Википедија

Математичка анализа — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
.
Autobot (разговор | доприноси)
1.572.075 измена
м Разне исправке; козметичке измене
Ред 14:
[[Интегрални рачун]] и [[Интеграл|интеграција]] користе се за израчунавање [[површина]], [[запремина]] тела, [[дужина криве]], [[тежиште|тежишта]], [[момент инерције|момента инерције]]. Вуче корене још од [[Еудокс Книдијски|Еудокса Книдског]] (''-{Eudoxus of Cnidus}-'', 408-347. п. н. е.), грчког [[астроном]]а и [[Математика|математичара]], и његове методе „исцрпљивања“ из периода око 360. п. н. е. [[Архимед]] је у свом делу „[[Метода (Архимед)|Метода]]“ развио начин налажења површина ограничених кривама, разматрајући их подељене многобројним паралелним линијама и проширио идеју на налажење запремина неких тела. Због тога га неки називају оцем интегралног рачуна.
 
Почетком 17. века, поново се појавио интерес за мерење запремина интегралном методом.<ref name=analysis>{{citeCite book|last=Jahnke|first=Hans Niels|title=A History of Analysis|url=https://books.google.com/books?id=CVRZEXFVsZkC&pg=PR7|year=2003|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-2623-2|pagepages=7}}</ref> [[Јохан Кеплер|Кеплер]] је користио процедуре налажења запремина тела узимајући их као композицију бесконачног скупа инфинитезимално (бесконачно) малих елемената (Stereometrija doliorum, Мерење запремина буради, 1615). Ове идеје је поопштио [[Кавалијери]] (''-{Cavalieri}-'') у свом делу ''-{Geometria indivisibilibus continuorum nova}-'' (1635), у којем је употребио идеју да се површина састоји из недељивих линија, а запремина од недељивих површина. То је данас познати [[Кавалијеријев принцип]], а такође то је био и концепт Архимедове методе. [[Џон Валис]] у свом делу Бесконачна аритметика (''John Wallis, Arithmetica ifinitorum'', 1655) је аритметизовао Кавалијерове идеје. У том раздобљу су инфинитезималне методе интензивно кориштене за тражење дужина кривих и површина.
 
=== Савремена математика ===
Ред 35:
 
таква да за свако <math>x, y, z \in M</math> важи следеће:
 
# <math>d(x,y) = 0</math> [[ако и само ако]] <math>x = y</math>,
# <math>d(x,y) = d(y,x)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; (''симетрија'') и
# <math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; (''[[неједнакост троугла]]'') .
 
Полазећи од трећег својства и узимајући да је <math>z=x</math>, може се показати да је <math>d(x,y) \ge 0</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; (''не-негативно'').
 
=== Низови и лимити ===
{{Main|Низ}}
'''Низ''' је уређена листaлиста. Попут [[скуп]]а, он садржи [[Element (mathematics)|чланове]] (који се називају и ''елементи''). За разлику од скупа, друге ствари, и исти елементи могу да се појаве више пута на различитим позицијама у низу. Низ се најпрецизније може дефинисати као [[Функција (математика)|функција]] чији домен је [[Пребројив скуп|пребројив]] [[Total order|тотално уређен]] скуп, као што су [[Природан број|природни бројеви]].
 
Један од најважнијих својстава низа је ''конвергенција''. Неформално, низ конвергира ако има ''лимит''. Настављајући информално, (појединачно-бесконачно) низ има лимит ако се приближава некој тачци ''x'', званој лимит, кад -{''n''}- постане веома велико. Другим речима, за један апстрактни низ (-{''a''<sub>''n''</sub>}-) (са -{''n''}- у подразумеваном опсегу од 1 до бесконачности) растојање између -{''a''<sub>''n''</sub>}- и ''x'' се приближава 0 кад -{''n''}- → ∞, што се означава са
Линија 70 ⟶ 69:
=== Реална анализа ===
{{Main|Реална анализа}}
'''Реална анализа''' (традиционално, '''теорија функција реалних вредности''') је грана математичке анализе која се бави [[реални број|реалним бројевима]] и реално-вредносним функцијама реалних променњивих.<ref>{{cite book |last=Rudin |first=Walter |authorlink=Walter Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |series=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics |edition=3rd |publisher=McGraw–Hill |isbn=978-0-07-054235-8|pages=}}</ref><ref>{{cite book |last=Abbott |first=Stephen |title=Understanding Analysis |series=Undergraduate Texts in Mathematics |isbnid=ISBN 0-387-95060-5 |year=2001 |location=New York |publisher=Springer-Verlag}}</ref> Специфично, она се бави аналитичким својствима реалних [[функција (математика)|функција]] и [[низ]]ова, укључујући [[Гранична вредност низа|конвергенцију]] и [[Гранична вредност функције|лимите]] [[низ]]ова реалних бројева, [[калкулус]] реалних бројева, и [[Непрекидна функција|непрекидност]], [[smooth function|глаткост]] и сродна својства функција реалних вредности.
 
=== Комплексна анализа ===
{{Main|Комплексна анализа}}
 
'''Комплексна анализа''', традиционално позната као '''теорија функција комплексних променљивих''', је грана математичке анализе која истражује [[Функција (математика)|функције]] [[комплексни број|комплексних бројева]].<ref>{{cite book |last=Ahlfors |first=L. |authorlink=Lars Ahlfors |title=Complex Analysis |location=New York |publisher=McGraw-Hill |edition=3rd |year=1979 |isbnid=ISBN 0-07-000657-1 |pages= |url=https://books.google.com/books?id=2MRuus-5GGoC }}</ref> То је корисно у многим гранама математике, укључујући [[Алгебарска геометрија|алгебарску геометрију]], [[теорија бројева|теорију бројева]], [[примењена математика|примењену математику]]; као и у [[физика|физици]], укључујући [[хидродинамика|хидродинамику]], [[термодинамика|термодинамику]], [[машинство]], [[Електротехника|електротехнику]], и посебно, [[Квантна теорија поља|квантну теорију поља]].
 
Комплексном анализом се специфично обухватају [[Аналитичка функција|аналитичке функције]] комплексних променљивих (или генерално [[Мероморфна функција|мероморфне функције]]). Због тога што засебни [[реални број|реални]] и [[имагинарни број|имагинарни]] делови аналитичке функције морају да задовоље [[Лапласова једначина|Лапласову једначину]], комплексна анализа је широко применљива на дводимензионе проблеме у [[Физика|физици]].
Линија 81 ⟶ 80:
=== Функционална анализа ===
{{Main|Функционална анализа}}
'''Функционална анализа''' је грана математичке анализе, у чијој основи је изучавање [[векторски простор|векториских простора]] обогаћено неком врстом структуре везане за лимите (e.g. [[Inner product space|унутрашљи производ]], [[Norm (mathematics)|норма]], [[Тополошки простор|топологија]], etc.) и [[Линеарно пресликавање|линеарним операторима]] који делују на тим просторима поштујући ове структуре у одговарајућем смислу.<ref>{{cite book |last=Rudin |first=W. |authorlink=Walter Rudin |title=Functional Analysis |location= |publisher=McGraw-Hill Science |year=1991 |isbnid=ISBN 0-07-054236-8 |url=https://books.google.com/books?id=Sh_vAAAAMAAJ }}</ref><ref>{{cite book |last=Conway |first=J. B. |authorlink=John B. Conway |title=A Course in Functional Analysis |edition=2nd |publisher=Springer-Verlag |year=1994 |isbnid=ISBN 0-387-97245-5 |url=https://books.google.com/books?id=ix4P1e6AkeIC }}</ref> Историјски корени функционалне анализе леже у студијама [[function space|функционих простора]] и формулисању својстава трансформација функција попут [[Fourier transform|Фуријеве трансформације]], као трансформација којима се дефинишу [[Непрекидна функција|континуирани]], [[unitary operator|унитарни]] и други оператори између функцијских простора. Испоставило се да је ова тачка гледишта посебно корисна при студирању [[диференцијалне једначине|диференцијалних]] и [[Интегрална једначина|интегралних једначина]].
 
=== Диференцијалне једначине ===
{{Main|Диференцијалне једначине}}
'''Диференцијална једначина''' је [[математика|математичка]] [[једначина]] за једну непознату [[функција (математика)|функцију]] са једном или неколико [[Променљива (математика)|променљивих]] која повезује вредности саме функције и њених [[извод]]а разних [[Извод#Виши деривати|редова]].<ref>E. L. Ince, ''Ordinary Differential Equations'', Dover Publications, 1958, . {{isbnpage|year=|id=ISBN 0-486-60349-0|pages=}}</ref><ref>[[Witold Hurewicz]], ''Lectures on Ordinary Differential Equations'', Dover Publications. {{page|year=|id=ISBN 0-486-49510-8|pages=}}</ref><ref>{{Citation |authorlink=Lawrence C. Evans |first=L. C. |last=Evans|title=Partial Differential Equations |publisher=American Mathematical Society |location=Providence |year=1998|id=ISBN 0-8218-0772-2 }}</ref> Диференцијалне једначине играју проминентну улогу у [[Инжењерство|инжењерству]], [[Физика|физици]], [[Економија|економији]], [[Биологија|биологији]], и другим дисциплинама.
</ref><ref>[[Witold Hurewicz]], ''Lectures on Ordinary Differential Equations'', Dover Publications, {{isbn|0-486-49510-8}}</ref><ref>{{Citation |authorlink=Lawrence C. Evans |first=L. C. |last=Evans |title=Partial Differential Equations |publisher=American Mathematical Society |location=Providence |year=1998 |isbn=0-8218-0772-2 }}</ref> Диференцијалне једначине играју проминентну улогу у [[Инжењерство|инжењерству]], [[Физика|физици]], [[Економија|економији]], [[Биологија|биологији]], и другим дисциплинама.
 
Диференцијалне једначине се јављају у многим областима науке и технологије, специфично кад год [[Deterministic system (mathematics)|детерминистичка]] релација обухвата неке од непрекидно варирајућих квантитета (моделованих функцијама) и кад су њихове брзине промене у простору и времену (изражене у виду деривата) познате или постулиране. Ово је илустровано у [[класична механика|класичној механици]], где је кретање тела описано његовом позицијом и брзином као функција времена. [[Newton's laws of motion|Њутнови закони]] омогућавају изражавање (дате позиције, брзине, убрзања и разних сила које делују на тело) тих променљивих динамички у виду диференцијалне једначине за непознату позицију тела као функције времена. У неким случајевима, ова диференцијална једначина (звана [[Једначине кретања|једначина кретања]]) може да буде експлицитно решена.
Линија 93 ⟶ 91:
{{Main|Мера (математика)}}
 
'''Мера''' на [[скуп]]у је систематски начин додељивања броја сваком подесном [[подскуп]]у датог скупа, интуитивно интерпретирана као његова величина.<ref>[[Terence Tao]], 2011. ''An Introduction to Measure Theory''. American Mathematical Society.</ref> У том смислу, мера је генерализација концепата дужине, површине и запремине. Посебно важан пример је [[Мера Лебега|Лебегова мера]] на [[Еуклидов простор|Еуклидовом простору]], којом се додељују конвенцијалне [[дужина|дужине]], [[површина|површине]], и [[запремина|запремине]] [[Еуклидова геометрија|Еуклидове геометрије]] подесним подскуповима <math>n</math>-димензионог Еуклидовог простора <math>\mathbb{R}^n</math>. На пример, Лебегова мера [[Интервал (математика)|интервала]] <math>\left[0, 1\right]</math> у [[real line|реалним бројевима]] је њена дужина у свакодневном смислу речи – специфично, 1.
 
Технички, мера је функција која додељује ненегативни реални број или [[Extended real number line|+∞]] (извесним) подскуповима скупа <math>X</math>. Она мора да додели 0 [[empty set|празном скупу]] и да буде ([[Пребројив скуп|пребројиво]]) адитивна: мера 'великог' подскупа која се може разложити у коначни (или пребројиви) број 'мањих' раздвојених подскупова, је сума мера „мањих” подскупова. Генерално, ако се жели да се асоцира ''конзистентна'' величина са ''сваким'' подскупом датог скупа уз задовољавање других аксиома мере, могу се наћи само тривијални примери као што је пребројавајућа мера. Ова проблем је био решен путем дефинисања мере само на потколекцији свих подскупова; такозваним ''мерљивим'' потскуповима, од којих се очекује да формирају [[Sigma-algebra|<math>\sigma</math>-алгебру]]. То значи да су пребројиве [[Унија (теорија скупова)|јединице]], пребројиви [[Пресек (теорија скупова)|пресеци]] и [[complement (set theory)|комплементи]] мерљивих потскупова мерљиви. [[Non-measurable set|Немерљиви скупови]] у Еуклидовом простору, на којима се Лебегова мера не може козистентно дефинисати, су неопходно компликовани у смислу да су помешани са својим комплементом. Њихово постојање је нетривијална последица [[аксиома избора]].
Линија 99 ⟶ 97:
=== Нумеричка анализа ===
{{Main|Нумеричка анализа}}
'''Нумеричка анализа''' је студија [[алгоритам]]а који користе нумеричку [[Апроксимација|апроксимацију]] (за разлику од општих [[Симболичко рачунање|симболичких манипулација]]) за проблеме математичке анализе (што је различито од [[Дискретна математика|дискретне математике]]).<ref>{{cite book |last=Hildebrand |first=F. B. | authorlink=Francis B. Hildebrand | title=Introduction to Numerical Analysis | edition=2nd |year=1974 |publisher=McGraw-Hill |location= |isbnid=ISBN 0-07-028761-9}}</ref> Модерна нумеричка анализа не тражи прецизне одговоре, пошто је прецизне одговоре често немогуће добити у пракси. Уместо тога, највећи део нумеричке анализе се бави налажењем апроксимативних решења уз задржавање грешака у разумним границама. Нумеричка анализа природно налази примене у свим пољима инжењерства и физичких наука. У 21. веку су бројни елементи научних прорачуна нашли примену у већини природних наука, па чак и грана уметности. [[Ordinary differential equation|Обичне диференцијалне једначине]] се јављају у [[Небеска механика|небеској механици]] (изучавању планета, звезда и галаксија); [[нумеричка линеарна алгебра]] је важна за анализу података; [[стохастичка диференцијална једначина|стохастичке диференцијалне једначине]] и [[ланци Маркова]] су есенцијални у симулирању живих ћелија у медицинским и биолошким истраживањима.
 
== Референце ==
Линија 105 ⟶ 103:
 
== Литература ==
* {{Cite book |ref= harv|last=Jahnke|first=Hans Niels|title=A History of Analysis|url=https://books.google.com/books?id=CVRZEXFVsZkC&pg=PR7|year=2003|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-2623-2|pages=7}}
{{refbegin|30em}}
* ''Математичка анализа'', (Проф. Др Светозар Курепа), први дио - диференцирање и интегрирање, [[Техничка књига]], Загреб, 1975.
* ''Виша математика I'' (академик Радивоје Кашанин), четврто издање, Завод за издавање уџбеника СРБиХ, Сарајево, 1969.
* -{Aleksandrov, A. D., Kolmogorov, A. N., Lavrent'ev, M. A. (eds.). 1984. ''Mathematics, its Content, Methods, and Meaning''. 2nd ed. Translated by S. H. Gould, K. A. Hirsch and T. Bartha; translation edited by S. H. Gould. MIT Press; published in cooperation with the American Mathematical Society.}-
* {{cite book|author=-{Apostol, Tom M. 1974. ''|title=Mathematical Analysis''. |location=|publisher=2nd ed. Addison–Wesley.}- {{|year=|isbn|=978-0-201-00288-1|pages=}}.
* -{Binmore, K.G. 1980–1981. ''The foundations of analysis: a straightforward introduction''. 2 volumes. Cambridge University Press.}-
* -{Johnsonbaugh, Richard, & W. E. Pfaffenberger. 1981. ''Foundations of mathematical analysis''. New York: M. Dekker.}-
* -{Nikol'skii, S. M. 2002. [http://eom.springer.de/M/m062610.htm "Mathematical analysis"]. In [https://web.archive.org/web/20060409124718/http://eom.springer.de/default.htm ''Encyclopaedia of Mathematics''], [[Michiel Hazewinkel]] (editor). Springer-Verlag. {{isbnpage|year=2002|id=ISBN 1-4020-0609-8|pages=}}.}-
* {{cite book|author=-{Rombaldi, Jean-Étienne. 2004. ''|title=Éléments d'analyse réelle : CAPES et agrégation interne de mathématiques''. |location=|publisher=EDP Sciences.|year=|id=ISBN {{isbn|2-86883-681-X|pages=}}.}-
* {{Cite book|ref= harv|url=https://ia801508.us.archive.org/20/items/1979RudinW/RudinW.PrinciplesOfMathematicalAnalysis3e1976600Dpi.pdf|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbnid=ISBN 0-07-054235-X|edition=3rd|location=New York|pages=|quote=|via=}}
* {{Cite book|ref= harv|url=https://ia801903.us.archive.org/26/items/RudinW.RealAndComplexAnalysis3e1987/Rudin,%20W.%20Real%20and%20Complex%20Analysis,%203e,%201987.pdf|title=Real and Complex Analysis|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGraw-Hill|year=1987|isbnid=ISBN 0-07-054234-1|edition=3rd|location=New York|pages=|quote=|via=}}
* {{cite book|author=-{Smith, David E. 1958. ''|title=History of Mathematics''. |location=|publisher=Dover Publications.}- {{isbn|year=|id=ISBN 0-486-20430-8|pages=}}.
* {{cite book|author=-{[[E. T. Whittaker|Whittaker, E. T.]] and [[G. N. Watson|Watson, G. N.]]. 1927. ''|title=[[Whittaker and Watson|A Course of Modern Analysis]]''. |location=|publisher=4th edition. Cambridge University Press.}- {{isbn|year=|id=ISBN 0-521-58807-3|pages=}}.
* -{[http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/114/07/html/home/course/course.pdf Real Analysis - Course Notes]}-
{{refend}}
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Математичка_анализа”