Теорија скупова — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Робот: додато {{Commonscat|Set theory}} |
м →Аксиоме теорије скупова: Стил навођења аксиома, зарад лепше прегледности |
||
Ред 33:
== Аксиоме теорије скупова ==
У овој секцији изложићемо, у кратким цртама, Цермело-Френкел аксиоме са аксиомом избора (ЦФИ). Цела аксиоматика ће бити изложена у [[логика првог реда|логици првог реда]] са само једном бинарном релацијом припадности <math>\in</math>.
*
**Два скупа <math>A</math> и <math>B</math> су једнаки ако имају исте елементе. *
**Скуп који нема елементе зове се празан скуп и означава са <math>\emptyset</math>. *'''Аксиома пара:'''
**Ако
*
**За *'''Аксиома уније:'''
**За сваку скуп <math>A</math> постоји скуп <math>\cup A</math> који се зове унија скупа <math>A</math> а чији су елементи елементи скупа <math>A</math>.
* Аксиома раздвајања: За сваки скуп <math>A</math> и свако дато својство скупа постоји скуп који садржи елементе скупа <math>A</math> који имају поменуто својство скупа. Својство скупа је дефинисано формулом <math>\phi</math> у логици првог реда теорије скупова. На тај је начин аксиом раздвајања у суштини аксиом шема тј. бесконачна листа аксиома, где је свака аксиома дата формулом <math>\phi</math>.▼
*'''Аксиома бесконачности:'''
* Аксиома замене: За сваку функцију која се може дефинисати на скупу <math>A</math> као свом домену постоји скуп чији су елементи све вредности ове функције. Замена је такође аксиома шема јер су функције дефинисане формулама.▼
**Постоји
*'''Аксиома раздвајања:'''
* Аксиома избора: За сваки скуп <math>A</math> узајамно дисјунктних непразних скупова постоји скуп који садржи тачно један елемент из сваког скупа који припада скупу <math>A</math>.▼
▲*
*'''Аксиома замене:'''
▲*
*'''Аксиома основе:'''
**Сваки непразни скуп <math>A</math> садржи неки <math>\in</math>-минимални елемент тј.елемент који не садржи ни један други елемент скупа <math>A</math>.
*'''Аксиома избора:'''
▲*
Проблеми и сумње у ваљаност ове аксиоме потичу од чињенице да аксиома тврди да постоје скупови који не могу бити експлицитно дефинисани. Ове сумње су уклоњене Геделовим ({{јез-нем|Kurt Gödel }}) доказом да је аксиома избора сагласна са осталим Цермело-Френкел аксиомама. Аксиома избора је еквивалентна принципу добре уређености који тврди да сваки скуп може да се добро уреди тј. сваки скуп може да се линеарно уреди тако да сваки његов непразан подскуп има неки минимални елемент.
| |||