Квадратна једначина — разлика између измена

Слова ''-{a}-'', ''-{b}-'', и ''-{c}-'' се називају [[коефицијент]]има: квадратни коефицијент ''-{a}-'' је коефицијент уз ''x''², линеарни коефицијент ''-{b}-'' је коефицијент уз ''x'', а ''-{c}-'' је слободан члан.

 

 

[[Датотека:Quadratic equation coefficients.png|мини|десно|200п|Графици реалних квадратних функција ''ax''² + ''bx'' + ''c''. Сваки коефицијент варира засебно]]

== Дискриминанта ==

[[Датотека:Quadratic equation discriminant.png|мини|десно|Примери различитих знакова дискриминанте<br

У горњој формули, испод квадратног корена присутан израз:

:<math>\Delta = b^2 - 4ac, \,\!</math>

 

* Ако је дискриминанта позитивна добијају се реална и различита решења. Код квадратних једначина са [[цео број|целобројним]] коефицијентима, ако је дискриминанта ''[[савршен квадрат]]'', онда су корени [[рационалан број|рационални бројеви]], док у осталим случајевима могу бити ирационални.

*: <math>x = -\frac{b}{2a}. \,\!</math>

* Ако је дискриминанта негативна, решења су [[Комплексан број|комплексни бројеви]], и постоје два различита комплексна корена, који су [[комплексни конјугат]]и један другог:

 

== Геометрија ==

Корени квадратне једначине

 

: <math>ax^2+bx+c=0. \ </math>

 

 

: <math>ax^2+bx+c = a \left(x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) \left(x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right). \ </math>

: <math>2x^6 - 3x^3 + 5 = 0,\,</math>

 

: <math> 2u^2 - 3u + 5 = 0, \ </math>

где је

Геометријске методе за решавање квадратних једначина коришћене су у Вавилону, Египту, Грчкој, Кини и Индији. Египатски папирус који датира негде из времена [[Средње краљевство|Средњег краљевства]] (од 2050. п. н. е. до 1650. п. н. е.) а данас се чува у [[Берлин]]у, па је познат као [[Berlin Papyrus 6619|Берлински папирус]], даје решење непотпуне квадратне једначине која има два члана.<ref>{{Cite book|title=The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East|url=https://books.google.com/books?id=slR7SFScEnwC&pg=PA530|year=1971|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-07791-0|pages=530}}</ref> У индијским списима [[Шулба султре]], око [[8. век п. н. е.|8. века п. н. е.]], квадратне једначине облика {{math|''ax''² {{=}} ''c''}} and {{math|''ax''² + ''bx'' {{=}} ''c''}} су испитиване коришћењем геометријских метода. У Старом Вавилону око [[400. п. н. е.]] и у Кини око [[200. п. н. е.]] у употребу улази геометријска метода дисекције за решавање квадратних једначина са позитивним коренима.<ref name=Henderson>{{cite web|last=Henderson|first=David W.|title=Geometric Solutions of Quadratic and Cubic Equations |publisher=Mathematics Department, Cornell University |url=http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/geomsolu/geomsolu.html|accessdate=28. 4. 2013.}}</ref><ref name=Aitken>{{cite web|last=Aitken|first=Wayne|title=A Chinese Classic: The Nine Chapters|url=http://public.csusm.edu/aitken_html/m330/china/ninechapters.pdf|publisher=Mathematics Department, California State University|accessdate=28. 4. 2013.}}</ref> Правила за решавање квадратних једначина могу се наћи у старокинеском математичком тексту под називом ''[[Девет књига о математичкој вештини]]''.<ref name=Aitken/><ref>{{Cite book|last=Smith|first=David Eugene|title=History of Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=uTytJGnTf1kC&pg=PA380|year=1958|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-20430-7|pages=380}}</ref> Ни у једном од тих раних геометријских метода коришћених за одређивање решења квадратне једначине нема назнака опште формуле. [[Грчка математика|Грчки математичар]] [[Еуклид]] нашао је, око [[300. п. н. е.]], апстрактнији геометријски начин за решавање. Захваљујући чисто геометријском приступу [[Питагора]] и Еуклид заслужни су за проналажење општег начина одређивања решења квадратне једначине. Грчки математичар [[Диофант]] решио је квадратну једначину у својој ''[[Диофантова Аритметика|Аритметици]]'', али је дао само један корен, чак и у ситуацијама када су оба корена позитивна.{{sfn|Smith|1958|pp=134}}

 

 

:<math>\ ax^2+bx=c</math>

* [[Mathematical Association of America]]. (1988). ''Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter'', The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.

* Thomas/Finney. {{page|year=1996|isbn=978-0-201-53174-9|pages=}} ''Calculus and Analytic geometry 9th'', Addison Wesley.

* [[Ron Larson (mathematician)|Larson, Ron]], Bruce H. Edwards ''Calculus'', 9th ed., Brooks Cole Cengage Learning. {{page|year=2010|isbn=978-0-547-16702-2|pages=}}

* {{Cite book|ref=harv|last=Salas |first= Saturnino L. |last2=Hille |first2= Einar |author2-link= Einar Hille |last3=Etgen |first3= Garret J. |year=2007 |title= Calculus: One and Several Variables |edition= 10th |location= [[John Wiley & Sons|Wiley]] |isbn=978-0-471-69804-3|pages=}}

* [[George B. Thomas|Thomas, George B.]], Maurice D. Weir, [[Joel Hass]], Frank R. Giordano ''Calculus'', 11th ed., Addison-Wesley. {{page|year=2008|isbn=978-0-321-48987-6|pages=}}