Википедија

Логаритам — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
м Разне исправке; козметичке измене
м Бот: исправљена преусмерења
Ред 16:
Логаритам за базу {{math|10}} (где је {{math|1=''b'' = 10}}) зове се [[општи алгоритам]] и има неколико примена у науци и инжењерству. [[Природни логаритам]] има [[Број е|број {{nowrap begin}}{{math|''e''}}]] ({{math|≈ 2.718}}{{nowrap end}}) као базу; његова примена је раширена у математици и [[физика|физици]], због свог једноставнијег [[извод]]а. [[Бинарни логаритам]] користи базу {{math|2}} (где је {{math|1=''b'' = 2}}) и често се користи у [[рачунарство|рачунарству]].
 
Логаритме је увео [[Џон Непер]] почетком 17. века ради поједностављења прорачуна. Они се увелико користе од стране навигатора, научника, инжењера и осталих како би се рачунарски прорачуни извршавали много лакше, користећи [[логаритмар]] и [[Математичка табла|логаритамске таблице]]. Заморно вишецифрено множење могу заменити таблице с једноставним сабирањем због чињенице — веома важне — да је логаритамски [[производ]] заправо [[сабирање|збир]] логаритама фактора:
:<math> \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y), \,</math>
где су {{math|''b''}}, {{math|''x''}} и {{math|''y''}} сви позитивни и {{math|''b'' ≠ 1}}.
Данашњи појам логаритма долази од [[Леонард Ојлер|Леонарда Ојлера]], који је направио везу између логаритама и [[експоненцијална функција|експоненцијалне функције]] у 18. веку.
 
[[Логаритамска скала]] смањује широк спектар величина на мање простора. На примјер, [[децибел]] је [[мјерне јединице|мерна јединица]] јачине сигнала снаге лог-односа и амплитуде лог-односа (од којих је [[звучни притисак]] чест пример). У хемији, -{[[PH вредност|pH]]}- је логаритамска мера за [[киселина|киселост]] [[водени раствор|воденог раствора]]. Логаритми су уобичајени у научним [[формула]]ма, те у мерама [[Рачунарска теорија сложеностикомплексности|комплексности алгоритама]] и геометријских објеката званих [[фрактал]]и. Они описују [[Интервал (музика)|музичке интервале]], појављују се у формулама бројећи [[простипрост број|просте бројеве]], информишу неке моделе у [[психофизика|психофизици]], те могу помоћи у [[форензичко рачуноводство|форензичком рачуноводству]].
 
На исти начин како логаритам служи [[Експоненцијацијастепеновање|експоненцији]], [[комплексни логаритам]] је [[инверзна функција]] експоненцијалне функције примењене на [[комплексникомплексан број|комплексне бројеве]]. [[Дискретни логаритам]] је наредна варијанта; користи се у [[асиметрична криптографија|асиметричној криптографији]].
 
== Мотивација и дефиниција ==
Идеја логаритама је да обрну операцију [[Експоненцијацијастепеновање|експоненцијације]], то јесте, степеновање броја одређеним степеном. На пример, трећи степен (или [[коцка (алгебра)|коцка]]) од 2 јесте 8, јер је 8 производ три фактора 2:
:<math>2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8. \,</math>
То значи даје логаритам од 8 са базом 2 управо 3, тако да је -{log}-<sub>2</sub> 8 = 3.
 
=== Експоненција ===
Трећи степен неког броја -{''b''}- јесте производ три фактора од -{''b''}-. Уопштеније, степеновањем -{''b''}- на {{nowrap|-{''n''}--ти}} степен, где је -{''n''}- [[природан број|природни број]], ради се множењем -{''n''}- фактора од -{''b''}-. {{nowrap|-{''n''}--ти}} степен од -{''b''}- се пише као -{''b''<sup>''n''</sup>}-, тако да је
:<math>b^n = \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n \text{ factors}}.</math>
Експоненција се може проширити на -{''b''<sup>''y''</sup>}-, где је -{''b''}- позитивни број и ''експонент'' ''y'' је било који [[реалан број|реални број]]. На пример, -{''b''}-<sup>−1</sup> је реципрочан од -{''b''}-, то јесте, {{nowrap|1/-{''b''}-}}.
 
=== Дефиниција ===
Ред 39:
: <math>b^y = x. \, </math>
 
Логаритам је описан -{„log<sub>''b''</sub>(''x'')“}- (чита се „логаритам од ''x'' за базу -{''b''}-“. У једначини -{''y'' = log<sub>''b''</sub>(''x'')}-, вредност ''y'' је одговор на питање „На који степен мора бити -{''b''}- дигнут, да би се добио ''x''?“. Ово питање може такође бити упућено (са богатијим одговором) за [[комплексникомплексан број|комплексне бројеве]], што је показано у секцији [[#Комплексни логаритам|„Комплексни логаритам“]].
 
=== Примери ===
Ред 112:
Међу свим изборима за базу, три су посебно честа. То су -{''b''}- = 10, -{''b''}- = [[Број е|-{''e''}-]] ([[Ирационалан број|ирационална]] математичка константа ≈ 2,71828), и -{''b''}- = 2. У [[Математичка анализа|математичкој анализи]], логаритам за базу -{''e''}- је раширен због својих одређених аналитичких својстава објашњених испод. У другу руку, алгоритми с базом 10 су једноставни за корисшћење за ручне прорачуне у децималном бројном систему:<ref>{{Citation|last1=Downing|first1=Douglas|title=Algebra the Easy Way|series=Barron's Educational Series|location=Hauppauge, N.Y.|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|year=2003}}, chapter 17, pp. 275</ref>
:<math>\log_{10}(10 x) = \log_{10}(10) + \log_{10}(x) = 1 + \log_{10}(x).\ </math>
Тако, -{log}-<sub>10</sub>(''x'') је везан за број [[Декадни систем|децималних бројева]] позитивног целог броја ''x'': број бројки је најмањи [[цео број|цели број]] стриктно већи од -{log}-<sub>10</sub>(''x'').<ref>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, pp. 20</ref> На пример, -{log}-<sub>10</sub>(1430) је приближно 3,15. Следећи цели број је 4, што је број цифара од 1430. И природни логаритам и логаритам за базу 2 се користе у [[информациона теорија информације|информационој теорији]], што одговара употреби [[Нат (јединица)|нату]] или [[Бит (рачунарство)|битовима]] као основним јединицама информације, респективно.<ref>{{citation|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=9780521467605|url=https://books.google.com/books?id=tBuI_6MQTcwC&pg=PA3|pages=3}}</ref> Бинарни логаритми су такође кориштени у [[рачунарство|рачунарству]], где је [[бинарни систем|бинарни бројни систем]] свеприсутан, у [[Теорија музике|музичкој теорији]], где је однос висине тона два ([[Октава (музика)|октава]]) свеприсутан и [[Цент (музика)|цент]] је бинарни логаритам (умањен за 1200) од односа између два суседна једнако смирена тона, те у [[фотографија|фотографији]] за мерење вредности излагања.<ref>{{citation|title=The Manual of Photography |first1=Elizabeth |last1=Allen|first2=Sophie |last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis |year=2011|isbn=9780240520377|url=https://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228|pages=228}}</ref>
 
Следећа табела показује честе нотације за логаритме за ове базе и поља где се користе. Доста дисциплина пише -{log}-(''x'') уместо -{log<sub>''b''</sub>(''x'')}-, када се изабрана база може одредити из контекста. Нотација -{<sup>''b''</sup>log(''x'')}- такође се појављује.<ref>{{Citation| url=http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html |last1=Embacher|first1=Franz|author2=Petra Oberhuemer |title=Mathematisches Lexikon |publisher=mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium |accessdate=22. 3. 2011 |language= }}</ref> Колона "ISO нотација" показује препоруке од [[Међународна организација за стандардизацију|-{ISO}- организације]], (-{[[ISO 31-11]]}-).<ref>{{Citation| title = Guide for the Use of the International System of Units (SI)|first=B. N. |last=Taylor|publisher = US Department of Commerce|year=1995|url = http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec10.html#10.1.2}}</ref>
Ред 128:
| -{lb(''x'')}-<ref name="gullberg">{{Citation|title = Mathematics: from the birth of numbers.|author = Gullberg, Jan|location=New York|publisher = W. W. Norton & Co|year=1997|isbn=978-0-393-04002-9}}</ref>
| -{ld(''x''), log(''x''), lg(''x'')}-,<ref>Погледати фусноту 1 у {{cite journal|last1=Perl|first1=Yehoshua|last2=Reingold|first2=Edward M.|title=Understanding the complexity of interpolation search|journal=Information Processing Letters|date= 1977|volume=6|issue=6|doi=10.1016/0020-0190(77)90072-2|pages=219–222}}</ref> -{log2(''x'')}-
| [[рачунарство]], [[теорија информације|информациона теорија]], [[теорија музике|музичка теорија]], [[фотографија]]
|-
! scope="row"|''e''
Ред 149:
}}</ref><ref>{{Citation|title = Introduction to Financial Technology|author = Roy S. Freedman|publisher = Academic Press|location=Amsterdam|year = 2006|isbn=978-0-12-370478-8|pages=59|url = https://books.google.com/?id=APJ7QeR_XPkC&pg=PA59
}}</ref>|name=adaa|group=nb}}
| -{log(''x'')}-<br />(у математици <ref>видјети теорему 3.29 у {{cite book|last1=Rudin|first1=Walter|title=Principles of mathematical analysis|year=1984|publisher=McGraw-Hill International|location=Auckland|isbn=978-0070856134|edition=3rd |series= International student}}</ref> и више [[програмски језик|програмских језика]]{{refn|На пример [[C (programski jezik)|-{C}-]], [[Java (programski jezik)|Јава]], [[Haskel (programski jezik)|Хаскел]] и -{[[Бејсик|BASIC]]}-.|group=nb}})
| математика, физика, хемија,<br />[[статистика]], [[економија]], информациона теорија, и нека поља инжењерства
|-
Ред 210:
Да би се оправдала дефиниција логаритама, потребно је показати да једначина
:<math>b^x = y \,</math>
има решење ''x'' и да је решење јединствено, под условом да је ''y'' позитиван и да је -{''b''}- позитиван и различит од 1. Доказ овог случаја захтева теорему о средњој вредности из елементарног [[калкулусматематичка анализа|калкулуса]]а.<ref name=LangIII.3>{{Citation|last1=Lang|first1=Serge|author1-link=Serge Lang|title=Undergraduate analysis|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|isbn=978-0-387-94841-6|mr=1476913|year=1997}}, sekcija III.3</ref> Ова теорема држи да [[непрекидна функција]] која производи две вредности -{''m''}- и -{''n''}- такође производи било коју вредност која лежи између -{''m''}- и -{''n''}-. Функција је ''непрекидна'' ако не „скаче“, тј. ако се њен график може нацртати без подизања оловке.
 
Ово својство може бити показано да важи за функцију {{nowrap begin}}-{''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>}-{{nowrap end}}. Пошто -{''f''}- узима произвољно велике и произвољно мале позитивне вредности, било који број {{nowrap|''y'' > 0}} лежи између -{''f''(''x''<sub>0</sub>)}- и -{''f''(''x''<sub>1</sub>)}- за одговарајући ''x''<sub>0</sub> анд ''x''<sub>1</sub>. Стога, теорема о средњој вредности осигурава да једначина -{''f''(''x'') = ''y''}- има решење. Штавише, постоји само једно решене за ову једначину, јер је функција -{''f''}- [[монотонамонотоност функцијафункције|строго растућа]] (за {{nowrap|-{''b''}- > 1}}), или строго опадајућа (за {{nowrap|0 < -{''b''}- < 1}}).<ref name=LangIV.2>{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997|nb=yes|loc=section IV.2}}</ref>
 
Јединствено решење ''x'' је логаритам од ''y'' за базу -{''b''}-, -{log<sub>''b''</sub>(''y'')}-. Функција која додељује ''y'' свој логаритам зове се ''логаритамска функција'' или ''логаритмична функција'' (или само ''логаритам'').
Ред 218:
Функција -{log<sub>''b''</sub>(''x'')}- је у суштини окаракерисана формулом производа изнад
:<math>\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y).</math>
Прецизније, логаритам за сваку базу {{nowrap|-{''b''}- > 1}} је само [[монотоност функције|растућа функција]] -{''f''}- од позитивних реалних бројева до реалних бројева који задовољавају {{nowrap begin}}-{''f''(''b'') = 1}-{{nowrap end}} и <ref>{{cite book| title=Foundations of Modern Analysis |volume=1 |last=Dieudonné|first=Jean |year=1969|publisher=Academic Press |pages=84}} item (4.3.1)</ref>
:<math>f(xy)=f(x)+f(y).</math>
 
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Логаритам”