Угао — разлика између измена

'''Угао''' је део равни оивичен са две полуправе које имају заједнички почетак.<ref>{{harvnb|Sidorov|2001}}</ref> Угао затварају две [[полуправа|полуправе]] -{''a''}- и -{''b''}- (зраци) које исходе из једне [[Тачка (геометрија)|тачке]] -{''T''}-. Полуправе које затварају угао називају се '''крацима''' угла, а тачка из које исходе је његово '''теме'''. Када краци угла чине једну праву, угао се назива испруженим или равним. Углови формирани од два зрака који леже у равни, али та раван не мора да буде [[Two-dimensional space|Еуклидска раван]]. Углови се исто тако формирају укрштањем две равни у [[Еуклидов простор|Еуклидовом и другим просторима]]. Они се називају [[Диедар|диедарским угловима]].<ref>{{cite web|title=Angle Between Two Planes |url=https://math.tutorvista.com/geometry/angle-between-two-planes.html |website=TutorVista.com |accessdate=2018-07-06. 07. 2018}}</ref> Углови који се формирају пресецањем две криве у равни су дефинисани као углови одређени тангентним зрацима у тачци пресека. Сличне изјаве важе у простору, на пример, [[spherical angle|сферни угао]]<ref>{{citation|title=Spherical Astronomy|first=Robin Michael|last=Green|publisher=Cambridge University Press|year=1985|isbn=9780521317795|page=3|url=https://books.google.com/books?id=wOpaUFQFwTwC&pg=PA3}}.</ref> формиран помоћу две [[Велика кружница|велике кружнице]] на [[Сфера|сфери]] је диедарски угао између равни одређених великим кружницама.

''Угао'' се исто тако користи за означавање [[Мера (математика)|мере]] угла или [[Rotation (mathematics)|ротације]].<ref>{{cite news |last=Brannon |first=Rebecca M. |authorlink= |title=A review of useful theorems involving proper orthogonal matrices referenced to three-dimensional physical space. |publisher=[[Sandia National Laboratories]] |location=[[Albuquerque]] |url=http://www.mech.utah.edu/~brannon/public/rotation.pdf | year=2002}}</ref> Ова мера је однос дужине [[arc (geometry)|кружног лука]] и његовог [[Полупречник|радијуса]]. У случају геометријског угла, лук се центриран у тачци и ограничен на странама. У случају ротације, лук се центриран у средишту ротације и ограничен било којом тачком и њеним ротационим пресликавањем.

[[Еуклид]] дефинише равански угао као међусобни нагиб две линије у равни које се сусрећу, тј. не леже паралелно једна другој. Према [[Proclus|Проклу]] угао мора бити било квалитет или количина, или однос.<ref>{{cite book|first=Laurence| last=Rosan| year= 1981|title= Neoplatonism and Indian Thought (Editor: R Baine Harris)|publisher= State University of New York Press|isbn= 978-0873955461|pages=45–4945-49}}</ref> Први концепт је користио [[Eudemus of Rhodes|Еудем]], који је посматрао угао као одступање од [[Права (линија)|праве линије]]<ref>Leonid Zhmud, ''The Origin of the History of Science in Classical Antiquity''. Berlin, Walter de Gruyter, 2006 (Trans. from Russian by A Chernoglazov)</ref><ref>Leonid Zhmud, 'Eudemus’ History of Mathematics', In the ''Rutgers University Series in the Classical Humanities''. V. 11. Ed. by I. Bodnar, W. W. Fortenbaugh. New Brunswick 2002, 263–306</ref>; други је користио [[Carpus of Antioch|Карп из Антиохија]], који је сматрао угао интервалом или простором између линија које се пресецају<ref>Michael Taunton, (2001), ''Surveying Instruments of Greece and Rome'', pages 33–34. Cambridge University Press.</ref>; док је Еуклид прихватио трећи концепт, мада су његове дефиниције правог, оштрих и тупих углова свакако квантитативне.<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>

* ''Референтни угао'' је оштра верзија било ког угла одређеног понављеним одузимањем или додавањем равног угла ({{sfrac|2}} заокрета, 180°, или {{math|π}} радијана), до резултата по потреби, све док величина резултата није оштар угао, вредност између 0 и {{sfrac|4}} заокрета, 90°, или {{sfrac|{{math|π}}|2}} радијана. На пример, угао од 30 степени има референтни угао од 30 степени, и угао од 150 степени исто тако има референтни угао од 30 степени (180–150). Угао од 750 степени има референтни угао од 30 степени (750–720).<ref>{{cite web|url=http://www.mathwords.com/r/reference_angle.htm|title=Mathwords: Reference Angle|author=|date=|website=www.mathwords.com|accessdate=26. April04. 2018|deadurl=no|archiveurl=https://web.archive.org/web/20171023035017/http://www.mathwords.com/r/reference_angle.htm|archivedate=23. October10. 2017|df=.}}</ref>

=== {{anchor|adjacent}} Вертикални и суседни парови углова ===

* '''Комплементарни углови''' су парови углова чија сума је прав угао ({{sfrac|4}} заокрета, 90°, или {{sfrac|{{math|π}}|2}} радијана). Ако су два компементарна угла суседна њихове стране које нису заједничке формирају прав угао. У Еуклидској геометрији, два оштра угла у правоуглом троуглу су комплементарна, јер је сума унутрашњих углова [[троугао|троугла]] 180 степени, а сам прав угао има деведесет степени.

* {{anchor|Linear pair of angles|Supplementary angle}}Два угла чији збир је испружен угао ({{sfrac|2}} заорета, 180°, или {{math|π}} радијана) се називају '''суплементарним угловима'''.

*: Разлика између угла и комплетног угла се назива ''експлементом'' угла или ''конјугатом'' угла.

* {{citeCite book|ref=harv|last=Henderson|first=David W. |last2=Taimina|first2=Daina |year=2005|title=Experiencing Geometry / Euclidean and Non-Euclidean with History |edition=3rd |publisher=Pearson Prentice Hall |isbn=9780131437487|pages=104}}

* {{Cite book|ref= harv| |last=Jacobs|first=Harold R. |year=1974|title=Geometry|publisher=W.H. Freeman|isbn=978-0-7167-0456-0|pages=97,255}}

* {{citation |last=Slocum|first=Jonathan|year=2007|url=http://www.utexas.edu/cola/centers/lrc/ielex/X/P0089.html |title=Preliminary Indo-European lexicon — Pokorny PIE data |accessdate = 202. 2. 2010|publisher=[[Linguistics Research Center at UT Austin|University of Texas research department: linguistics research center]]}}

* {{citation |last=Shute|first=William G. |last2=Shirk|first2=William W. |last3=Porter|first3=George F. |year=1960|title=Plane and Solid Geometry |publisher=American Book Company |pages=25–2725-27}}

* {{citeCite book|ref=harv|last=Wong|first=Tak-wah |last2=Wong|first2=Ming-sim |year=2009|chapter=Angles in Intersecting and Parallel Lines |title=New Century Mathematics |location=Hong Kong |publisher=Oxford University Press |edition=1 |volume=1B |isbn=978-0-19-800177-5|pages=161–163161-163}}

* {{cite book | last = Ball | first = W.W. Rouse | authorlink = W. W. Rouse Ball | title = A Short Account of the History of Mathematics | origyear = | url = | edition = 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] | year = 1960 | publisher = Dover Publications | location = New York | isbn id=ISBN 0-486-20630-0 | pages = 50–62 }}

* {{cite book | last = Coxeter | first = H.S.M. | authorlink = H.S.M. Coxeter| title = Introduction to Geometry | year = 1961 | publisher = Wiley | location = New York}}

* {{cite book|first=Howard|last= Eves|title=A Survey of Geometry (Volume One)|publisher=Allyn and Bacon|year=1963}}

* {{cite book|author=Misner, Thorne, and Wheeler|title=Gravitation|publisher = W.H. Freeman|year= 1973}}

* {{cite book|author=Mlodinow|title=Euclid's Window|publisher = The Free Press|year= 2001}}

* {{cite book|author1author=Nagel, E. |author2=Newman, J.R.|title=Gödel's Proof|publisher = New York University Press|year= 1958}}

* [[Alfred Tarski]] (1951) ''A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry''. Univ. of California Press.

* Artmann, Benno (1999). ''Euclid: The Creation of Mathematics''. New York: Springer. {{ISBNpage|year=|id=ISBN 0-387-98423-2|pages=}}.

* {{citeCite book|ref=harv|first=Carl B.|last=Boyer|authorlink=Carl Benjamin Boyer|title=A History of Mathematics|edition=2nd| publisher=John Wiley & Sons, Inc.| year=1991|isbnid=ISBN 0-471-54397-7}}

* {{cite web |url=http://www.mathopenref.com/euclid.html |title=Euclid |first=Charlene |last=Douglass |editor=Page, John D. |dateyear=2007 |work=[[Math Open Reference]] }}

* {{citeCite book|ref=harv|last=Heath |first=Thomas L. |dateyear=1908 |chapter-url=http://perseus.mpiwg-berlin.mpg.de/cgi-bin/ptext?lookup=Euc.+1 |chapter=Euclid and the Traditions About Him |title=''Euclid, ''Elements |editor-first=Thomas L. |editor-last=Heath |volume=1 |pages=1–61-6}}

* Heath, Thomas L. (1981). ''A History of Greek Mathematics'', 2 Vols. New York: Dover Publications. {{ISBNpage|year=|id=ISBN 0-486-24073-8|pages=}} / {{ISBNpage|year=|id=ISBN 0-486-24074-6|pages=}}.

* [[Morris Kline|Kline, Morris]] (1980). ''Mathematics: The Loss of Certainty''. Oxford: Oxford University Press. {{ISBNpage|year=|id=ISBN 0-19-502754-X|pages=}}.

* [[Proclus]], ''A commentary on the First Book of Euclid's Elements'', translated by Glenn Raymond Morrow, Princeton University Press, 1992. {{ISBNpage|year=|isbn=978-0-691-02090-7|pages=}}.

* {{citeCite book|ref=harv|first=Dirk J.|last=Struik|authorlink=Dirk Jan Struik|title=A Concise History of Mathematics| year=1967| publisher=Dover Publications | isbnid=ISBN 0-486-60255-9}}

* {{cite web|title=Euclid|url= http://www.britannica.com/EBchecked/topic/194880/Euclid |accessdate=November 21,. 11. 2014| date=October30. 30,10. 2014

|work=[[Encyclopædia Britannica]] |first1first=Bartel Leendert |last1last=Van der Waerden |authorlink1authorlink=Bartel Leendert van der Waerden |first2=Christian Marinus |last2=Taisbak}}

* {{citeCite book|ref=harv|last=DeLacy|first=Estelle Allen|title=Euclid and Geometry|year=1963|publisher=Franklin Watts|location=New York}}

* {{citeCite book|ref=harv|last=Knorr|first=Wilbur Richard|title=The Evolution of the Euclidean Elements: A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and Its Significance for Early Greek Geometry|year=1975|publisher=D. Reidel|location=Dordrecht, Holland|isbnid=ISBN 90-277-0509-7}}

* {{citeCite book|ref=harv|last=Mueller|first=Ian|title=Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements|year=1981|publisher=MIT Press|location=Cambridge, MA|isbnid=ISBN 0-262-13163-3}}

* {{citeCite book|ref=harv|last=Reid|first=Constance|title=A Long Way from Euclid|year=1963|publisher=Crowell|location=New York}}

* {{citeCite book|ref=harv|last=Szabó|first=Árpád|title=The Beginnings of Greek Mathematics|year=1978|publisher=D. Reidel|location=Dordrecht, Holland|isbnid=ISBN 90-277-0819-3|others=A.M. Ungar, trans}}