Теорема компактности — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м →Литература: исправљање coauthors у author2 |
м razne izmene; козметичке измене |
||
Ред 6:
Из теореме следи на пример да ако неки исказ првог реда важи за свако [[поље (математика)|поље]] [[карактеристика (алгебра)|карактеристике]] нула, онда постоји константа ''-{p}-'', таква да исказ важи за свако поље карактеристике веће од ''-{p}-''. Ово се може посматрати на следећи начин: претпоставимо да је -{φ}- дати исказ. Онда његова негација, -{¬φ}-, заједно са пољем аксиома и бесконачним редом исказа 1+1 ≠ 0, 1+1+1 ≠ 0, … по претпоставци није задовољива. Стога коначан подскуп ових исказа није задовољив, што значи да φ важи у оним пољима која имају довољно велику карактеристику.
Такође, из теореме следи да свака теорија која има бесконачан модел има моделе произвољно велике [[кардиналност]]и ([[теорема Левенхајм-Сколем]]). Тако на пример постоје нестандардни модели за [[Пеанова аритметика|Пеанову аритметику]] са непребројиво много 'природних бројева'.
Теорема компактности имплицира да постоје [[хиперреални бројеви|''нестандардни'' модели реалних бројева]], то јест конзистентна проширења теорије реалних бројева који садрже ''инфинитезималне'' бројеве.
Ред 15:
Гедел је прво доказао теорему компактности само на овај начин, али касније су пронађени неки ''чисто семантички'' докази ове теореме, то јест докази који се односе на ''истину'' а не на ''доказивост''. Следи један од ових доказа који се ослања на [[ултрапроизвод]]е:
Доказ: Фиксирајмо језик првог реда -{L}-, и узмимо да је -{Σ}- колекција -{L}--реченица, таквих да свака коначна подколекција -{L}--реченица, -{''i'' ⊆ Σ}- има модел <math>\mathcal{M}_i</math>. Такође, нека је <math>\prod_{i \subseteq \Sigma}\mathcal{M}_i</math> директан производ структура и ''-{I}-'' је колекција коначних подскупова од -{Σ}-. За свко ''-{i}-'' из ''-{I}-'' нека је
-{A<sub>''i''</sub> := { ''j'' ∈ ''I'' : ''j'' ⊇ ''i''}.}-
Фамилија свих ових скупова -{A<sub>''i''</sub>}- генерише филтер, па постоји ултрафилтер ''-{U}-'' који садржи све скупове облика -{A<sub>''i''</sub>}-.
Ред 35:
== Литература ==
{{refbegin|2}}
* {{Cite book | ref= harv|last=Boolos| first=George | author2=Jeffrey, Richard; Burgess, John | title =
* {{Cite book | ref= harv|last=Chang| first=C.C. | author2=[[Howard Jerome Keisler|Keisler, H. Jerome]] | publisher=[[Elsevier]] | title=Model Theory |year=1989| edition=third edition |isbn=978-0-7204-0692-4}}
* {{ cite journal |last=Dawson| first=John W. junior | title=The compactness of first-order logic: From Gödel to Lindström | journal=History and Philosophy of Logic |year=1993| volume=14 | doi=10.1080/01445349308837208|pages=15-37}}
* {{Cite book | ref= harv|last=Hodges| first=Wilfrid | authorlink=Wilfrid Hodges | publisher=[[Cambridge University Press]] | title=Model theory |year=1993|isbn=978-0-521-30442-9}}
* {{Cite book | ref= harv|last=Hummel|first=Christoph|title=Gromov's compactness theorem for pseudo-holomorphic curves |publisher=Birkhäuser |location=Basel, Switzerland |year=1997|isbn=978-3-7643-5735-1 |oclc= |doi=}}
* {{Cite book | ref= harv|last=Marker| first=David | title= Model Theory: An Introduction | publisher=Springer |year=2002|isbn=978-0-387-98760-6| series=[[Graduate Texts in Mathematics]] 217}}
* {{Cite book | ref= harv|last=Truss| first=John K. | title=Foundations of Mathematical Analysis |year=1997| publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=978-0198533757}}
{{refend}}
| |||