Степеновање — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Враћене измене 178.223.7.133 (разговор) на последњу измену корисника Pavle.gavrilovic94 |
. |
||
Ред 1:
{{short description|Математичка операција}}
[[Image:Expo02.svg|thumb|315px|Графикони {{math|1=''y'' = ''b''<sup>''x''</sup>}} за разне базе -{''b''}-:
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|green solid 2px|[[#Powers of ten|база 10]],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|red solid 2px|[[#The exponential function|база ''e'']],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#Powers of two|база 2]],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|cyan solid 2px|база {{sfrac|1|2}}.}}}}
Свака крива пролази кроз тачку {{math|(0, 1)}}, јер је сваки ненулти број подигнут у степен 0 једнак 1. При {{math|1=''x'' = 1}}, вредност ''y'' једнака је бази, јер је сваки број подигнут у степен 1 сам број.]]
{{Друго значење2|Степен}}
'''Степеновање''' је математичка [[бинарна операција]], у запису ''-{a''<sup>''b''</sup>}-. У овом запису ''-{a}-'' се назива '''основа''', а ''-{b}-'' '''експонент'''. Чита се „-{''a}-'' на ''-{b}-''-ти степен“ или краће „''-{a}-'' на ''-{b}-''“, где је ''-{a}-'' кардинални, а ''-{b}-'' редни (ординални) број
Ако је ''-{n}-'' ∈ ℕ, онда степен представља основу помножену самом собом ''-{n}-'' пута:
:<math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n.</math>
Експонент се [[#History of the notation|обично приказује]] као [[Subscript and superscript|суперскрипт]] десно од основе. У том случају, {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} се назива „-{''b''}- подигнуто у -{''n''}--ти степен“, „-{''b''}- подигнуто на степен -{''n''}-“,<ref name=":0" /> „-{''n''}--ти степен од -{''b''}-“, „-{''b''}- на -{''n''}--том степену“,<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Power|url=https://mathworld.wolfram.com/Power.html|access-date=2020-08-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> или кратко као „-{''b''}- на -{''n''}--ти“.
За један важи {{math|1=''b''<sup>1</sup> = ''b''}}, и за било који пар позитивних целих бројева {{mvar|m}} и {{mvar|n}} важи {{math|1=''b''<sup>''n''</sup> ⋅ ''b''<sup>''m''</sup> = ''b''<sup>''n''+''m''</sup>}}. Да би се ово својство проширило на целобројне експоненте који нису позитивни, {{math|''b''<sup>0</sup>}} је дефинисано као {{math|1}}, а {{math|''b''<sup>−''n''</sup>}} (при чему је {{mvar|n}} позитивни цео број и {{mvar|b}} није нула) дефинисано је као {{math|{{sfrac|1|''b''<sup>''n''</sup>}}}}. Конкретно, {{math|''b''<sup>−1</sup>}} је једнако {{math|{{sfrac|1|''b''}}}}, ''[[multiplicative inverse|реципрочна]] вредност'' од {{mvar|b}}.
Дефиниција експоненцијације се може проширити тако да се дозволи било који реални или [[complex numbers|комплексни]] експонент. Експоненцирање целобројним експонентима такође се може дефинисати за широк спектар алгебарских структура, укључујући [[matrix (mathematics)|матрице]].
Експоненцијација се интензивно користи у многим областима, укључујући [[economics|економију]], [[biology|биологију]], [[chemistry|хемију]], [[physics|физику]] и [[computer science|рачунарство]], са апликацијама као што су [[Compound interest|сложене камате]], [[Природни прираштај|раст популације]], [[Хемијска кинетика|кинетика хемијских реакција]], понашање [[талас (физика)|талас]]а и [[асиметрична криптографија]].
== Историја записа ==
{{rut}}
The term ''power'' ({{lang-la|potentia, potestas, dignitas}}) is a mistranslation<ref name="Rotman">{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|author-link=Joseph J. Rotman|date=2015|title=Advanced Modern Algebra, Part 1|url=http://www.ams.org/books/gsm/165/04|location=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|at=p. 130, fn. 4|isbn=978-1-4704-1554-9|edition=3rd|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=165}}</ref><ref>{{cite book|last=Szabó|first=Árpád|date=1978|title=The Beginnings of Greek Mathematics|url=https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics|location=Dordrecht|publisher=[[D. Reidel]]|page=[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics/page/n37 37]|isbn=90-277-0819-3|series=Synthese Historical Library|volume=17|translator=A.M. Ungar}}</ref> of the [[ancient Greek]] δύναμις (''dúnamis'', here: "amplification"<ref name="Rotman"/>) used by the [[Greek mathematics|Greek]] mathematician [[Euclid]] for the square of a line,<ref name="MacTutor"/> following [[Hippocrates of Chios]].<ref>{{cite book|last=Ball|first=W. W. Rouse|author-link=W. W. Rouse Ball|date=1915|title=A Short Account of the History of Mathematics|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich|location=London|publisher=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]|page=[https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich/page/38 38]|edition=6th}}</ref> [[Archimedes]] discovered and proved the law of exponents, {{math|1=10<sup>''a''</sup> ⋅ 10<sup>''b''</sup> = 10<sup>''a''+''b''</sup>}}, necessary to manipulate powers of {{math|10}}.<ref>For further analysis see [[The Sand Reckoner]].</ref> In the 9th century, the Persian mathematician [[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]] used the terms مَال (''māl'', "possessions", "property") for a [[Square (algebra)|square]]—the Muslims, "like most mathematicians of those and earlier times, thought of a squared number as a depiction of an area, especially of land, hence property"<ref name="worldwidewords"/>—and كَعْبَة (''[[Kaaba|kaʿbah]]'', "cube") for a [[Cube (algebra)|cube]], which later [[Mathematics in medieval Islam|Islamic]] mathematicians represented in [[mathematical notation]] as the letters ''[[mīm]]'' (m) and ''[[kāf]]'' (k), respectively, by the 15th century, as seen in the work of [[Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī]].<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref>
In the late 16th century, [[Jost Bürgi]] used Roman numerals for exponents.<ref>{{cite book|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|date=1928|title=A History of Mathematical Notations|url=https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp|location=London|publisher=[[Open Court Publishing Company]]|page=[https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp/page/n363 344]|volume=1}}</ref>
== Особине степеновања ==
Линија 58 ⟶ 79:
* [[Корен (математика)|Корен]]
* [[Логаритам]]
== Референце ==
{{reflist|refs=
<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=Miscellaneous|id=Mathematical_notation|title=Etymology of some common mathematical terms}}</ref>
<ref name="worldwidewords">{{Cite web|url=http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm|title=Zenzizenzizenzic|publisher=World Wide Words|first=Michael|last=Quinion|author-link=Michael Quinion|access-date=2020-04-16}}</ref>
}}
== Спољашње везе ==
{{Commons category|Exponentiation}}
* -{[http://www.mathsisfun.com/algebra/exponent-laws.html Laws of Exponents] with derivation and examples}-
{{Класе природних бројева}}
{{Authority control}}
[[Категорија:Експоненцијали| ]]
| |||