|
== Формалне дефиниције ==
=== Бинарна операција ===
Ако је ''-{<math>S}-''</math> скуп са [[бинарна операција|бинарном операцијом]] <math>*</math>, тада се за елемент ''-{<math>s}-''</math> из ''-{<math>S}-''</math> каже да је идемпотентан (у односу на <math>*</math>) ако <math>s*s=s</math>.
Специјално, сваки [[неутрал]] је идемпотентан. Ако је сваки елемент на скупу ''-{<math>S }-''</math> идемпотентан, тада се за бинарну операцију <math>* </math> каже да је идемпотентна. На пример, операције [[унија (теорија скупова)|уније]] и [[пресек (теорија скупова)|пресека скупова]] су обе идемпотентне. ▼:-{''s'' * ''s'' = ''s''.}-
▲Специјално, сваки [[неутрал]] је идемпотентан. Ако је сваки елемент на скупу ''-{S}-'' идемпотентан, тада се за бинарну операцију * каже да је идемпотентна. На пример, операције [[унија (теорија скупова)|уније]] и [[пресек (теорија скупова)|пресека скупова]] су обе идемпотентне.
=== Унарна операција ===
Ако је ''-{<math>f}-''</math> [[унарна операција]] на домену ''-{<math>X}-''</math>, тада је ''-{<math>f}-''</math> идемпотентна ако за свако ''-{<math>x}-'' из\in ''-{X}-''</math>,
:-{''f''(''f''(''x'')) = ''f''(''x'')}-.
<math>f(f(x))=f(x)</math>.
Ово је еквивалентно исказу ''-{<math>f o\circ f = f}-''</math>, где ''o''<math>\circ</math> означава [[композиција функција|композицију функција]].
Специјално, [[идентитета]] је идемпотентна, као и свака [[константна функција]].
Идемпотентан елемент [[алгебарски прстен|прстена]] је по дефиницији елемент који је идемпотентан у односу на операцију множења прстена.
Ако је ''-{<math>e}-''</math> идемпотентно у прстену ''-{<math>R}-''</math>, онда је ''-{<math>eRe}-''</math> такође прстен, са мултипликативним неутралом ''-{<math>e}-''</math>.
Два идемпотентна елемента, ''-{<math>e}-''</math> и ''-{<math>f}-''</math> се називају ''ортогоналним'' ако -{''<math>ef'' = ''fe''}- = 0</math>. У овом случају, -{''<math>e'' + ''f''}-</math> је такође идемпотентно, и имамо -{''<math>e''\leq ≤ ''e'' + ''f''}-</math> и -{''<math>f''\leq ≤ ''e'' + ''f''}-</math>.
Ако је ''-{<math>e}-''</math> идемпотентно у прстену ''-{<math>R}-''</math>, тада је идемпотентно и -{''<math>f'' = 1 − ''-e''}-</math>; ''-{<math>e}-''</math> и ''-{<math>f}-''</math> су ортогонални.
Идемпотентни елемент ''-{<math>e}-''\in у ''-{R}-''</math> се назива ''централним'' ако -{''<math>ex'' = ''xe''}-</math> за свако ''-{<math>x}-'' из\in ''-{R}-''</math>. У овом случају, ''-{<math>Re}-''</math> је прстен са мултипликативним неутралом ''-{<math>e}-''</math>. Централни идемпотентни елементи прстена ''-{<math>R}-''</math> су у блиској вези са декомпозицијама ''-{<math>R}-''</math> у [[директна сума|директне суме]] прстенова. Ако је ''-{<math>R}-''</math> директна сума прстенова -{''R''<sub>1</submath>R_1, ... ,''R''<sub>''n'' R_n</submath>}-, тада су неутрали прстенова -{''R''<submath>''i''R_i</submath>}- централно идемпотентни у ''-{<math>R}-''</math>.
Прстен у коме су ''сви'' елементи идемпотентни се назива [[Булов прстен]]. Може се показати да је у сваком таквом прстену, множење комуттивно, и да сваки елемент има свој [[адитивни нверз]].
| 