Википедија

Површина — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
Autobot (разговор | доприноси)
1.572.075 измена
м datum
Autobot (разговор | доприноси)
1.572.075 измена
м Разне исправке
Ред 1:
[[Датотека:Area.svg|alt=Three shapes on a square grid|right|thumbмини|Укупна површина ова три облика је приближно 15,57 [[Квадрат|квадрата]].]]
 
'''Површина''' је [[геометрија|геометријски]] појам који означава меру величине геометријске слике у еуклидском дводимензионалном простору. Тачка и линија немају површину, односно њихова површина је нула. Са друге стране [[раван]] има бесконачну површину. Површина је такође и део тела у простору који је изложен спољашњости. Мерењем површина су се бавили још стари Египћани, али су га до нивоа науке подигли тек [[античка Грчка|стари Хелени]]. Код њих се површина неке геометријске слике израчунавала тако што се низом трансформација претвара у [[квадрат]] исте површине. Потом се измере странице квадрата и лако израчуна површина.<ref name="AF">{{cite web|url = http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|title = Area Formulas|publisher = Math.com|accessdate = 2. 07. 2012.}}</ref> Од тих дана је израчунавање површине добило други назив: ''квадратура''.
Ред 7:
У [[Међународни систем јединица|СИ систему]], стандардна јединица површине је [[квадратни метар]] (пише се као m<sup>2</sup>), што је површина квадрата чије су странице дуге по један [[метар]].<ref name="B">[[Међународни биро за тегове и мере|Bureau International des Poids et Mesures]] [http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/ Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)], retrieved 15 July 2012</ref> Облик са површином од три квадратна метра би имао исту површину као и три таква квадрата. У [[Математика|математици]], јединица квадрата је дефинисана да има површину од један, и површину од било којег облика или површи је [[Бездимензионална величина|бездимензиони реални број]].
 
Постоји неколико добро познатих формула за површине мањих облика као што су [[Троугао|троуглови]], [[Правоугаоник|правоугаоници]] и [[Кружница|кругови]]. Користећи ове формуле, површина сваког [[многоугао|полигона]] може се наћи дељењем полигона у троуглове.<ref name="bkos">{{Cite book |author1 = Mark de Berg|author2 = Marc van Kreveld|last3=Overmars|first3=Mark|author3-link = Mark Overmars|last4=Schwarzkopf|first4=Otfried|year=2000|title = Computational Geometry|publisher = [[Springer-Verlag]]|edition = 2nd revised|isbn=978-3-540-65620-3|chapter = Chapter 3: Polygon Triangulation|pages=45–61}}</ref> За облике са закривљеним границама, [[математичка анализа|калкулус]] се често користи да се израчуна површина. Доиста, проблем одређивања површине равних фигура био је већа мотивација за историјски развој калкулуса (математичка анализа).<ref>{{Cite book|first = Carl B.|last = Boyer|authorlink = Carl Benjamin Boyer|title = A History of the Calculus and Its Conceptual Development|publisher = Dover|year=1959|isbn=978-0-486-60509-8}}</ref>
 
За чврсти облик као што је [[сфера]], [[Купа (геометрија)|конус]] или цилиндар, површина њихових површи назива се површина површи.<ref name="MathWorld" /><ref name="MathWorldSurfaceArea">{{cite web|url = http://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html|title = Surface Area|publisher = [[Wolfram MathWorld]]|author = [[Eric W. Weisstein]]|accessdate = 3. 07. 2012.}}</ref> формуле за површине једноставних облика биле су рачунате у доба древних Грка, али рачунање површине компликованијих облика обично захтева мултиваријабилни калкулус.
 
Површина игра важну улогу у модерној математици. У додатку са очигледном важношћу у [[Геометрија|геометрији]] и калкулусу, површина је везана за дефиницију детерминанти у [[Линеарна алгебра|линеарној алгебри]], те је основна особина површи у диференцијалној геометрији.<ref name="doCarmo">[[Manfredo do Carmo|do Carmo, Manfredo]].</ref> У [[Анализа|анализи]], површина подскупа равни је дефинисана кориштењем мере Лебега,<ref name="Rudin">{{Cite bookharvnb|last=Rudin|first=Walter|title=Real and Complex Analysis|publisher=McGraw-Hill|year=1966|isbn=978-0-07-100276-9|pages=}}</ref> ипак није сваки подскуп мерљив.<ref>{{cite book|last=Folland|first=Gerald|title=Real Analysis: modern techniques and their applications|publisher=John Wiley & Sons, Inc|year=1999|isbn=978-0-471-31716-6|pagespp=20}}</ref> Генерално, површина у вишој математици види се као специјалан случај [[Запремина|запремине]] за дводимензионалне регије.<ref name="MathWorld" />
 
Површина може бити дефинисана кроз употребу аксиома, дефинишући је као функцију колекције одређених равних фигура у скуп реалних бројева. Може бити доказано да таква функција постоји.
Ред 24:
* Сваки правоугаоник -{''R''}- је у -{''M''}-. Ако правоугаоник има дужину -{''h''}- и ширину -{''k''}- тада је -{''a''(''R'') = ''hk''}-.
* Нека ''Q'' буде скуп затворен између две степ регије -{''S''}- и -{''T''}-. Степ регија је формирана од ограничене уније сусједних правоугаоника који се налазе на истој бази, нпр. -{''S'' ⊆ ''Q'' ⊆ ''T''}-. Ако постоји уникатан број -{''c''}- такав да је -{''a''(''S'') ≤ c ≤ ''a''(''T'')}- за све такве степ регије -{''S''}- и -{''T''}-, тада је -{''a''(''Q'') = ''c''}-.
Може бити доказано да таква површинска функција доиста постоји.<ref name="Moise">{{citeCite book|last = Moise|first = Edwin|title = Elementary Geometry from an Advanced Standpoint|url = http://books.google.com/?id=7nUNAQAAIAAJ|accessdate = 15. 07. 2012.|year=1963|publisher = Addison-Wesley Pub. Co.|isbn id= |page pages= }}</ref>
 
== Историја ==
Ред 30:
=== Површина круга ===
 
У 5. веку п. н. е., [[Хипократ са Хиоса]] је био први да покаже да је површина диска (региона обухваћеног кругом) пропорционална квадрату његовог пречника, као део његове [[Квадратура (математика)|квадратуре]] [[Хипокритов весец|Хипокритовог месеца]],<ref name="heath">{{cite book|first=Thomas L.|last=Heath|authorlink=Thomas Little Heath|title=A Manual of Greek Mathematics|publisher=Courier Dover Publications |year=2003|isbn=978-0-486-43231-1|url=https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|pages=121–132}}</ref> али није идентификовао [[Пропорционалност (математика)|константу пропорционалности]]. [[Еудокс]] је исто тако у 5. веку п. н. е., утврдио да је површина диска пропорционална квадрату његовог пречника.<ref>{{cite book|url=http://www.stewartcalculus.com/media/8_home.php|title=Single variable calculus early transcendentals.|last=Stewart|first=James|publisher=Brook/Cole|year=2003|isbn=978-0-534-39330-4|edition=5th.|location=Toronto ON|quote=However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a circle: <math>A= \pi r^2.</math>|pages=3}}</ref>
 
Књига -{I}- [[Еуклидови Елементи|Еуклидових ''Елемената'']] се бави једнакошћу области између дводимензионалних фигура. Математичар [[Архимед]] је користио оруђа [[Еуклидова геометрија|Еуклидове геометрије]] да покаже да је област унутар круга једнака површини [[Правоугаони троугао|правоугаоног троугла]] чија база има дужину обима круга и чија висина је једнака полупречнику круга, у својој књизи ''[[Мерење круга]]''. (Обим је -{2{{pi}}''r''}-, и површина троугла је половина базе пута висина, из чега следи да је површина диска {{pi}}-{''r''}-<sup>2</sup>.) Архимед је апроксимирао вреднсот параметра π (и стога је површина круга јединичног полупречника) путем [[Површина круга|његовог метода удвостручавања]], у коме је уписивао регуларни троугао у круг, бележио његову површину, и затим удвостручавао број страна да би добио регуларни [[Шестоугао|хексагон]], након тога је понављао удвостручавање броја страна чиме је површина полигона постајала све ближа површини круга (и исто је радио са [[Тангентални полигон|описаним полигонима]]).
 
Швајцарски научник [[Јохан Хајнрих Ламберт]] је 1761. године доказао да је [[пи|π]], однос површине круга и квадрата његовог полупречника, и да је једнака [[ирационалан број|ирационалном]] броју, што значи да није једнака количнику било која два цела броја.<ref name=Arndt>{{cite book|last=Arndt|first=Jörg |last2=Haene l|first2=Christoph |title=Pi Unleashed| publisher=Springer-Verlag|year=2006|isbn=978-3-540-66572-4 |url= https://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false |ref=harv |accessdate = 055. 066. 2013.}} English translation by Catriona and David Lischka.</ref> Године 1794. је француским математичар [[Адријен-Мари Лежандр]] доказао да је π<sup>2</sup> иранционална вредност; тиме је такође доказано да је π ирационално.<ref>{{cite book|last=Eves|first=Howard|title=An Introduction to the History of Mathematics|edition=6th|year=1990|publisher=Saunders|isbn=978-0-03-029558-4|pages=121}}</ref> Године 1882, немачки математичар [[Фердинанд фон Линдеман]] доказао да је π [[трансцендентан број|трансцендентна]] вредност (да није решење било које [[алгебарска једначина|полиномне једначине]] са рационалним коефицијентима), чиме је потврдио претпоставку [[Адријен-Мари Лежандр|Лежандра]] и Ојлера.<ref name=Arndt/>{{rp|p. 196}}
 
=== Површина троугла ===
 
[[Херон|Херон (или Херо) од Александрије]] утврдио је такозвану [[Херонова формула|Херонову формулу]] за површину троугла изражену односом његових страна, и доказ се може наћи у његовој књизи, ''Метрика'', коју је написао око 60. године. По неким изворима [[Архимед]] је знао ту формулу пар векова раније,<ref>{{cite book| author=Heath, Thomas L.
| author=Heath, Thomas L.
| title=A History of Greek Mathematics (Vol II)
| publisher=Oxford University Press
Линија 82 ⟶ 81:
 
==== Правоугаоници ====
[[Датотека:RectangleLengthWidth.svg|thumbмини|right|180px|alt=A rectangle with length and width labelled|Површина овог правоугаоника је {{mvar|lw}}.]]
Најосновнија формула површине је формула за површину [[правоугаоник]]а. Ако је дат правоугаоник са дужином {{mvar|l}} и ширином {{mvar|w}}, формула за површину је:</big><ref name=AF /><ref>{{cite web|url=http://proofwiki.org/wiki/Area_of_Parallelogram/Rectangle|title=Area of Parallelogram/Rectangle|publisher=ProofWiki.org|accessdate = 29. 5. 2016}}</ref>
 
:{{bigmath|''A'' {{=}} ''lw''}} (правоугаоник).
Површина правоугаоника је дужина помножена ширином. Као специјални случај, кад је {{math|''l'' {{=}} ''w''}} у случају квадрата, површина квадрата са дужином стране {{mvar|s}} је дата формулом:<ref name=MathWorld/><ref name=AF/><ref>{{cite web|url=http://proofwiki.org/wiki/Area_of_Square|title=Area of Square|publisher=ProofWiki.org|accessdate = 29. 055. 2016.}}</ref>
:{{bigmath|''A'' {{=}} ''s''<sup>2</sup>}} (квадрат).
 
Формула за површину правоугаоника следи директно из основних својстава површине, и понекад се узима као [[дефиниција]] или [[аксиома|аксиом]]. С друге стране, да је [[геометрија]] развијена пре [[аритметика|аритметике]], ова формула би се могла користити за дефинисање [[множење|множења]] [[реалан број|реалних бројева]].
 
[[Датотека:ParallelogramArea.svg|thumbмини|left|180px|alt=A diagram showing how a parallelogram can be re-arranged into the shape of a rectangle|Фигуре једнаке површине.]]
 
==== Дисекција, паралелограми и троуглови ====
Линија 100 ⟶ 99:
На пример, било који [[паралелограм]] се може поделити у [[четвороугао|трапезоид]] и [[правоугаони троугао]], као што је приказано на слици лево. Ако се троугао помери на другу страну трапезоида, онда је резултирајућа фируга правоугаоник. Из овога следи да је површина паралелограма једнака површини правоугаоника:<ref name=AF/>
:{{bigmath|''A'' {{=}} ''bh''}} <big> (паралелограм).</big>
[[Датотека:TriangleArea.svg|thumbмини|right|180px|alt=A parallelogram split into two equal triangles|Два једнака троугла.]]
Међутим, исти паралелограм се исто тако може пресећи дуж [[дијагонала|дијагонале]] у два [[Подударност (геометрија)|подударна]] троугла, као што је приказано на слици с десне стране. Површина сваког [[троугао|троугла]] је половина површине паралелограма:<ref name=AF/>
:<math>A = \frac{1}{2}bh</math> <big> (троугао).</big>
Линија 108 ⟶ 107:
 
==== Кругови ====
[[Датотека:CircleArea.svg|thumbмини|right|alt=A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to form a parallelogram|Круг се може поделити у [[Кружни сектор|секторе]] кои се могу реаранжирати да формирају апроксимативни [[паралелограм]].]]
{{main article|Површина круга}}
 
Формула за површину [[круг]]а (прецизније површина обухваћена кругом или површина [[круг|диска]]) базирана је на сличном методу. Полазећи од полупречника круга {{math|''r''}}, могуће је поделити круг у [[Кружни сектор|секторе]], као што је приказано на слици десно. Сваки сектор је апроксимативно троугаон по облику, и сектори се могу аранжирати тако да формирају апроксимативни паралелограм. Висина паралелограма је {{math|''r''}}, а ширина је половина [[обим]]а круга, или {{math|π''r''}}. Стога је тотална површина круга {{math|π''r''<sup>2</sup>}}:<ref name=AF/>
:{{bigmath|''A'' {{=}} π''r''<sup>2</sup>}} <big> (круг).</big>
Мада је дисекција која се користи у овој формули само приближна, грешка постаје све мања и мања како се круг дели у све мање и мање секторе. [[Гранична вредност|Лимит]] површине апроксимираног паралелограма је прецизно {{math|π''r''<sup>2</sup>}}, што је површина круга.<ref name=Surveyor>{{cite journal|last1=Braden|first1=Bart|date=September 1986|title= The Surveyor's Area Formula|journal=The College Mathematics Journal|volume=17|issue=4|publisher=|doi=10.2307/2686282|url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|accessdate = 15. 077. 2012.|pages=326–337}}</ref>
 
Овај аргумент је заправо једноставна примена идеје [[Инфинитезимални рачун|инфинитезималног рачуна]]. У античка времена, [[метод исцрпљивања]] је кориштен на сличан начин за налажење површине круга, и тај метод се сад сматра прекурзором [[Интеграл|интегралног рачуна]]. Користећи модерне методе, површина круга се може израчунати користећи [[одређени интеграл]]:
Линија 120 ⟶ 119:
==== Елипсе ====
{{main article|Елипса#Површина}}
Формула за површину обухваћену [[елипса|елипсом]] је сродна формули за круг; за елипсу са [[Велика полуоса|великом]] и [[Велика полуоса|малом]] полуосом {{math|''x''}} и {{math|''y''}} формула је:<ref name=AF /><ref>{{cite web|url=http://proofwiki.org/wiki/Area_of_Parallelogram/Rectangle|title=Area of Parallelogram/Rectangle|publisher=ProofWiki.org|accessdate = 29. 055. 2016.}}</ref>
 
:<math>A = \pi xy .</math>
Линија 126 ⟶ 125:
==== Површина тела ====
{{main article|Површина тела}}
[[Датотека:Archimedes sphere and cylinder.svg|right|thumbмини|180px|alt=A blue sphere inside a cylinder of the same height and radius|[[Архимед]] је показао да је површина [[сфера|сфере]] једнака са тачно четири површине [[круг]]а истог полупречника, и да је запремина сфере тачно 2/3 запремине [[Ваљак (геометрија)|цилиндра]] исте висине и полупречника.]]
Већина основних формула за површину тела се може добити пресецањем и поравнавањем површина. На пример, ако се бочна површина [[Ваљак (геометрија)|цилиндра]] (или било које [[Призма (геометријска фигура)|призме]]) уздужно пресече, површина се може поравнати у првоугаоник. Слично томе, ако се пресече једна страна [[Купа (геометрија)|купе]], бочна површина се може поравнати у сектор круга, и резултирајућа површина се може израчунати.
 
Линија 140 ⟶ 139:
 
==== Површина у рачуну ====
[[Датотека:Integral as region under curve.svg|left|thumbмини|280px|alt=A diagram showing the area between a given curve and the x-axis|Интеграција се може поистоветити са мерењем површине испод криве, дефинисане са -{''f''(''x'')}-, између две тачке (овде -{''a''}- и -{''b''}-).]]
[[Датотека:Areabetweentwographs.svg|thumbмини|287px|alt=A diagram showing the area between two functions|Површина између два графа се може израчунати као разлика интеграла две функције]]
 
* Површина између криве с позитивним вредностима и хоризонталне осе, мерене између две вредности -{''a''}- и -{''b''}- (-{b}- је дефинисана као већа од ове две вредности) на хоризонталној оси, је дато интегралом од -{''a''}- до -{''b''}- функције која представља криву:<ref name=MathWorld/>
:<math> A = \int_a^{b} f(x) \, dx.</math>
Линија 164 ⟶ 162:
 
==== Површина тродимензионалних фигура ====
* [[Купа (геометрија)|Купа]]:<ref name=MathWorldCone>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Cone.html|title=Cone|publisher=[[Wolfram MathWorld]]|authorlink=Eric W. Weisstein|last=Weisstein|first=Eric W.|accessdate = 6. 077. 2012.}}</ref> <math>\pi r\left(r + \sqrt{r^2 + h^2}\right)</math>, где је -{''r''}- полупречник кружне основе, и -{''h''}- је висина. Ово се исто тако може написати као <math>\pi r^2 + \pi r l </math><ref name=MathWorldCone/> или <math>\pi r (r + l) \,\!</math> где је -{''r''}- полупречник и -{''l''}- је висина нагиба купе. <math>\pi r^2 </math> је база површине, док је <math>\pi r l </math> латерална површина купе.<ref name=MathWorldCone/>
* [[коцка]]: <math>6s^2</math>, где је -{''s''}- дужина ивице.<ref name=MathWorldSurfaceArea/>
* [[Ваљак (геометрија)|цилиндар]]: <math>2\pi r(r + h)</math>, где је -{''r''}- полупречник основе и -{''h''}- је висина. ''2<math>\pi</math>r'' се такође може написати као ''<math>\pi</math> -{d}-'', где је -{''d''}- дикаметар.
Линија 234 ⟶ 232:
== Мерне јединице ==
Према [[Међународни систем јединица|СИ]] систему јединица мера, који је и код нас на снази, основна мерна јединица површине је [[Квадратни метар|''квадратни метар'']] (-{m<sup>2</sup>}-), а могу се користити и из ње изведене величине:
 
* -{1 dm<sup>2</sup>}- = 0.01 -{m}-<sup>2</sup> = 10<sup>-2</sup>m<sup>2</sup> (ретко се користи)
* -{1 cm<sup>2</sup>}- = 0.0001 -{m}-<sup>2</sup> = 10<sup>-4</sup>m<sup>2</sup> (ретко се користи)
Линија 251 ⟶ 248:
 
== Литература ==
* {{Cite book|last=Moise|first = Edwin|title = Elementary Geometry from an Advanced Standpoint|url = http://books.google.com/?id=7nUNAQAAIAAJ|accessdate = 15. 07. 2012.|year=1963|publisher = Addison-Wesley Pub. Co.|id=|pages=}}
* {{Cite book |ref= harv|last=Rudin|first=Walter|title=Real and Complex Analysis|publisher=McGraw-Hill|year=1966|isbn=978-0-07-100276-9|pages=}}
* {{Cite book|ref= harv|first = Carl B.|last = Boyer|authorlink = Carl Benjamin Boyer|title = A History of the Calculus and Its Conceptual Development|publisher = Dover|year=1959|isbn=978-0-486-60509-8}}
 
== Спољашње везе ==
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Површина”