Парабола — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
. |
|||
Ред 1:
{{rut}}{{short description|Plane curve: conic section}}
: ''За стилску фигуру, погледајте [[Парабола (књижевност)]]''
[[File:Parts of Parabola.svg|thumb|right|upright=1.36|Part of a parabola (blue), with various features (other colours). The complete parabola has no endpoints. In this orientation, it extends infinitely to the left, right, and upward.]]
[[File:Conic Sections.svg|thumb|The parabola is a member of the family of [[conic section]]s.]]
[[Датотека:Parabola.svg|мини|Парабола]]
'''Парабола''' ([[Старогрчки језик|старогрч.]] ''παραβολή'', поређење) је [[крива у равни]], која може да се представи као [[конусни пресек]] створен пресеком [[раван|равни]] са [[прав кружни конус|правим кружним конусом]], при чему је раван паралелна са [[Изводница конуса|изводницом конуса]]. Парабола се може дефинисати и као геометријско место тачака у равни које су једнако удаљене од тачке (фокуса) и дате праве (директрисе).
One description of a parabola involves a [[Point (geometry)|point]] (the [[Focus (geometry)|focus]]) and a [[Line (geometry)|line]] (the [[Directrix (conic section)|directrix]]). The focus does not lie on the directrix. The parabola is the [[locus (mathematics)|locus of points]] in that plane that are [[equidistant]] from both the directrix and the focus. Another description of a parabola is as a [[conic section]], created from the intersection of a right circular [[conical surface]] and a [[plane (geometry)|plane]] [[Parallel (geometry)|parallel]] to another plane that is [[tangent]]ial to the conical surface.{{efn|The tangential plane just touches the conical surface along a line, which passes through the apex of the cone.}}
The line perpendicular to the directrix and passing through the focus (that is, the line that splits the parabola through the middle) is called the "[[axis of symmetry]]". The point where the parabola intersects its axis of symmetry is called the "[[vertex (curve)|vertex]]" and is the point where the parabola is most sharply curved. The distance between the vertex and the focus, measured along the axis of symmetry, is the "focal length". The "[[Conic section#Conic parameters|latus rectum]]" is the [[Chord (geometry)|chord]] of the parabola that is parallel to the directrix and passes through the focus. Parabolas can open up, down, left, right, or in some other arbitrary direction. Any parabola can be repositioned and rescaled to fit exactly on any other parabola—that is, all parabolas are geometrically [[Similarity (geometry)|similar]].
Parabolas have the property that, if they are made of material that [[Reflection (physics)|reflects]] [[light]], then light that travels parallel to the axis of symmetry of a parabola and strikes its concave side is reflected to its focus, regardless of where on the parabola the reflection occurs. Conversely, light that originates from a point source at the focus is reflected into a parallel ("[[collimated]]") beam, leaving the parabola parallel to the axis of symmetry. The same effects occur with [[sound]] and other waves. This reflective property is the basis of many practical uses of parabolas. The parabola has many important applications, from a [[parabolic antenna]] or [[parabolic microphone]] to automobile headlight reflectors and the design of [[ballistic missiles]]. They are frequently used in [[physics]], [[engineering]], and many other areas.
У Декартовим координатама, парабола са осом паралелном са осом ''y'', врхом у (''-{h}-'', ''-{k}-''), са фокусом у (''-{h}-'', ''-{k}-'' + ''-{p}-'') и директрисом ''y'' = ''-{k}-'' - ''-{p}-'', где је ''-{p}-'' растојање од врха до фокуса, описује се једначином:
Линија 21 ⟶ 26:
где је <math>B^2 = 4 AC \,</math>, сви коефицијенти су реални бројеви, <math>A \not= 0 \,</math>, <math>C \not= 0 \,</math>, и где постоји више од једног решења које дефинише тачке параболе (x, y).
== Osobine==
Parabola je osno [[simetrija|simetrična]]. Osa simetrije prolazi fokusom parabole i okomita je na direktrisu. Rotacijom parabole oko njene ose simetrije nastaje [[paraboloid]].
Za parabolu kažemo da je u normalnom položaju, kada je njena osa paralelna s osom <math>x</math> ili <math>y</math>.
Parabola se može definisati kao konusni presjek s nagibom koji je jednak jedan. Iz tog proizilazi, da su sve parabole [[sličnost|slične]]. Parabolu možemo shvatiti kao granicu [[niz (matematika)|niza]] [[elipsa|elipse]], u kojoj je jednan od fokusa stacionaran, a drugi se postepeno udaljava do beskonačnosti.
=== Matematički zapisi ===
'''Implicitni zapis'''
: <math>\| XF \| = \| Xd \| \,\!</math>
[[Skup]] svih [[tačka|tačaka]] ''X'' u [[ravan|ravni]], koje imaju istu udaljenost od [[fokus]]a ''F'' i od [[direktrisa|direktrise]] ''d'', koja ne prolazi fokusom ''F''.
==== Descartesov koordinatni sistem ====
Standardni opis parabole: <br />
[[Datoteka:Parabola_kartezsky_system.GIF|thumb|right|250px|Parabola u descartesovom koordinatnom sistemu ]]
<div>
'''V[m, n]''' – vrh parabole sa koordinatama m, n <br />
'''F''' – fokus parabole <br />
'''d''' – direktrisa <br />
'''o''' – osa parabole <br />
'''|DF| = p''' – veličina [[parametar (matematika)|parametra]], <math>p > 0 \,\!</math><!-- zaobljavanja --><br />
<math>|DV| = |FV| = {p\over 2} \,\!</math><br />
'''X[x, y]''' – proizvoljna [[tačka]] koja pripada paraboli
</div><br />
===== Kanonski oblik jednačine =====
Kanonski (normalni) oblik jednačine parabole u normalnom položaju (osa parabole je paralelna sa osom <math>x</math> te za vrh parabole <math>V=[x_0,y_0]</math>) vrijedi
:<math>{(y-y_0)}^2 = 2p(x-x_0)</math>
Za <math>p>0</math> parabola je otvorena desno a za <math>p<0</math> parabola je otvorena lijevo. Za <math>x_0=0, y_0=0</math> dobija se parabola s vrhom u koordinatnom početku.
Fokus tako zadane parabole ima koordinate
:<math>\left[x_0+\frac{p}{2},y_0\right]</math>
a direktrisa je opisana jednačinom
:<math>x=x_0-\frac{p}{2}</math>
Kanonski oblik jednačine parabole s osom u osi <math>y</math> i vrhom u koordinatnom početku se može zapisati kao
:<math>x^2 = 2py</math>
Za <math>p>0</math> parabola je otvorena prema gore a za <math>p<0</math> otvorena je prema dole.
===== Jednačina konusnog presjeka =====
Ako u jednačini [[konusni presjek|konusnog presjeka]] uvrstimo <math>a_{11}=a_{12}=0</math> i <math>a_{13}a_{22}\neq 0</math>, dobijemo parabolu u normalnom položaju (osa parabole je paralelna s osom <math>x</math>), koja ima disektrisu
:<math>x = \frac{a_{23}^2+a_{13}^2-a_{22}a_{23}}{2a_{22}a_{13}}</math>
fokus ima koordinate
:<math>F = \left[\frac{a_{23}^2-a_{13}^2-a_{22}a_{33}}{2a_{22}a_{13}},\;-\frac{a_{23}}{a_{22}}\right]</math>
a koordinate vrha su
:<math>V = \left[\frac{a_{23}^2-a_{22}a_{33}}{2a_{22}a_{13}},\;-\frac{a_{23}}{a_{22}}\right]</math>
Parametar ima vrijednost
:<math>|p| = \left|\frac{a_{13}}{a_{22}}\right|</math>
Slično u slučaju <math>a_{12}=a_{22}=0</math> i <math>a_{11}a_{23}\neq 0</math> dobijamo parabolu u normalnom položaju (osa parabole je paralelna s osom <math>y</math>). Za direktrisu, fokus, vrh i parametar dobijamo
:<math>y = \frac{a_{13}^2+a_{23}^2-a_{11}a_{13}}{2a_{11}a_{23}}</math>
:<math>F = \left[-\frac{a_{13}}{a_{11}},\; \frac{a_{13}^2-a_{23}^2-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}\right]</math>
:<math>V = \left[-\frac{a_{13}}{a_{11}},\; \frac{a_{13}^2-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}\right]</math>
:<math>|p| = \left|\frac{a_{23}}{a_{11}}\right|</math>
Parabolu iz općeg do normalnog položaja se može prevesti [[rotacija (geometrija)|rotacijom]] koordinatnog sistema o [[ugao]] <math>\alpha</math> datim izrazom
:<math>\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}</math>
===== Karakteristike parabole u odnosu na njen položaj =====
* Osa parabole <math>o</math> je paralelna s osom <math>x</math> imajući minimum (tačka V) na osi <math>x</math>.
[[Datoteka:Parabola_kartezsky_system_vpravo.GIF|thumb|right|250px|Parabola u Descartesovom koordinatnom sistemu usmjerena ka pozitivnom djelu ose x]]
:''Tjemena jednačina'':
:: <math>(y - n)^2 = 2p(x - m) \,\!</math>
:''Parametarska jednačina'':
:: <math>x = {p\over 2}t^2 + m \,\!</math><br />
:: <math>y = pt + n \,\!</math>
:''Opća jednačina'':
:: <math>y^2 + Ax + By + C = 0, A \ne 0 \,\!</math>
:''Jednačina direktrise'':
:: <math>x = m - {p\over 2} \,\!</math>
:''Jednačina [[tangenta|tangente]] u tački <math>T[x_0, y_0]</math>:
:: <math>(y - n)(y_0 - n) = p(x + x_0 - 2m) \,\!</math>
Osa parabole <math>o</math> je paralelna s osoom <math>x</math> imajući maximum(tačka V) na osi <math>x</math>.<br />
[[Datoteka:Parabola_kartezsky_system_vlevo.GIF|thumb|right|250px|Parabola u Descartesovom koordinatnom sistemu usmjerena ka negativnom dijelu ose ''x'']]
:''Tjemena jednačina'':
:: <math>(y - n)^2 = -2p(x - m) \,\!</math>
:''Parametarska jednačina'':
:: <math>x = -{p\over 2}t^2 + m \,\!</math><br />
:: <math>y = -pt + n \,\!</math>
:''Opća jednačina'':
:: <math>y^2 + Ax + By + C = 0, A \ne 0</math>
:''Jednačina direktrise'':
:: <math>x = m + {p\over 2} \,\!</math>
:''Jednačina [[tangenta|tangente]] u [[tačka|tački]] <math>T[x_0, y_0]</math>'':
:: <math>(y - n)(y_0 - n) = -p(x + x_0 - 2m) \,\!</math>
* Osa parabole <math>o</math> je paralelna s osom <math>y</math> imajući minimum. Konveksna parabola.
[[Datoteka:Parabola_kartezsky_system_nahore.GIF|thumb|right|250px|Parabola u Descartesovom koordinatnom sistemu usmjerena ka pozitivnom djelu ''y'']]
:''Tjemena jednačina'':
:: <math>(x - m)^2 = 2p(y - n) \,\!</math>
:''Parametarska jednačina'':
:: <math>x = pt + m \,\!</math><br />
:: <math>y = {p\over 2}t^2 + n \,\!</math>
:''Opća jednačina'':
:: <math>x^2 + Ax + By + C = 0, B \ne 0</math>
:''Jednačina direktrise'':
:: <math>y = n - {p\over 2} \,\!</math>
:''Jednačina tangente u tački <math>T[x_0, y_0]</math>'':
:: <math>(x - m)(x_0 - m) = p(y + y_0 - 2n) \,\!</math>
* Osa parabole <math>o</math> je paralelna s osom <math>y</math> imajući maksimum. Konkavna parabola.
[[Datoteka:Parabola_kartezsky_system_dole.GIF|thumb|right|250px|Parabola u Descartesovom koordinatnom sistemu usmjerena ka pozitivnom djelu ''y'']]
:''Tjemena jednačina'':
:: <math>(x - m)^2 = -2p(y - n) \,\!</math>
:''Parametarska jednačina'':
:: <math>x = -pt + m \,\!</math><br />
:: <math>y = -{p\over 2}t^2 + n \,\!</math>
:''Opća jednačina'':
:: <math>x^2 + Ax + By + C = 0, B \ne 0</math>
:''Jednačina direktrise'':
:: <math>y = n + {p\over 2} \,\!</math>
:''Jednačina [[tangenta|tangente]] u tački <math>T[x_0, y_0]</math>:
:: <math>(x - m)(x_0 - m) = -p(y + y_0 - 2n) \,\!</math>
=====Uzajamni odnos parabole i prave =====
Riješimo [[sistem jednačina]] parabole i [[Prava (geometrija)|prave]].
Ukoliko dobijemo linearnu jednačinu, koja ima rješenja - prava siječe parabolu u jednoj tački.
Ukoliko linearna jednačina nema rješenja - prava i parabola se mimoilaze.
Ukoliko dobijemo [[kvadratna jednačina|kvadratnu jednačinu]] i [[diskriminanta]] <math>D</math> je:
* D > 0 dva rješenja - prava siječe parabolu u dvije tačke
* D = 0 jedno rješenje - prava je paraboli tangenta
* D < 0 nema rješenja - prava i parabola se mimoilaze
==== Polarni koordinatni sistem ====
Parabola s fokusom u početku koordinatnog sistema i s vrhom na negativnoj poluosi x zapisuje se pomoću jednačine:
: <math>r (1 - \cos \varphi) = p \,</math>
gdje <math>p>0</math> je parameter parabole.
Iz tog je vidljivo, da parametar parabole ima također značenje polovine dužine tzv. [[:en:latus rectum|latus rectum]], tako da je i [[Tetiva (geometrija)|tetiva]] konusnog presjeka okomita na glavnu osu u fokusu <math>F</math>. Kod parabole se ta vrijednost izjednačava sa četverostrukom dužinom fokusne udaljenosti.
Polarnom jednačinom je moguće dokazati, da parabola nastane kružnom inverzijom [[kardioda|karadiode]].
== Parabola u realnom svijetu==
[[Trajektorija|Trajektorije]] [[tijelo|tijela]] koja se kreću u homogenom [[gravitacija|gravitacijskom polju]] su parabole.
Po '''paraboli''' se također kreću tijela u centralnim gravitacijskim poljima, ako je njihova [[brzina]] tačno jednaka [[druga kosmička brzina|drugoj kosmičkoj brzini]] a smjer im se poklapa sa smjerom tog polja. Npr. [[put]], po kojem se kreću neke [[Kometa|kometi]], su veoma slične paraboli.
Ako se [[zraka]] koja prilazi paraboli (ili [[paraboloid]]u) paralelno sa osom simetrije odbije od parabole/paraboloida, prolazit će fokusom. To je razlog, zašto se proizvode [[parabolično ogledalo|parabolična ogledala]] i [[antena|antene]] (npr. kod [[automobil]]a, [[dvogled]]a, [[satelit|telekomunikacijskih satelita]] i sl.).
== Napomene ==
{{notelist}}
== Референце ==
{{reflist}}
== Литература ==
{{refbegin}}
* {{cite book|last=Lockwood |first=E. H. |date=1961 |title=A Book of Curves |publisher=Cambridge University Press}}
* {{cite web |url=http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/can-you-really-derive-conic-formulae-from-a-cone-deriving-the-symptom-of-the-parabola |title=Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? – Deriving the Symptom of the Parabola – Mathematical Association of America |access-date=30 September 2016}}
* {{cite book |title=Reflecting Telescope Optics: Basic design theory and its historical development |edition=2 |first1=Ray N. |last1=Wilson |publisher=Springer |year=2004 |isbn=3-540-40106-7 |page=3
|url=https://books.google.com/books?id=PuN7l2A2uzQC}} [https://books.google.com/books?id=PuN7l2A2uzQC&pg=PA3 Extract of page 3].
* {{cite web |url = http://farside.ph.utexas.edu/teaching/316/lectures/node136.html |title = Spherical Mirrors |first = Richard |last = Fitzpatrick |date = July 14, 2007 |work = Electromagnetism and Optics, lectures |publisher = [[University of Texas at Austin]] |at = Paraxial Optics |access-date = October 5, 2011}}
{{refend}}
== Спољашње везе ==
{{
{{refbegin|30em}}
* {{springer|title=Parabola|id=p/p071150}}
* {{MathWorld|title=Parabola|urlname=Parabola}}
* ''[https://books.google.com/books?id=2LZZginzib4C&pg=PA115&dq=mersenne+zucchi+parallel#PPA115,M1 Stargazer]''
* [http://www.mathwarehouse.com/quadratic/parabola/interactive-parabola.php Interactive parabola-drag focus, see axis of symmetry, directrix, standard and vertex forms]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArchimedesTriangle.shtml Archimedes Triangle and Squaring of Parabola] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParabolaLambert.shtml Two Tangents to Parabola] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParabolaEnvelope.shtml Parabola As Envelope of Straight Lines] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParabolaMirror.shtml Parabolic Mirror] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ThreeParabolaTangents.shtml Three Parabola Tangents] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParabolaFocal.shtml Focal Properties of Parabola] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParabolaMesh.shtml Parabola As Envelope II] at [[cut-the-knot]]
* [http://dynamicmathematicslearning.com/similarparabola.html The similarity of parabola] at [http://dynamicmathematicslearning.com/JavaGSPLinks.htm Dynamic Geometry Sketches], interactive dynamic geometry sketch.
* [http://objects.library.uu.nl/reader/index.php?obj=1874-20606&lan=en#page//11/65/13/116513161330830239976915216825059484204.jpg/mode/2up Frans van Schooten: ''Mathematische Oeffeningen'', 1659]
{{refend}}
{{Authority control}}
[[Категорија:Конусни пресеци]]
| |||