Википедија

Комплексан број — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
м pravljenje sablona Cite book; козметичке измене
Ред 1:
{{друга употреба|Број (вишезначна одредница)}}
[[Датотека:Complex number illustration.svg|мини|rightдесно|Комплексни број може бити визуелно представљени као пар бројева {{math|(''a'', ''b'')}} који формирају вектор на дијаграму који се назива [[Комплексна раван|Аргандов дијаграм]], чиме се представља [[комплексна раван]]. -{„Re“}- је реална оса, -{„Im“}- је имагинарна оса, и {{math|''i''}} је [[имагинарна јединица]] која задовољава {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}.]]
 
Уређени пар [[Реалан број|реалних бројева]], означен са <math>(a, b)</math>, при чему су <math>a</math> и <math>b</math> реални бројеви (<math>a, b\in\mathbb{R}</math>), назива се '''комплексан број'''.<ref>Complex Variables (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill (USA). {{page|year=|isbn=978-0-07-161569-3|pages=}}</ref><ref>{{Cite book|title = College Algebra and Trigonometry |edition=6 |first1=Richard N. | last1 =Aufmann|first2=Vernon C. | last2 =Barker|first3=Richard D. | last3 =Nation|publisher=Cengage Learning |year=2007|isbn=978-0-618-82515-8 |url=https://books.google.com/?id=g5j-cT-vg_wC&pg=PA66 |chapter=Chapter P|pages=66}}</ref> (Реалан број је „прост“, док је уређени пар „сложен“, или комплексан, јер га сачињавају два броја). Скуп свих оваквих парова, односно свих комплексних бројева, означавамо са <math>\mathbb{C}</math> и он је суштински Декартов производ <math>\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}</math>. Уређени пар <math>(a, b)</math>, као комплексан број, записује се још као <math>a+bi</math>. Притом се елемент <math>i</math> назива имагинарна јединица, и има својство да је <math>i^2=-1</math>. {{sfn|McKeague|2011|p=524}} Имагинарни број се у физици често обележава и латиничним словом <math>j</math>.
Ред 21:
<math> \frac{(a, b)}{(x, y)} = (\frac{ax+by}{x^2+y^2}, \frac{bx-ay}{x^2+y^2})</math>.
 
Пар <math>(0;1)</math> се назива имагинарна јединица и означава симболом <math>i</math>. Из последњих формула произилази да је <math>i^2=-1</math>. Операције са комплексним бројевима задовољавају обичне законе комутативности, дистрибутивности и асоцијативности (као и у случају реалних бројева). Међутим, операције с комплексним бројевима под радикалима (коренима) донекле се разликују од аналогних операција с реалним бројевима. Тако је
 
<math>-1=i^2= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \not= \sqrt{(-1)(-1)}=1</math>.
 
== Дефиниција ==
Дефиницију комплексних бројева као уређених парова дао је [[Вилијам Роуан Хамилтон|Вилијам Р. Хамилтон]], ирски математичар (1805– 1865.) Та се дефиниција темељи само на особини реалних бројева, чиме се избјегава донекле неразјашњени појам броја <math>\sqrt{-1}</math> .
 
С друге стране, запис облика <math>z = x + yi</math> погоднији је за рачунање.
Ред 68:
<math>\theta = ARg z</math> аргумент
 
Два комплексна броја су једнака ако су им једнаки реални и имагинарни делови.
 
<math>z_{1} = z_{2} \, \, \leftrightarrow \, \, ( \operatorname{Re}(z_{1}) = \operatorname{Re}(z_{2}) \, \land \, \operatorname{Im} (z_{1}) = \operatorname{Im} (z_{2})).</math>
Ред 153:
називамо комплексним производом комплексних бројева <math>a</math> и <math>b</math>.
 
Нека су <math>A</math> и <math>B</math> тачке одређене комплексним бројевима
<math>
a = \mid a \mid(cos\varphi +i sin \varphi)</math> и
Ред 202:
<math>\displaystyle \frac{z_1}{z_2} \displaystyle = \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\cdot \frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2} \displaystyle = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \quad \textrm{za}\quad z_2\neq 0</math>
 
У сваком скупу бројева дељење се дефинише као множење инверзним елементом. Уверимо се да за
 
<math>
Ред 361:
<math> r_1(\cos \phi_1 +i \sin \phi_1) \cdot r_2(\cos \phi_2 +i \sin \phi_2) = r_1 r_2 (\cos (\phi_1 + \phi_2) +i \sin(\phi_1 + \phi_2) ) \, </math>.
 
слично је и за дељење.
<math> \frac{ r_1(\cos \phi_1 +i \sin \phi_1 )}{ r_2(\cos \phi_2 +i \sin \phi_2) } = \frac{r_1}{ r_2} (\cos (\phi_1 - \phi_2) +i \sin(\phi_1 - \phi_2) ) \, </math>.
 
Ред 368:
<math>(\cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\,</math> .
 
Комплексни бројеви се често представљају [[вектор]]има у [[комплексна раван|комплексној равни]] (слика доле). Геометријски смисао бројева <math>a, b, \rho,\phi</math> види се на [[цртеж]]у. У сабирању комплексних бројева њихови вектори се сабирају по [[правило паралелограма|правилу паралелограма]].
 
[[Датотека:Kompleksna-ravan.gif|мини|rightдесно|Комплексна раван]]
 
Дужина вектора <math>\rho</math> је [[модуларна аритметика|модуо]], или модул комплексног броја, а као што се види на горњој слици, може се добити помоћу [[Питагорина теорема|Питагорине теореме]]. Модул, интензитет комплексног броја често означавамо као апсолутну вредност, тј. удаљеност броја од исходишта координатног система: <math>|z|=\rho = \sqrt{a^2+b^2}</math>.
Ред 381:
Комплексни бројеви образују [[алгебарско затворено поље]]. [[Поље (математика)|Поље]] комплексних бројева је проширење поља реалних бројева придруживањем овом пољу елемента <math>i</math>, таквог да је <math>i^2=-1</math>.
 
;Множење
Множење комплексних бројева у тригонометријском облику је слично множењу комплексних бројева у стандардном облику.
 
Ред 426:
== Поларни облик ==
{{Main|Поларни координатни систем}}
[[Датотека:Complex number illustration modarg.svg|rightдесно|мини|Аргумент {{mvar|φ}} и модуо {{mvar|r}} лоцирају тачку на Аргандовом дијаграму; <math>r(\cos \varphi + i \sin \varphi)</math> или <math>r e^{i\varphi}</math> су ''поларни'' изрази за тачку.]]
 
=== Апсолутна вредност и аргумент ===
Ред 458:
\end{cases}</math>
 
[[Датотека:visualisation_complex_number_roots.svg|мини|{{{1|250px}}}|Визуализација квадратног до шестог корена комплексног броја -{''z''}-, у поларној форми <span class="nowrap">-{''re''<sup>''i&phi;iφ''}-</sup></span> где <span class="nowrap">-{''&phi;φ'' = arg ''z''}-</span> и <span class="nowrap">-{''r''}- = | -{''z''}-&thinsp; |</span>{{snd}}ако је -{''z''}- реално, <span class="nowrap">-{''&phi;φ''}- = 0 или {{pi}}</span>. Главни корени су приказани црном бојом.]]
 
Нормално, као што је дато горе, главна вредност се разматра на интервалу {{open-closed|−π,π}}. Вредности у опсегу {{closed-open|0,2&pi;2π}} се добијају додавањем {{math|2&pi;2π}} ако је вредност негативна. Вредност {{mvar|φ}} се изражава у [[радијан]]има угла. Она може да буде повећана за целобројни умножак од {{math|2π}} и да се још увек односи на исти угао. Стога се -{arg}- функција понекад сматра [[Мултивредносна функција|мултивредносном]]. Поларни угао комплексног броја 0 је неодређен, мада се арбитрарни избор угла 0 често прави.
 
Вредност {{mvar|φ}} је једнака резултату [[atan2]]:
Ред 488:
 
=== Множење и дељење у поларном облику ===
[[Датотека:Complex multi.svg|rightдесно|мини|Множење {{math|2 + ''i''}} (плави троугао) и {{math|3 + ''i''}} (црвени троугао). Црвени троугао се ротира да се поклопи са највишом тачкиом плавог и прошири се за [[квадратни корен од 5|{{sqrt|5}}]], дужину [[хипотенуза|хипотенузе]] плавог троугла.]]
 
Формуле за множење, дељење и степеновање су једноставније у поларном облику него кореспондирајуће формуле у Картезијанским координатама. За два дата комплексна броја {{math|1=''z''<sub>1</sub> = ''r''<sub>1</sub>(cos φ<sub>1</sub> + ''i'' sin φ<sub>1</sub>)}} и {{math|1=''z''<sub>2</sub> = ''r''<sub>2</sub>(cos φ<sub>2</sub> + ''i'' sin φ<sub>2</sub>)}}, због добро познатих тригонометријских релација
Ред 497:
:<math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\,</math>
 
Другим речима, апсолутне вредности се множе а аргументи се додају чиме се добија поларни облик производа. На пример, множење са {{math|''i''}} је истоветно са заокретом за четвртину круга у смеру супротном кретању казаљки на сату, чиме се производи {{math|1=''i''<sup>2</sup> = &minus;1−1}}. Слика на десној страни илуструје множење
:<math>(2+i)(3+i)=5+5i. \,</math>
 
Пошто су реални и имагинарни део броја {{math|5 + 5''i''}} једнаки, аргумент тог броја је 45 степени, или π/4 (у [[радијан]]има). С друге стране, то је исто тако сума углова у координатном почетку црвеног и плавог троугла, који су -{[[arctan]]}-(1/3) и -{arctan}-(1/2), респективно. Стога формула
:<math>\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} </math>
важи. Пошто се -{[[arctan]]}- функција може веома ефикасно апроксимирати, формуле попут ове &mdash;познате—познате као формуле сличне Машиновим &mdash;— се користе за апроксимације високе прецизности вредности [[pi|π]].
 
Слично томе, дељење је дато изразима
Ред 522:
* {{Cite book | ref = harv |title = Elementary Algebra | last =McKeague|first=Charles P. |publisher=Brooks/Cole |isbn=978-0-8400-6421-9 |year=2011|url=https://books.google.com/?id=etTbP0rItQ4C&pg=PA524|pages=524}}
* {{Cite book | ref = harv |title = College Algebra and Trigonometry |edition=6 |first1=Richard N. | last1 =Aufmann|first2=Vernon C. | last2 =Barker|first3=Richard D. | last3 =Nation|publisher=Cengage Learning |year=2007|isbn=978-0-618-82515-8 |url=https://books.google.com/?id=g5j-cT-vg_wC&pg=PA66 |chapter=Chapter P|pages=66}}
* {{Cite book | ref = harv | ref = harv | last =Ahlfors|first=Lars |authorlink=Lars Ahlfors |title = Complex analysis |publisher=McGraw-Hill |year=1979|edition=3rd |isbn=978-0-07-000657-7|pages=}}
* {{Cite book | ref = harv | ref = harv | last =Conway|first=John B. |title = Functions of One Complex Variable I |year=1986|publisher=Springer |isbn=978-0-387-90328-6|pages=}}
* {{Cite book | ref = harv | ref = harv | last =Joshi|first=Kapil D. |title = Foundations of Discrete Mathematics |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=New York |isbn=978-0-470-21152-6 |year=1989}}
* {{Cite book | ref = harv | ref = harv | last =Pedoe|first=Dan |authorlink=Dan Pedoe |title = Geometry: A comprehensive course |publisher=Dover |year=1988|isbn=978-0-486-65812-4|pages=}}
* {{Cite book | ref = harv | ref = harv | last =Press|first=WH | last2 =Teukolsky|first2=SA | last3 =Vetterling|first3=WT | last4 =Flannery|first4=BP |year=2007|title = Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |edition=3rd |publisher=Cambridge University Press |publication-place=New York |isbn=978-0-521-88068-8 |chapter=Section 5.5 Complex Arithmetic |chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=225}}
* {{springer|id=c/c024140|title = Complex number|year=2001|first=E.D.| last =Solomentsev}}
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Комплексан_број”