Површина — разлика између измена

[[Датотека:Area.svg| alt = Three shapes on a square grid|right|мини|Укупна површина ова три облика је приближно 15,57 [[Квадрат|квадрата]].]]

 

 

 

 

 

 

Површина игра важну улогу у модерној математици. У додатку са очигледном важношћу у [[Геометрија|геометрији]] и калкулусу, површина је везана за дефиницију детерминанти у [[Линеарна алгебра|линеарној алгебри]], те је основна особина површи у диференцијалној геометрији.<ref name="doCarmo">[[Manfredo do Carmo|do Carmo, Manfredo]].</ref> У [[Анализа|анализи]], површина подскупа равни је дефинисана кориштењем мере Лебега,<ref name="Rudin">{{harvnb|Rudin|1966|p=20}}</ref> Генерално, површина у вишој математици види се као специјалан случај [[Запремина|запремине]] за дводимензионалне регије.<ref name="MathWorld" />

* Нека ''Q'' буде скуп затворен између две степ регије -{''S''}- и -{''T''}-. Степ регија је формирана од ограничене уније сусједних правоугаоника који се налазе на истој бази, нпр. -{''S'' ⊆ ''Q'' ⊆ ''T''}-. Ако постоји уникатан број -{''c''}- такав да је -{''a''(''S'') ≤ c ≤ ''a''(''T'')}- за све такве степ регије -{''S''}- и -{''T''}-, тада је -{''a''(''Q'') = ''c''}-.

 

 

== Историја ==

=== Површина круга ===

 

 

Књига -{I}- [[Еуклидови Елементи|Еуклидових ''Елемената'']] се бави једнакошћу области између дводимензионалних фигура. Математичар [[Архимед]] је користио оруђа [[Еуклидова геометрија|Еуклидове геометрије]] да покаже да је област унутар круга једнака површини [[Правоугаони троугао|правоугаоног троугла]] чија база има дужину обима круга и чија висина је једнака полупречнику круга, у својој књизи ''[[Мерење круга]]''. (Обим је -{2{{pi}}''r''}-, и површина троугла је половина базе пута висина, из чега следи да је површина диска {{pi}}-{''r''}-².) Архимед је апроксимирао вреднсот параметра π (и стога је површина круга јединичног полупречника) путем [[Површина круга|његовог метода удвостручавања]], у коме је уписивао регуларни троугао у круг, бележио његову површину, и затим удвостручавао број страна да би добио регуларни [[Шестоугао|хексагон]], након тога је понављао удвостручавање броја страна чиме је површина полигона постајала све ближа површини круга (и исто је радио са [[Тангентални полигон|описаним полигонима]]).

 

 

=== Површина троугла ===

 

 

Године 499. [[Aryabhata|Аријабхата]], велики [[математичар]]-[[астроном]] из класичног доба [[Индијска математика|индијске математике]] и [[Индијска астрономија|индијске астрономије]], изразио је површину троугла као једну половину базе помножену висином у свом раду -{''[[Aryabhatiya]]''}- (секција 2.6).

| last = Bourke

| first = Paul

}}</ref>

 

 

==== Правоугаоници ====

 

:{{bigmath|''A'' {{=}} ''lw''}} (правоугаоник).

 

:{{bigmath|''A'' {{=}} ''s''²}} (квадрат).

 

Формула за површину правоугаоника следи директно из основних својстава површине, и понекад се узима као [[дефиниција]] или [[аксиома|аксиом]]. С друге стране, да је [[геометрија]] развијена пре [[аритметика|аритметике]], ова формула би се могла користити за дефинисање [[множење|множења]] [[реалан број|реалних бројева]].

 

 

==== Дисекција, паралелограми и троуглови ====

На пример, било који [[паралелограм]] се може поделити у [[четвороугао|трапезоид]] и [[правоугаони троугао]], као што је приказано на слици лево. Ако се троугао помери на другу страну трапезоида, онда је резултирајућа фируга правоугаоник. Из овога следи да је површина паралелограма једнака површини правоугаоника:<ref name=AF/>

:{{bigmath|''A'' {{=}} ''bh''}} <big> (паралелограм).</big>

Међутим, исти паралелограм се исто тако може пресећи дуж [[дијагонала|дијагонале]] у два [[Подударност (геометрија)|подударна]] троугла, као што је приказано на слици с десне стране. Површина сваког [[троугао|троугла]] је половина површине паралелограма:<ref name=AF/>

:<math>A = \frac{1}{2}bh</math> <big> (троугао).</big>

 

=== Површина закривљених облика ===

Формула за површину [[круг]]а (прецизније површина обухваћена кругом или површина [[круг|диска]]) базирана је на сличном методу. Полазећи од полупречника круга {{math|''r''}}, могуће је поделити круг у [[Кружни сектор|секторе]], као што је приказано на слици десно. Сваки сектор је апроксимативно троугаон по облику, и сектори се могу аранжирати тако да формирају апроксимативни паралелограм. Висина паралелограма је {{math|''r''}}, а ширина је половина [[обим]]а круга, или {{math|π''r''}}. Стога је тотална површина круга {{math|π''r''²}}:<ref name=AF/>

:{{bigmath|''A'' {{=}} π''r''²}} <big> (круг).</big>

 

Овај аргумент је заправо једноставна примена идеје [[Инфинитезимални рачун|инфинитезималног рачуна]]. У античка времена, [[метод исцрпљивања]] је кориштен на сличан начин за налажење површине круга, и тај метод се сад сматра прекурзором [[Интеграл|интегралног рачуна]]. Користећи модерне методе, површина круга се може израчунати користећи [[одређени интеграл]]:

==== Површина тела ====

{{main article|Површина тела}}

Већина основних формула за површину тела се може добити пресецањем и поравнавањем површина. На пример, ако се бочна површина [[Ваљак (геометрија)|цилиндра]] (или било које [[Призма (геометријска фигура)|призме]]) уздужно пресече, површина се може поравнати у првоугаоник. Слично томе, ако се пресече једна страна [[Купа (геометрија)|купе]], бочна површина се може поравнати у сектор круга, и резултирајућа површина се може израчунати.

 

==== Површине дводимензионалних фигура ====

* [[Троугао]]: <math>\tfrac12Bh</math> (где је -{''B''}- било која страна, и -{''h''}- је растојање од линије на којој -{''B''}- лежи до другог темена троугла). Ова формула се може користити ако је висина -{''h''}- позната. Ако су познате дужине три стране онда се може користити ''[[Херонова формула]]'': <math>\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> где су -{''a''}-, -{''b''}-, -{''c''}- стране троугла, и <math>s = \tfrac12(a + b + c)</math> је половина његовог обима.<ref name=AF/> Ако су један угао и две стране дате, површина је <math>\tfrac12 a b \sin(C)</math> где је {{math|''C''}} дати угао и {{math|''a''}} и {{math|''b''}} су стране.<ref name=AF/> Ако је троугао приказан на координатној равни, може се користити матрица која се поједностављује апсолутном вредношћу израза <math>\tfrac12(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - x_1 y_3)</math>. Ова формула је позната као [[формула пертле]] и то је један једноставан начин израчунавања површине троугла заменом координата три тачке ''(x₁, y₁)'', ''(x₂, y₂)'', и ''(x₃, y₃)''. Формула пертле се исто тако може користити за налажење површине других полигона кад су њигова темена позната. Још један приступ налажењу површине координатног троугла је путем [[математичка анализа|калкулуса]].

 

==== Површина у рачуну ====

* Површина између криве с позитивним вредностима и хоризонталне осе, мерене између две вредности -{''a''}- и -{''b''}- (-{b}- је дефинисана као већа од ове две вредности) на хоризонталној оси, је дато интегралом од -{''a''}- до -{''b''}- функције која представља криву:<ref name=MathWorld/>

:<math> A = \int_a^{b} f(x) \, dx.</math>

:<math>A = {1 \over 2} \int r^2 \, d\theta. </math>

* Област обухваћена [[Параметарска једначина|параметарском кривом]] <math>\vec u(t) = (x(t), y(t)) </math> са крајњим тачкама <math> \vec u(t_0) = \vec u(t_1) </math> је дата [[Криволинијски интеграл|линијским интегралом]]:

(погледајте [[Гринова теорема|Гринову теорему]]) или -{''z''}--компоненту од

:<math>{1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} \vec u \times \dot{\vec u} \, dt.</math>

где је -{''f''(''x'')}- квадратна горња граница и -{''g''(''x'')}- је квадратна доња граница. [[Дискриминанта]] -{''f''(''x'')-''g''(''x'')}- се дефинише као

:<math>\Delta=b^2-4ac.</math>

:<math>A=\frac{\Delta\sqrt{\Delta}}{6a^2}=\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3,\qquad a\neq0.</math>

Ово остаје валидно ако је једна од функција линеарна.

 

==== Површина тродимензионалних фигура ====

* [[коцка]]: <math>6s^2</math>, где је -{''s''}- дужина ивице.<ref name=MathWorldSurfaceArea/>

* [[Ваљак (геометрија)|цилиндар]]: <math>2\pi r(r + h)</math>, где је -{''r''}- полупречник основе и -{''h''}- је висина. ''2<math>\pi</math>r'' се такође може написати као ''<math>\pi</math> -{d}-'', где је -{''d''}- дикаметар.

 

== Мерне јединице ==

 

За мерење површине терена користе се веће мере:

 

== Види још ==

 

== Литература ==

 

== Спољашње везе ==