Теорија скупова — разлика између измена

'''Теорија скупова''' је математичка теорија добро дефинисаних колекција објеката које зовемо скуповима. Ови објекти се зову елементи [[скуп]]а. Чиста теорија скупова је она теорија у којој су елементи скупа опет скупови. Срж теорије скупова је проучавање бесконачних скупова. У теорији скупова скупови су дати аксиоматски, тј њихово постојање и основна својства су дата одговарајућим формалним [[аксиома|аксиомама]]ма. Формални језик чисте теорије скупова допуштају да се формализују сви математички појмови. На тај начин теорија скупова постаје стандардна основа математике пошто сваки математички објект може да се види као скуп и свака теорема математике може логички бити изведена предикатским рачуном из аксиома теорије скупова.

* '''Аксиома проширења:'''

** Два скупа <math>A</math> и <math>B</math> су једнаки ако имају исте елементе.

* '''Аксиома пара:'''

** Ако су дати скупови <math>A</math> и <math>B</math>, тада постоји скуп <math>{A,B}</math> који садржи само <math>A</math> и <math>B</math> као своје елементе. Постоји такође скуп <math>\{A\}</math> чији је један једини елемент скуп <math>A</math>.

* '''Аксиома партитивног скупа:'''

** За сваки скуп <math>A</math> постоји скуп <math>\mathcal{P}(A)</math> који се зове партитивни скуп скупа <math>A</math> чији су елементи сви подскупови скупа <math>A</math>.

* '''Аксиома уније:'''

** За сваку скуп <math>A</math> постоји скуп <math>\cup A</math> који се зове унија скупа <math>A</math> а чији су елементи елементи скупа <math>A</math>.

* '''Аксиома бесконачности:'''

** Постоји бесконачан скуп, тј. постоји скуп <math>Z</math> који садржи <math>\emptyset</math> и такав да ако је <math>A \in Z</math> тада је <math>\cup\{A,\{A\}\} \in Z</math>.

* '''Аксиома раздвајања:'''

** За сваки скуп <math>A</math> и свако дато својство скупа постоји скуп који садржи елементе скупа <math>A</math> који имају поменуто својство скупа. Својство скупа је дефинисано формулом <math>\phi</math> у логици првог реда теорије скупова. На тај је начин аксиом раздвајања у суштини аксиом шема тј. бесконачна листа аксиома, где је свака аксиома дата формулом <math>\phi</math>.

* '''Аксиома замене:'''

** За сваку функцију која се може дефинисати на скупу <math>A</math> као свом домену постоји скуп чији су елементи све вредности ове функције. Замена је такође аксиома шема јер су функције дефинисане формулама.

* '''Аксиома основе (регуларности):'''

** Сваки непразни скуп <math>A</math> садржи неки <math>\in</math>-минимални елемент тј.елемент који не садржи ни један други елемент скупа <math>A</math>.

* '''Аксиома избора:'''

** За сваки скуп <math>A</math> узајамно дисјунктних непразних скупова постоји скуп који садржи тачно један елемент из сваког скупа који припада скупу <math>A</math>.

Ординали задовољавају принцип трансфинитне индукције: претпоставимо да је <math>C</math> класа ординала таква да кад год <math>C</math> садржи све ординале <math>\beta</math> који су мањи од неког ординала <math>\alpha</math>, тада је <math>\alpha</math> такође у <math>C</math>. На тај начин класа <math>C</math> садржи све ординале. Користећи трансфинитну индукцију може се у ЦФИ (за шта је потребна и аксиома замене) доказати принцип трансфинитне рекурзије који каже да ако је дата класа-функција која се може дефинисати <math>G:V \leftarrow V</math>, онда се може дефинисати класа-функција <math>F:Ord \leftarrow V</math>, где је <math>Ord </math> класа свих ординала, таква да <math>F(\alpha)</math>је вредност функције <math>G</math> примењене на функцију <math>F</math> која је ограничена на <math>\alpha</math>. <math>V</math> је универзум свих скупова дефинисан у следећој секцији. Трансфинитна рекурзија се користи, на пример, да се дефинишу аритметичке операције сабирања, множења и експонента на ординалима.

* {{Cite book| ref = harv | last=Bolzano|first=Bernard|author-link=Bernard Bolzano|editor-last=Berg|editor-first=Jan|title=Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre|series=Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al.|volume=Vol. II, A, 7|publisher=Friedrich Frommann Verlag|location=Stuttgart, Bad Cannstatt|id=ISBN 3-7728-0466-7|year=1975|pages=152}}

* -{Andras Hajnal, Peter Hamburger: Set Theory, Cambridge University Press, Nov 11,}- 1999

* {{Cite book | ref = harv | last=Devlin|first=Keith|title=The Joy of Sets|location=New York|publisher=(2nd ed.). Springer Verlag|year=1993|id=ISBN 0-387-94094-4|pages=}}

* {{Cite book | ref = harv | last=Ferreirós|first=Jose|title=Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics|location=Basel|publisher=Birkhäuser|year=2007|isbn=978-3-7643-8349-7|pages=}}

* {{Cite book | ref = harv | last=Johnson|first=Philip|title=A History of Set Theory|location=Prindle|publisher=Weber & Schmidt|year=1972|id=ISBN 0-87150-154-6|pages=}}

* {{Cite book | ref = harv | last=Kunen|first=Kenneth|title=[[Set Theory: An Introduction to Independence Proofs]]|location=|publisher=North-Holland|year=1980|id=ISBN 0-444-85401-0|pages=}}-

* {{Cite book | ref = harv | last=Tiles|first=Mary|title=The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise|location=|publisher=[[Dover Publications]]|year=1989|isbn=978-0-486-43520-6|pages=}}

[[Категорија:Теорија скупова|* ]]