[Датотека:Complex number illustration modarg.svg|right|thumb|Аргумент {{mvar|φ}} и модуо {{mvar|r}} лоцирају тачку на Аргандовом дијаграму; <math>r(\cos \varphi + i \sin \varphi)</math> или <math>r e^{i\varphi}</math> су ''поларни'' изрази за тачку.]]
 
{{rut}}
===Апсолутна вредност и аргумент===
Један алтернативни начин дефинисања тачке -{''P''}- у комплексној равни, осим коришћења ''x''- и ''y''- координата, је употреба растојања тачака од ''O'', тачке чије су координате {{math|(0, 0)}} ([[координатни почетак]]), заједно са углом између [[Позитивни реални бројеви|позитивне реалне осе]] и линијског сегмента -{''OP''}- у смеру наупрот кретања казаљки на сату. Ова идеја производи поларни облик комплексних бројева.
An alternative way of defining a point ''P'' in the complex plane, other than using the ''x''- and ''y''-coordinates, is to use the distance of the point from ''O'', the point whose coordinates are {{math|(0, 0)}} (the [[origin (mathematics)|origin]]), together with the angle subtended between the [[positive real axis]] and the line segment ''OP'' in a counterclockwise direction. This idea leads to the polar form of complex numbers.
 
The ''[[absoluteАпсолутна valueвредност]]'' (orили ''modulusмодуо'' orили ''magnitudeмагнитуда'') of a complexкомплексног numberброја {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} isје
:<math>\textstyle r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.\,</math>
 
If {{mvar|z}} is a real number (i.e., {{math|1=''y'' = 0}}), then {{math|1=''r'' = {{!}} ''x'' {{!}}}}. In general, by [[Pythagoras' theorem]], {{mvar|r}} is the distance of the point ''P'' representing the complex number {{mvar|z}} to the origin. The square of the absolute value is
Ако је {{mvar|z}} реални број (нпр., {{math|1=''y'' = 0}}), онда је {{math|1=''r'' = {{!}} ''x'' {{!}}}}. Генерално, по [[Питагорина теорема|Питагориној теореми]], {{mvar|r}} је растојање од тачке -{''P''}- која представља комплексни број {{mvar|z}} до координатног почетка. Квадрат апсолутне вредности је
:<math>\textstyle |z|^2=z\bar{z}=x^2+y^2.\,</math>
whereгде је <math>\bar{z}</math> is the [[#ConjugationКонјугација|complexкомплексно conjugateконјуговани]] ofброј од <math>z</math>.
 
The ''[[arg (mathematics)|argument]]Аргумент'' of {{mvar|z}} (inкоји manyсе applicationsу referredмногим toприменама asназива the "phase"„фазом“) isје the angle of theугао [[radiusполупречник]]а -{''OP''}- withса theпозитивном positiveреалном real axisосом, andи isпише writtenсе asкао <math>\arg(z)</math>. AsКао withи theкод modulusмодуа, the argument canаргумент beсе foundможе fromодредити theиз rectangularправоуганог formоблика <math>x+yi</math>:<ref>{{Citation
|title=Complex Variables: Theory And Applications
|edition=2nd
Линија 459 ⟶ 460:
[[Датотека:visualisation_complex_number_roots.svg|thumb|{{{1|250px}}}|Визуализација квадратног до шестог корена комплексног броја -{''z''}-, у поларној форми <span class="nowrap">-{''re''<sup>''i&phi;''}-</sup></span> где <span class="nowrap">-{''&phi;'' = arg ''z''}-</span> и <span class="nowrap">-{''r''}- = <nowiki>|</nowiki>-{''z''}-&thinsp;<nowiki>|</nowiki></span>{{snd}}ако је -{''z''}- реално, <span class="nowrap">-{''&phi;''}- = 0 или {{pi}}</span>. Главни корени су приказани црном бојом.]]
 
Нормално, као што је дато горе, главна вредност се разматра на интервалу {{open-closed|−π,π}}. Вредности у опсегу {{closed-open|0,2&pi;}} се добијају додавањем {{math|2&pi;}} ако је вредност негативна. Вредност {{mvar|φ}} се изражава у [[радијан]]има угла. Она може да буде повећана за целобројни умножак од {{math|2π}} и да се још увек односи на исти угао. Стога се -{arg}- функција понекад сматра [[Мултивредносна функција|мултивредносном]]. Поларни угао комплексног броја 0 је неодређен, мада се арбитрарни избор угла&nbsp;0 често прави.
Normally, as given above, the [[principal value]] in the interval {{open-closed|−π,π}} is chosen. Values in the range {{closed-open|0,2&pi;}} are obtained by adding {{math|2&pi;}} if the value is negative. The value of {{mvar|φ}} is expressed in [[radian]]s in this article. It can increase by any integer multiple of {{math|2π}} and still give the same angle. Hence, the arg function is sometimes considered as [[Multivalued function|multivalued]]. The polar angle for the complex number 0 is indeterminate, but arbitrary choice of the angle&nbsp;0 is common.
 
The value ofВредност {{mvar|φ}} equals theје resultједнака ofрезултату [[atan2]]:
:<math>\varphi = \mbox{atan2}\left(\operatorname{Im}(z),\operatorname{Re}(z) \right).</math>
 
Заједно, {{mvar|r}} и {{mvar|φ}} дају један додатни начин приказивања комплексних бројева, ''поларни облик'', пошто комбинација модуа и аргумента у потпуности специфирају позицију тачке у равни. Оригиналне правоугаоне координате се могу извести из поларних применом формула званих ''тригонометријска форма''
Together, {{mvar|r}} and {{mvar|φ}} give another way of representing complex numbers, the ''polar form'', as the combination of modulus and argument fully specify the position of a point on the plane. Recovering the original rectangular co-ordinates from the polar form is done by the formula called ''trigonometric form''
:<math> z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ).\,</math>
 
Користећи [[Ојлерова формула|Ојлерову формулу]] ово се може записати као
Using [[Euler's formula]] this can be written as
:<math>z = r e^{i \varphi}.\,</math>
 
Користећи [[Cis (математика)|-{cis}-]] функцију, тај израс се понекад скраћује на
Using the [[Cis (mathematics)|cis]] function, this is sometimes abbreviated to
:<math> z = r \operatorname{cis} \varphi. \,</math>
 
У [[угаона нотација|угаоној нотацији]], који асе често користи у [[електроника|електроници]] за приказивање вектора са амплитудом {{mvar|r}} и фазом {{mvar|φ}}, то се може записати као<ref>{{Citation
In [[angle notation]], often used in [[electronics]] to represent a [[Phasor (sine waves)|phasor]] with amplitude {{mvar|r}} and phase {{mvar|φ}}, it is written as<ref>{{Citation
|title=Electric circuits
|chapter=Chapter 9
Линија 489 ⟶ 490:
:<math>z = r \ang \varphi . \,</math>
 
=== Множење и делењедељење у поларном облику ===
[[FileДатотека:Complex multi.svg|right|thumb|Multiplication ofМножење {{math|2 + ''i''}} (blueплави triangleтроугао) andи {{math|3 + ''i''}} (redцрвени triangleтроугао). TheЦрвени redтроугао triangleсе isротира rotatedда toсе matchпоклопи theса vertexнајвишом ofтачкиом theплавог blueи oneпрошири andсе stretched byза [[squareквадратни rootкорен ofод 5|{{sqrt|5}}]], the length of theдужину [[hypotenuseхипотенуза|хипотенузе]] of the blueплавог triangleтроугла.]]
 
Formulas for multiplication, division and exponentiation are simpler in polar form than the corresponding formulas in Cartesian coordinates. Given two complex numbers {{math|1=''z''<sub>1</sub> = ''r''<sub>1</sub>(cos φ<sub>1</sub> + ''i'' sin φ<sub>1</sub>)}} and {{math|1=''z''<sub>2</sub> = ''r''<sub>2</sub>(cos φ<sub>2</sub> + ''i'' sin φ<sub>2</sub>)}}, because of the well-known trigonometric identities
Формуле за множење, дељење и степеновање су једноставније у поларном облику него кореспондирајуће формуле у Картезијанским координатама. За два дата комплексна броја {{math|1=''z''<sub>1</sub> = ''r''<sub>1</sub>(cos φ<sub>1</sub> + ''i'' sin φ<sub>1</sub>)}} и {{math|1=''z''<sub>2</sub> = ''r''<sub>2</sub>(cos φ<sub>2</sub> + ''i'' sin φ<sub>2</sub>)}}, због добро познатих тригонометријских релација
:<math> \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b)</math>
:<math> \cos(a)\sin(b) + \sin(a)\cos(b) = \sin(a + b)</math>
 
се може извести
we may derive
 
:<math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\,</math>
 
In other words, the absolute values are multiplied and the arguments are added to yield the polar form of the product. For example, multiplying by {{math|''i''}} corresponds to a quarter-[[turn (geometry)|turn]] counter-clockwise, which gives back {{math|1=''i''<sup>2</sup> = &minus;1}}. The picture at the right illustrates the multiplication of
Другим речима, апсолутне вредности се множе а аргументи се додају чиме се добија поларни облик производа. На пример, множење са {{math|''i''}} је истоветно са заокретом за четвртину круга у смеру супротном кретању казаљки на сату, чиме се производи {{math|1=''i''<sup>2</sup> = &minus;1}}. Слика на десној страни илуструје множење
:<math>(2+i)(3+i)=5+5i. \,</math>
 
Since the real and imaginary part of {{math|5 + 5''i''}} are equal, the argument of that number is 45 degrees, or π/4 (in [[radian]]). On the other hand, it is also the sum of the angles at the origin of the red and blue triangles are [[arctan]](1/3) and arctan(1/2), respectively. Thus, the formula
Пошто су реални и имагинарни део броја {{math|5 + 5''i''}} једнаки, аргумент тог броја је 45 степени, или π/4 (у [[радијан]]има). С друге стране, то је исто тако сума углова у координатном почетку црвеног и плавог троугла, који су -{[[arctan]]}-(1/3) и -{arctan}-(1/2), респективно. Стога формула
:<math>\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} </math>
важи. Пошто се -{[[arctan]]}- функција може веома ефикасно апроксимирати, формуле попут ове &mdash;познате као формуле сличне Машиновим &mdash; се користе за апроксимације високе прецизности вредности [[pi|π]].
holds. As the [[arctan]] function can be approximated highly efficiently, formulas like this&mdash;known as [[Machin-like formulas]]&mdash;are used for high-precision approximations of [[pi|π]].
 
Слично томе, дељење је дато изразима
Similarly, division is given by
:<math>\frac{z_1}{ z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).</math>
 
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Комплексан_број”