Теорема компактности — разлика између измена

м
razne izmene; козметичке измене
м (→‎Литература: исправљање coauthors у author2)
м (razne izmene; козметичке измене)
Из теореме следи на пример да ако неки исказ првог реда важи за свако [[поље (математика)|поље]] [[карактеристика (алгебра)|карактеристике]] нула, онда постоји константа ''-{p}-'', таква да исказ важи за свако поље карактеристике веће од ''-{p}-''. Ово се може посматрати на следећи начин: претпоставимо да је -{φ}- дати исказ. Онда његова негација, -{¬φ}-, заједно са пољем аксиома и бесконачним редом исказа 1+1 ≠ 0, 1+1+1 ≠ 0, … по претпоставци није задовољива. Стога коначан подскуп ових исказа није задовољив, што значи да φ важи у оним пољима која имају довољно велику карактеристику.
 
Такође, из теореме следи да свака теорија која има бесконачан модел има моделе произвољно велике [[кардиналност]]и ([[теорема Левенхајм-Сколем]]). Тако на пример постоје нестандардни модели за [[Пеанова аритметика|Пеанову аритметику]] са непребројиво много 'природних бројева'.
 
Теорема компактности имплицира да постоје [[хиперреални бројеви|''нестандардни'' модели реалних бројева]], то јест конзистентна проширења теорије реалних бројева који садрже ''инфинитезималне'' бројеве.
Гедел је прво доказао теорему компактности само на овај начин, али касније су пронађени неки ''чисто семантички'' докази ове теореме, то јест докази који се односе на ''истину'' а не на ''доказивост''. Следи један од ових доказа који се ослања на [[ултрапроизвод]]е:
 
Доказ: Фиксирајмо језик првог реда -{L}-, и узмимо да је -{Σ}- колекција -{L}--реченица, таквих да свака коначна подколекција -{L}--реченица, -{''i''&nbsp;⊆&nbsp;Σ}- има модел <math>\mathcal{M}_i</math>. Такође, нека је <math>\prod_{i \subseteq \Sigma}\mathcal{M}_i</math> директан производ структура и ''-{I}-'' је колекција коначних подскупова од -{Σ}-. За свко ''-{i}-'' из ''-{I}-'' нека је
-{A<sub>''i''</sub> := { ''j'' ∈ ''I'' : ''j'' ⊇ ''i''}.}-
Фамилија свих ових скупова -{A<sub>''i''</sub>}- генерише филтер, па постоји ултрафилтер ''-{U}-'' који садржи све скупове облика -{A<sub>''i''</sub>}-.
== Литература ==
{{refbegin|2}}
* {{Cite book | ref= harv|last=Boolos| first=George | author2=Jeffrey, Richard; Burgess, John | title ='' Computability and Logic'' | edition=fourth edition |year=2004| publisher="Cambridge University Press}}
* {{Cite book | ref= harv|last=Chang| first=C.C. | author2=[[Howard Jerome Keisler|Keisler, H. Jerome]] | publisher=[[Elsevier]] | title=Model Theory |year=1989| edition=third edition |isbn=978-0-7204-0692-4}}
* {{ cite journal |last=Dawson| first=John W. junior | title=The compactness of first-order logic: From Gödel to Lindström | journal=History and Philosophy of Logic |year=1993| volume=14 | doi=10.1080/01445349308837208|pages=15-37}}
* {{Cite book | ref= harv|last=Hodges| first=Wilfrid | authorlink=Wilfrid Hodges | publisher=[[Cambridge University Press]] | title=Model theory |year=1993|isbn=978-0-521-30442-9}}
* {{Cite book | ref= harv|last=Hummel|first=Christoph|title=Gromov's compactness theorem for pseudo-holomorphic curves |publisher=Birkhäuser |location=Basel, Switzerland |year=1997|isbn=978-3-7643-5735-1 |oclc= |doi=}}
* {{Cite book | ref= harv|last=Marker| first=David | title= Model Theory: An Introduction | publisher=Springer |year=2002|isbn=978-0-387-98760-6| series=[[Graduate Texts in Mathematics]] 217}}
* {{Cite book | ref= harv|last=Truss| first=John K. | title=Foundations of Mathematical Analysis |year=1997| publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=978-0198533757}}
{{refend}}
 
1.572.075

измена