Википедија

Комплексан број — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
Autobot (разговор | доприноси)
1.572.075 измена
м datum
Autobot (разговор | доприноси)
1.572.075 измена
м Разне исправке
Ред 1:
{{друга употреба|Број (вишезначна одредница)}}
[[Датотека:Complex number illustration.svg|thumbмини|right|Комплексни број може бити визуелно представљени као пар бројева {{math|(''a'', ''b'')}} који формирају вектор на дијаграму који се назива [[Комплексна раван|Аргандов дијаграм]], чиме се представља [[комплексна раван]]. -{„Re“}- је реална оса, -{„Im“}- је имагинарна оса, и {{math|''i''}} је [[имагинарна јединица]] која задовољава {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}.]]
 
Уређени пар [[Реалан број|реалних бројева]], означен са <math>(a,b)</math>, при чему су <math>a</math> и <math>b</math> реални бројеви (<math>a,b\in\mathbb{R}</math>), назива се '''комплексан број'''.<ref>Complex Variables (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill (USA). {{page|year=|isbn=978-0-07-161569-3|pages=}}</ref><ref>{{citeCite book |title=College Algebra and Trigonometry |edition=6 |first1=Richard N. |last1=Aufmann|first2=Vernon C. |last2=Barker|first3=Richard D. |last3=Nation|publisher=Cengage Learning |year=2007|id=ISBN 0-618-82515-0 |url=https://books.google.com/?id=g5j-cT-vg_wC&pg=PA66 |chapter=Chapter P|pages=66}}</ref> (Реалан број је „прост“, док је уређени пар „сложен“, или комплексан, јер га сачињавају два броја). Скуп свих оваквих парова, односно свих комплексних бројева, означавамо са <math>\mathbb{C}</math> и он је суштински Декартов производ <math>\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}</math>. Уређени пар <math>(a,b)</math>, као комплексан број, записује се још као <math>a+bi</math>. Притом се елемент <math>i</math> назива имагинарним бројем, и има својство да је <math>i^2=-1</math>.<ref>{{cite book |title=Elementary Algebra |last=McKeague|first=Charles P. |publisher=Brooks/Cole |isbn=978-0-8400-6421-9 |year=2011|url=https://books.google.com/?id=etTbP0rItQ4C&pg=PA524|pages=524}}</ref> Имагинарни број се у физици често обележава и латиничним словом <math>j</math>.
 
У скупу комплексних бројева могуће је вршити операције [[Сабирање|сабирања]], [[Множење|множења]] и [[Дељење|дељења]] и оне се дефинишу на следећи начин:
Ред 246:
<math>z^3=r^2\ cis 2\theta * r\ cis \theta =r^3 \ cis (2\theta + \theta)= r^3 \ cis 3\theta</math>
 
<math>z^4=r^3\ cis 3\theta * r\ cis \theta =r^4 \ cis (3\theta + \theta)= r^4 \ cis 4\theta</math> <ref>[http://www.elfak.ni.ac.rs/downloads/informacije/studenti/praktikumi/kompleksni-brojevi.pdf Степеновање, 19. фебруар 2014].</ref>
 
На овај начин добијамо општи облик Де Моавровог теорема који има важну улогу у електротехници
Ред 274:
 
<math>
u_k=\sqrt[n]{r}(cos\frac{\sqrt[n]{r}}{n}+i sin \frac{\theta+2k\pi }{n})</math> za <math>k=0,1,...(n-1)</math>
 
<math>u_k= \sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi )/2} </math> za <math>k=0,1,...(n-1)</math>
 
== Квадратни корен имагинарног броја ==
Ред 370:
Комплексни бројеви се често представљају [[вектор]]има у [[комплексна раван|комплексној равни]] (слика доле). Геометријски смисао бројева <math>a,b, \rho,\phi</math> види се на [[цртеж]]у. У сабирању комплексних бројева њихови вектори се сабирају по [[правило паралелограма|правилу паралелограма]].
 
[[Датотека:Kompleksna-ravan.gif|thumbмини|right|Комплексна раван]]
 
Дужина вектора <math>\rho</math> је [[модуларна аритметика|модуо]], или модул комплексног броја, а као што се види на горњој слици, може се добити помоћу [[Питагорина теорема|Питагорине теореме]]. Модул, интензитет комплексног броја често означавамо као апсолутну вредност, тј. удаљеност броја од исходишта координатног система: <math>|z|=\rho = \sqrt{a^2+b^2}</math>.
Ред 426:
== Поларни облик ==
{{Main|Поларни координатни систем}}
[[Датотека:Complex number illustration modarg.svg|right|thumbмини|Аргумент {{mvar|φ}} и модуо {{mvar|r}} лоцирају тачку на Аргандовом дијаграму; <math>r(\cos \varphi + i \sin \varphi)</math> или <math>r e^{i\varphi}</math> су ''поларни'' изрази за тачку.]]
 
=== Апсолутна вредност и аргумент ===
Ред 446:
|publisher=PHI Learning Pvt. Ltd
|year=2005
|id=. {{page|year=|id=ISBN 81-203-2641-5|pages=}}|pages=14|url=https://books.google.com/?id=rFhiJqkrALIC&pg=PA14}}</ref>
|pages=14
|url=https://books.google.com/?id=rFhiJqkrALIC&pg=PA14}}</ref>
 
:<math>\varphi = \arg(z) =
Линија 460 ⟶ 458:
\end{cases}</math>
 
[[Датотека:visualisation_complex_number_roots.svg|thumbмини|{{{1|250px}}}|Визуализација квадратног до шестог корена комплексног броја -{''z''}-, у поларној форми <span class="nowrap">-{''re''<sup>''i&phi;''}-</sup></span> где <span class="nowrap">-{''&phi;'' = arg ''z''}-</span> и <span class="nowrap">-{''r''}- = |-{''z''}-&thinsp;|</span>{{snd}}ако је -{''z''}- реално, <span class="nowrap">-{''&phi;''}- = 0 или {{pi}}</span>. Главни корени су приказани црном бојом.]]
 
Нормално, као што је дато горе, главна вредност се разматра на интервалу {{open-closed|−π,π}}. Вредности у опсегу {{closed-open|0,2&pi;}} се добијају додавањем {{math|2&pi;}} ако је вредност негативна. Вредност {{mvar|φ}} се изражава у [[радијан]]има угла. Она може да буде повећана за целобројни умножак од {{math|2π}} и да се још увек односи на исти угао. Стога се -{arg}- функција понекад сматра [[Мултивредносна функција|мултивредносном]]. Поларни угао комплексног броја 0 је неодређен, мада се арбитрарни избор угла 0 често прави.
Линија 486 ⟶ 484:
|publisher=Prentice Hall
|year=2008
|id=. {{page|year=|id=ISBN 0-13-198925-1|pages=}}|pages=338|url=https://books.google.com/?id=sxmM8RFL99wC&pg=PA338}}</ref>
|pages=338
|url=https://books.google.com/?id=sxmM8RFL99wC&pg=PA338}}</ref>
:<math>z = r \ang \varphi . \,</math>
 
=== Множење и дељење у поларном облику ===
[[Датотека:Complex multi.svg|right|thumbмини|Множење {{math|2 + ''i''}} (плави троугао) и {{math|3 + ''i''}} (црвени троугао). Црвени троугао се ротира да се поклопи са највишом тачкиом плавог и прошири се за [[квадратни корен од 5|{{sqrt|5}}]], дужину [[хипотенуза|хипотенузе]] плавог троугла.]]
 
Формуле за множење, дељење и степеновање су једноставније у поларном облику него кореспондирајуће формуле у Картезијанским координатама. За два дата комплексна броја {{math|1=''z''<sub>1</sub> = ''r''<sub>1</sub>(cos φ<sub>1</sub> + ''i'' sin φ<sub>1</sub>)}} и {{math|1=''z''<sub>2</sub> = ''r''<sub>2</sub>(cos φ<sub>2</sub> + ''i'' sin φ<sub>2</sub>)}}, због добро познатих тригонометријских релација
Линија 523 ⟶ 519:
 
== Литература ==
* {{Cite book|title=College Algebra and Trigonometry |edition=6 |first1=Richard N. |last1=Aufmann|first2=Vernon C. |last2=Barker|first3=Richard D. |last3=Nation|publisher=Cengage Learning |year=2007|id=ISBN 0-618-82515-0 |url=https://books.google.com/?id=g5j-cT-vg_wC&pg=PA66 |chapter=Chapter P|pages=66}}
{{Refbegin|30em}}
* {{Cite book|ref= harv| ref = harv |last=Ahlfors|first=Lars |authorlink=Lars Ahlfors |title=Complex analysis |publisher=McGraw-Hill |year=1979|edition=3rd |isbn=978-0-07-000657-7}}
Линија 534 ⟶ 531:
* {{Cite book|ref= harv| ref = harv |title=An Imaginary Tale: The Story of <math>\scriptstyle\sqrt{-1}</math> |first=Paul J. |last=Nahin|publisher=Princeton University Press |id=ISBN 0-691-02795-1 |year=1998}}
* {{Cite book|ref= harv| ref = harv |author1=H.D. Ebbinghaus |last2=Hermes|first=H.|author3=F. Hirzebruch |last4=Koecher|first=M.|author5=K. Mainzer |last6=Neukirch|first=J.|author7=A. Prestel |last8=Remmert|first=R.|title=Numbers |publisher=Springer |id=ISBN 0-387-97497-0 |edition=hardcover |year=1991}}
* -{''The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe'', by [[Roger Penrose]]; Alfred A. Knopf. {{page|year=2005|id=ISBN 0-679-45443-8|pages=}} Chapters 4–7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.}-
* -{''Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra'', by John Derbyshire; Joseph Henry Press;. ISBN 0-309-09657-X (hardcover 2006). A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.}-
* -{''Visual Complex Analysis'', by [[Tristan Needham]]; Clarendon Press;. ISBN 0-19-853447-7 (hardcover, 1997). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.}-
* {{citeCite book | ref = harv |author=-{Conway, John B.|title=Functions of One Complex Variable I|location=|publisher=(Graduate Texts in Mathematics), Springer; 2 edition (12 September 2005)|year=|id=ISBN 0-387-90328-3|pages=}}}-
{{refend}}
 
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Комплексан_број”