Банахова теорема о непокретној тачки — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Нова страница: '''Банахова теорема о непокретној тачки''' (такође позната као '''теорема о контракционом прес... |
|||
Ред 2:
== Теорема ==
Нека је -{(''X'', ''d'')}- непразан [[комплетан метрички простор]]. Нека је -{''T'' : ''X'' → ''X''}- ''[[Контракција (математика)|контракција]]'' на ''-{X}-'', то јест: постоји ненегативан [[реалан број]] -{''q'' < 1}-, такав да
:<math>d(Tx,Ty) \le q\cdot d(x,y)</math>
за свако ''-{x}-'', ''-{y}-'' из ''-{X}-''. Тада пресликавање ''-{T}-'' има једну и само једну непокретну тачку -{''x''<sup>*</sup> у ''-{X}-'' (ово значи да -{''Tx''<sup>*</sup> = ''x''<sup>*</sup>}-). Штавише, та непокретна тачка може да се нађе на следећи начин: пође се од произвољног елемента -{''x''<sub>0</sub>}- из ''-{X}-'' и дефинише се [[итеративни метод|итеративни]] низ, као -{''x''<sub>''n''</sub> = ''Tx''<sub>''n''-1</sub>}- за ''-{n}-'' = 1, 2, 3, ... овај низ [[лимес (математика)|конвергира]], и лимес му је управо -{''x''<sup>*</sup>}-. Следећа неједнакост описује брзину конвергенције:
| |||