Угао — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Разне исправке |
. |
||
Ред 1:
{{друго значење|село у општини Сјеница|[[Угао (Сјеница)]]}}
{{About|angles in geometry}}
[[Датотека:Two rays and one vertex.png|thumb|right|250п|Угао формиран од два зрака који полазе из темена.]]
[[Датотека:Ugao00001.gif|мини|250п|Пример угла, оштар угао]]
'''Угао''' је део равни оивичен са две полуправе које имају заједнички почетак.<ref>{{harvnb|Sidorov|2001}}</ref> Угао затварају две [[полуправа|полуправе]] -{''a''}- и -{''b''}- (зраци) које исходе из једне [[Тачка (геометрија)|тачке]] -{''T''}-. Полуправе које затварају угао називају се '''крацима''' угла, а тачка из које исходе је његово '''теме'''. Када краци угла чине једну праву, угао се назива испруженим или равним. Углови формирани од два зрака који леже у равни, али та раван не мора да буде [[Two-dimensional space|Еуклидска раван]]. Углови се исто тако формирају укрштањем две равни у [[Еуклидов простор|Еуклидовом и другим просторима]]. Они се називају [[Диедар|диедарским угловима]].<ref>{{cite web|title=Angle Between Two Planes |url=https://math.tutorvista.com/geometry/angle-between-two-planes.html |website=TutorVista.com |accessdate=2018-07-06}}</ref> Углови који се формирају пресецањем две криве у равни су дефинисани као углови одређени тангентним зрацима у тачци пресека. Сличне изјаве важе у простору, на пример, [[spherical angle|сферни угао]]<ref>{{citation|title=Spherical Astronomy|first=Robin Michael|last=Green|publisher=Cambridge University Press|year=1985|isbn=9780521317795|page=3|url=https://books.google.com/books?id=wOpaUFQFwTwC&pg=PA3}}.</ref> формиран помоћу две [[Велика кружница|велике кружнице]] на [[Сфера|сфери]] је диедарски угао између равни одређених великим кружницама.
''Угао'' се исто тако користи за означавање [[Мера (математика)|мере]] угла или [[Rotation (mathematics)|ротације]].<ref>{{cite news |last=Brannon |first=Rebecca M. |authorlink= |title=A review of useful theorems involving proper orthogonal matrices referenced to three-dimensional physical space. |publisher=[[Sandia National Laboratories]] |location=[[Albuquerque]] |url=http://www.mech.utah.edu/~brannon/public/rotation.pdf | year=2002}}</ref> Ова мера је однос дужине [[arc (geometry)|кружног лука]] и његовог [[Полупречник|радијуса]]. У случају геометријског угла, лук се центриран у тачци и ограничен на странама. У случају ротације, лук се центриран у средишту ротације и ограничен било којом тачком и њеним ротационим пресликавањем.
[[Еуклид]] дефинише равански угао као међусобни нагиб две линије у равни које се сусрећу, тј. не леже паралелно једна другој. Према [[Proclus|Проклу]] угао мора бити било квалитет или количина, или однос.<ref>{{cite book|first=Laurence| last=Rosan| year= 1981|title= Neoplatonism and Indian Thought (Editor: R Baine Harris)|publisher= State University of New York Press|isbn= 978-0873955461|pages=45–49}}</ref> Први концепт је користио [[Eudemus of Rhodes|Еудем]], који је посматрао угао као одступање од [[Права (линија)|праве линије]]<ref>Leonid Zhmud, ''The Origin of the History of Science in Classical Antiquity''. Berlin, Walter de Gruyter, 2006 (Trans. from Russian by A Chernoglazov)</ref><ref>Leonid Zhmud, 'Eudemus’ History of Mathematics', In the ''Rutgers University Series in the Classical Humanities''. V. 11. Ed. by I. Bodnar, W. W. Fortenbaugh. New Brunswick 2002, 263–306</ref>; други је користио [[Carpus of Antioch|Карп из Антиохија]], који је сматрао угао интервалом или простором између линија које се пресецају<ref>Michael Taunton, (2001), ''Surveying Instruments of Greece and Rome'', pages 33–34. Cambridge University Press.</ref>; док је Еуклид прихватио трећи концепт, мада су његове дефиниције правог, оштрих и тупих углова свакако квантитативне.<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>
== Типови углова ==
=== Врсте углова ===
'''Оштар угао''' је мањи од правог угла (има мање од 90 степени)
Линија 23 ⟶ 28:
и
'''Нула угао''' код којег се краци поклапају и унутрашња област је празан скуп. Нул угао је величине 0° (степени), тј. 0 (радијана).
Имена, интервали и мерне јединице су приказане у следећој табели:
{{Multiple image
|align=right
|direction=horizontal
|image1=Right angle.svg
|width1=140
|caption1=[[Right angle|Прав угао]]
|image2=Angle obtuse acute straight.svg
|width2=250
|caption2= Оштар (<var>a</var>), туп (<var>b</var>), и опружен (<var>c</var>) угао. Оштри и тупи углови су исто тако познати као коси углови.
|image3=Reflex angle.svg
|width3=100
|caption3=Рефлексни угао
}}
{|class = wikitable style="text-align:center;"
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | '''Име'''
|style = "width:3em;" | оштар
|style = "width:3em;" | прав угао
|style = "width:3em;" | туп
|style = "width:3em;" | опружени
|style = "width:3em;" | рефлекс
|style = "width:3em;" | перигон
|-
! Units !! colspan=10 | [[Интервал (математика)|Интервал]]
|-
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | '''[[Turn (geometry)|Обрта]]'''
|style = "width:3em;" | (0, {{sfrac|1|4}})
|style = "width:3em;" | {{sfrac|1|4}}
|style = "width:3em;" | ({{sfrac|1|4}}, {{sfrac|1|2}})
|style = "width:3em;" | {{sfrac|1|2}}
|style = "width:3em;" | ({{sfrac|1|2}}, 1)
|style = "width:3em;" | 1
|-
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | '''[[Радијан]]а'''
| (0, {{sfrac|1|2}}''{{pi}}'')
| {{sfrac|1|2}}''{{pi}}''
| ({{sfrac|1|2}}''{{pi}}'', ''{{pi}}'')
| ''{{pi}}''
| (''{{pi}}'', 2''{{pi}}'')
| 2''{{pi}}''
|-
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | '''[[Степен (угао)|Степени]]'''
|style = "width:3em;" | (0, 90)°
|style = "width:3em;" | 90°
|style = "width:3em;" | (90, 180)°
|style = "width:3em;" | 180°
|style = "width:3em;" | (180, 360)°
|style = "width:3em;" | 360°
|-
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | '''[[Град (математика)|Гради]]'''
|style = "width:3em;" | (0, 100)<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | 100<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | (100, 200)<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | 200<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | (200, 400)<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | 400<sup>g</sup>
|-
|}
=== Врсте парова углова ===
Линија 45 ⟶ 113:
'''Углови са нормалним крацима''' су два угла чији краци леже на нормалним правама. Ови углови ил су једнаки или су суплементни.
У Еуклидској геометрији, комплементни су оштри углови правоуглог [[троугао|троугла]].
Линија 57 ⟶ 122:
* ''' Напоредни''': 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1.
[[Датотека:unakrsni.gif|мини|десно|250п|Пример углова у пресеку
=== Особине углова ===
'''Углови са паралелним крацима''': Нека су <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> два конвексна угла неке равни са паралелним крацима.
[[Датотека:Paralelni.gif|
Тада:
# Ако су оба угла оштра, или оба тупа, они су међусобно једнаки;
# Ако је један угао оштар, а други туп, они су суплементни (тј. [[збир углова у троуглу]] је 180°)
'''Углови са нормалним крацима''': Нека су <math>pOq</math> и <math>p'Oq'</math> два конвексна угла неке равни са крацима таквим да је <math>p\perp p'</math> и <math>q\perp q'</math>.
[[Датотека:Normalni.png|
Тада:
# Ако су оба угла оштра, или оба тупа, они су међусобно једнаки;
# Ако је један угао оштар, а други туп, они су суплементни
=== Еквивалентни парови углова ===
{{рут}}
* За углове који имају исту меру (i.e. једнаку магнитуду) се каже да су ''једнаки'' или ''[[Congruence (geometry)|congruent]]''. An angle is defined by its measure and is not dependent upon the lengths of the sides of the angle (e.g. all ''right angles'' are equal in measure).
* Два угла која деле terminal sides, but differ in size by an integer multiple of a turn, are called ''coterminal angles''.
* ''Референтни угао'' је acute version of any angle determined by repeatedly subtracting or adding straight angle ({{sfrac|2}} turn, 180°, or {{math|π}} radians), to the results as necessary, until the magnitude of result is an acute angle, a value between 0 and {{sfrac|4}} turn, 90°, or {{sfrac|{{math|π}}|2}} radians. For example, an angle of 30 degrees has a reference angle of 30 degrees, and an angle of 150 degrees also has a reference angle of 30 degrees (180–150). An angle of 750 degrees has a reference angle of 30 degrees (750–720).<ref>{{cite web|url=http://www.mathwords.com/r/reference_angle.htm|title=Mathwords: Reference Angle|author=|date=|website=www.mathwords.com|accessdate=26 April 2018|deadurl=no|archiveurl=https://web.archive.org/web/20171023035017/http://www.mathwords.com/r/reference_angle.htm|archivedate=23 October 2017|df=}}</ref>
==={{anchor|adjacent}} Вертикални и суседни парови углова ===
[[Датотека:Vertical Angles.svg|thumb|150px|left|Углови A и B су пар вертикалних углова; углови C и D су пар вертикалних углова.]]
When two straight lines intersect at a point, four angles are formed. Pairwise these angles are named according to their location relative to each other.
*A pair of angles opposite each other, formed by two intersecting straight lines that form an "X"-like shape, are called ''vertical angles'' or ''opposite angles'' or ''vertically opposite angles''. They are abbreviated as ''vert. opp. ∠s''.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>
:The equality of vertically opposite angles is called the ''vertical angle theorem''. [[Eudemus of Rhodes]] attributed the proof to [[Thales|Thales of Miletus]].<ref>{{cite book|author=[[Euclid]]|title=[[Еуклидови Елементи|The Elements]], 300. п. н. е. }} Proposition I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} The proposition showed that since both of a pair of vertical angles are supplementary to both of the adjacent angles, the vertical angles are equal in measure. According to a historical Note,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} when Thales visited Egypt, he observed that whenever the Egyptians drew two intersecting lines, they would measure the vertical angles to make sure that they were equal. Thales concluded that one could prove that all vertical angles are equal if one accepted some general notions such as: all straight angles are equal, equals added to equals are equal, and equals subtracted from equals are equal.
:In the figure, assume the measure of Angle ''A'' = ''x''. When two adjacent angles form a straight line, they are supplementary. Therefore, the measure of Angle ''C'' = 180 − ''x''. Similarly, the measure of Angle ''D'' = 180 − ''x''. Both Angle ''C'' and Angle ''D'' have measures equal to 180 − ''x'' and are congruent. Since Angle ''B'' is supplementary to both Angles ''C'' and ''D'', either of these angle measures may be used to determine the measure of Angle ''B''. Using the measure of either Angle ''C'' or Angle ''D'' we find the measure of Angle ''B'' = 180 − (180 − ''x'') = 180 − 180 + ''x'' = ''x''. Therefore, both Angle ''A'' and Angle ''B'' have measures equal to ''x'' and are equal in measure.
[[Датотека:Adjacentangles.svg|right|thumb|250px|Углови -{''A''}- и -{''B''}- су суседни.]]
*''Adjacent angles'', often abbreviated as ''adj. ∠s'', are angles that share a common vertex and edge but do not share any interior points. In other words, they are angles that are side by side, or adjacent, sharing an "arm". Adjacent angles which sum to a right angle, straight angle or full angle are special and are respectively called ''complementary'', ''supplementary'' and ''explementary'' angles (see "Combine angle pairs" below).
A [[Transversal (geometry)|transversal]] is a line that intersects a pair of (often parallel) lines and is associated with ''alternate interior angles'', ''corresponding angles'', ''interior angles'', and ''exterior angles''.{{sfn|Jacobs|1974|p=255}}
=== Комбиновање парова углова ===
There are three special angle pairs which involve the summation of angles:
{{anchor|complementary angle}}
[[Датотека:Complement angle.svg|thumb|мини|лево|250px|''Комплементарни'' углови <var>a</var> и <var>b</var> (<var>b<var> је ''комплементарно'' са <var>a</var>, и <var>a</var> је комплементарно са <var>b</var>).]]
*'''Комплементарни углови''' су парови углова whose measures sum to one right angle ({{sfrac|4}} turn, 90°, or {{sfrac|{{math|π}}|2}} radians). If the two complementary angles are adjacent their non-shared sides form a right angle. In Euclidean geometry, the two acute angles in a right triangle are complementary, because the sum of internal angles of a [[triangle]] is 180 degrees, and the right angle itself accounts for ninety degrees.
:The adjective complementary is from Latin ''complementum'', associated with the verb ''complere'', "to fill up". An acute angle is "filled up" by its complement to form a right angle.
:The difference between an angle and a right angle is termed the ''complement'' of the angle.<ref name="Chisholm 1911">{{harvnb|Chisholm|1911}}</ref>
:If angles ''A'' and ''B'' are complementary, the following relationships hold:
:: <math>
\begin{align}
& \sin^2A + \sin^2B = 1 & & \cos^2A + \cos^2B = 1 \\[3pt]
& \tan A = \cot B & & \sec A = \csc B
\end{align}
</math>
:(The [[tangent]] of an angle equals the [[cotangent]] of its complement and its secant equals the [[cosecant]] of its complement.)
:The [[prefix]] "[[co (function prefix)|co-]]" in the names of some trigonometric ratios refers to the word "complementary".
[[Датотека:Angle obtuse acute straight.svg|thumb|right|250px|Углови <var>a</var> и <var>b</var> су ''суплементарни'' углови.]]
*{{anchor|Linear pair of angles|Supplementary angle}}Two angles that sum to a straight angle ({{sfrac|2}} turn, 180°, or {{math|π}} radians) се називају '''суплементарним угловима'''.
:If the two supplementary angles are [[#adjacent|adjacent]] (i.e. have a common [[vertex (geometry)|vertex]] and share just one side), their non-shared sides form a [[line (geometry)|straight line]]. Such angles are called a '''linear pair of angles'''.{{sfn|Jacobs|1974|p=97}} However, supplementary angles do not have to be on the same line, and can be separated in space. For example, adjacent angles of a [[parallelogram]] are supplementary, and opposite angles of a [[cyclic quadrilateral]] (one whose vertices all fall on a single circle) are supplementary.
:If a point P is exterior to a circle with center O, and if the [[tangent lines to circles|tangent lines]] from P touch the circle at points T and Q, then ∠TPQ and ∠TOQ are supplementary.
:The sines of supplementary angles are equal. Their cosines and tangents (unless undefined) are equal in magnitude but have opposite signs.
:In Euclidean geometry, any sum of two angles in a triangle is supplementary to the third, because the sum of internal angles of a triangle is a straight angle.
{{anchor|explementary angle}}
[[Датотека:Reflex angle.svg|thumb|лево|250px|Сума два ''експлементарна'' угла је ''комплетан'' угао.]]
* Два угла чија је сума комплетан угао (1 обртај, 360°, или 2{{math|π}} радијана) се називају '''експлементарним угловима''' или '''конјугованим угловима'''.
*:The difference between an angle and a complete angle is termed the ''explement'' of the angle or ''conjugate'' of an angle.
=== Углови полигона ===
[[Датотека:ExternalAngles.svg|thumb|250px|right|Унутрашњи и спољашњи углови.]]
* Угао који је део [[simple polygon]] is called an ''[[interior angle]]'' if it lies on the inside of that simple polygon. A simple [[concave polygon]] has at least one interior angle that is a reflex angle.
*: У [[Еуклидова геометрија|Еуклидовој геометрији]], the measures of the interior angles of a [[triangle]] add up to {{math|π}} radians, 180°, or {{sfrac|2}} turn; the measures of the interior angles of a simple [[convex polygon|convex]] [[quadrilateral]] add up to 2{{math|π}} radians, 360°, or 1 turn. In general, the measures of the interior angles of a simple convex [[polygon]] with ''n'' sides add up to (''n'' − 2){{math|π}} radians, or 180(''n'' − 2) degrees, (2''n'' − 4) right angles, or ({{sfrac|''n''|2}} − 1) turn.
* Допуна унутрашњег угла се назива ''[[exterior angle]]'', that is, an interior angle and an exterior angle form a [[#Linear pair of angles|linear pair of angles]]. There are two exterior angles at each vertex of the polygon, each determined by extending one of the two sides of the polygon that meet at the vertex; these two angles are vertical angles and hence are equal. An exterior angle measures the amount of rotation one has to make at a vertex to trace out the polygon.{{sfn|Henderson|Taimina|2005|p=104}} If the corresponding interior angle is a reflex angle, the exterior angle should be considered [[Negative number|negative]]. Even in a non-simple polygon it may be possible to define the exterior angle, but one will have to pick an [[orientation (mathematics)|orientation]] of the [[plane (mathematics)|plane]] (or [[surface (mathematics)|surface]]) to decide the sign of the exterior angle measure.
*: У Еуклидовој геометрији, the sum of the exterior angles of a simple convex polygon will be one full turn (360°). The exterior angle here could be called a ''supplementary exterior angle''. Exterior angles are commonly used in [[Лого (програмски језик)|Лого графици корњаче]] приликом цртања регуларних полигона.
* У [[троугао|троуглу]], [[bisection|bisectors]] of two exterior angles and the bisector of the other interior angle are [[concurrent lines|concurrent]] (meet at a single point).<ref name=Johnson>Johnson, Roger A. ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publications, 2007.</ref>{{rp|p. 149}}
* У троуглу, three intersection points, each of an external angle bisector with the opposite [[extended side]], are [[collinearity|collinear]].<ref name=Johnson/>{{rp|p. 149}}
* У троуглу, three intersection points, two of them between an interior angle bisector and the opposite side, and the third between the other exterior angle bisector and the opposite side extended, are collinear.<ref name=Johnson/>{{rp|p. 149}}
* Неки аутори користе назив ''exterior angle'' of a simple polygon to simply mean the ''explement exterior angle'' (''not'' supplement!) of the interior angle.<ref>{{citation|editor=D. Zwillinger|title=CRC Standard Mathematical Tables and Formulae|place=Boca Raton, FL|publisher=CRC Press|year=1995|page= 270}} as cited in {{MathWorld |urlname=ExteriorAngle |title=Exterior Angle}}</ref> This conflicts with the above usage.
== Мерење угла ==
Мера угла је величина отклона између кракова угла. Ради мерења угла се користи круг чији је центар у темену угла. С обзиром да је обим круга сразмеран полупречнику то је и мера угла независна од величине полупречника. Последица чињенице да је величина угла однос две дужине је да је јединица величине угла бездимензиона.
* Број који се добије као количник дужине лука кружнице и полупречника се назива '''радијан'''. У међународном систему мера '''радијан''' је изведена јединица. Иако је бездимензиона, ознака постоји и пише се '''rad'''.
Линија 86 ⟶ 215:
:<math>\frac{\pi}{2} \mbox{rad} = 90^o</math>, пи пола радијана је 90 степени
:<math>1\, \mbox{rad} = \frac {180^o} {\pi} \approx 57^o 17' 45'' \,</math>, један радијан је 180 кроз пи степени, или приближно 57 степени, 17 минута и 45 секунди
== Еуклидове дефиниције ==
Линија 112 ⟶ 240:
* {{cite book|last=Wong|first=Tak-wah |last2=Wong|first2=Ming-sim |year=2009|chapter=Angles in Intersecting and Parallel Lines |title=New Century Mathematics |location=Hong Kong |publisher=Oxford University Press |edition=1 |volume=1B |isbn=978-0-19-800177-5|pages=161–163}}
* {{EB1911 |wstitle=Angle |volume=2 |mode=cs2|pages=14}}
*{{cite book | last = Ball | first = W.W. Rouse | authorlink = W. W. Rouse Ball | title = A Short Account of the History of Mathematics | origyear = | url = | edition = 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] | year = 1960 | publisher = Dover Publications | location = New York | isbn = 0-486-20630-0 | pages = 50–62 }}
*{{cite book | last = Coxeter | first = H.S.M. | authorlink = H.S.M. Coxeter| title = Introduction to Geometry | year = 1961 | publisher = Wiley | location = New York}}
*{{cite book|first=Howard|last= Eves|title=A Survey of Geometry (Volume One)|publisher=Allyn and Bacon|year=1963}}
*{{cite book|author=Misner, Thorne, and Wheeler|title=Gravitation|publisher = W.H. Freeman|year= 1973}}
*{{cite book|author=Mlodinow|title=Euclid's Window|publisher = The Free Press|year= 2001}}
*{{cite book|author1=Nagel, E. |author2=Newman, J.R.|title=Gödel's Proof|publisher = New York University Press|year= 1958}}
*[[Alfred Tarski]] (1951) ''A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry''. Univ. of California Press.
* Artmann, Benno (1999). ''Euclid: The Creation of Mathematics''. New York: Springer. {{ISBN|0-387-98423-2}}.
* {{cite book|first=Carl B.|last=Boyer|authorlink=Carl Benjamin Boyer|title=A History of Mathematics|edition=2nd| publisher=John Wiley & Sons, Inc.| year=1991|isbn=0-471-54397-7}}
* {{cite web |url=http://www.mathopenref.com/euclid.html |title=Euclid |first=Charlene |last=Douglass |editor=Page, John D. |date=2007 |work=[[Math Open Reference]] }}
* {{cite book|last=Heath |first=Thomas L. |date=1908 |chapter-url=http://perseus.mpiwg-berlin.mpg.de/cgi-bin/ptext?lookup=Euc.+1 |chapter=Euclid and the Traditions About Him |title=''Euclid, ''Elements |editor-first=Thomas L. |editor-last=Heath |volume=1 |pages=1–6}}
* Heath, Thomas L. (1981). ''A History of Greek Mathematics'', 2 Vols. New York: Dover Publications. {{ISBN|0-486-24073-8}} / {{ISBN|0-486-24074-6}}.
* [[Morris Kline|Kline, Morris]] (1980). ''Mathematics: The Loss of Certainty''. Oxford: Oxford University Press. {{ISBN|0-19-502754-X}}.
* {{MacTutor Biography|id=Euclid|title=Euclid of Alexandria}}
* {{MacTutor Biography|id=Euclid|title=Theon of Alexandria}}
* [[Proclus]], ''A commentary on the First Book of Euclid's Elements'', translated by Glenn Raymond Morrow, Princeton University Press, 1992. {{ISBN|978-0-691-02090-7}}.
* {{cite book|first=Dirk J.|last=Struik|authorlink=Dirk Jan Struik|title=A Concise History of Mathematics| year=1967| publisher=Dover Publications | isbn=0-486-60255-9}}
* {{cite web|title=Euclid|url= http://www.britannica.com/EBchecked/topic/194880/Euclid |accessdate=November 21, 2014| date=October 30, 2014
|work=[[Encyclopædia Britannica]] |first1=Bartel Leendert |last1=Van der Waerden |authorlink1=Bartel Leendert van der Waerden |first2=Christian Marinus |last2=Taisbak}}
* {{cite book|last=DeLacy|first=Estelle Allen|title=Euclid and Geometry|year=1963|publisher=Franklin Watts|location=New York}}
* {{cite book|last=Knorr|first=Wilbur Richard|title=The Evolution of the Euclidean Elements: A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and Its Significance for Early Greek Geometry|year=1975|publisher=D. Reidel|location=Dordrecht, Holland|isbn=90-277-0509-7}}
* {{cite book|last=Mueller|first=Ian|title=Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements|year=1981|publisher=MIT Press|location=Cambridge, MA|isbn=0-262-13163-3}}
* {{cite book|last=Reid|first=Constance|title=A Long Way from Euclid|year=1963|publisher=Crowell|location=New York}}
* {{cite book|last=Szabó|first=Árpád|title=The Beginnings of Greek Mathematics|year=1978|publisher=D. Reidel|location=Dordrecht, Holland|isbn=90-277-0819-3|others=A.M. Ungar, trans}}
{{refend}}
| |||