Компланарност — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Нова страница: '''Копланарност''' је појам из области геометрије, и означава особину низа [[тачка ... |
Нема описа измене |
||
Ред 1:
'''Копланарност''' је појам из области [[геометрија|геометрије]], и означава особину низа [[тачка (геометрија)|тачака]] да се налазе у истој [[раван|равни]]. Три тачке су увек копланарне а, ако нису [[колинеарност|колинеарне]], такође једнозначно дефинишу и раван у којој се налазе. Додавањем четврте тачке скупу од три неколинеарне тачке се већ долази у ситуацију када она мора да задовољава одређене услове, како би све четри тачке биле копланарне.
== Начини утврђивања копланаронсти ==
Ово поглавље разматра начине утврђивања копланарности четри различите и неколинеарне тачке, ''-{A}-'', ''-{B}-'', ''-{C}-'' и ''-{D}-''. Уколико су најмање две од четри тачке колинеарне, такође су и копланарне. Уколико има више од четри тачке, увек се могу изабрати три ''сталне'', и онда од осталих узимати једна по једна и тестирати на копланарност са њима.
=== Линеарна зависност ===
Ако су четри тачке копланарне, вектори, који се њима могу формирати, морају бити [[линеарна зависност|линеарно зависни]]. Другим речима, ово би значило да верктор <math>\overrightarrow{AD}</math> може да се изрази као линеарна комбинација вектора <math>\overrightarrow{AB}</math> и <math>\overrightarrow{AC}</math>:
:<math>\overrightarrow{AD} = \alpha\overrightarrow{AB} + \beta\overrightarrow{AC}, \;\; \alpha, \beta \in R</math>
Ово исто важи и за друге комбинације тј. <math>\overrightarrow{AB}</math> се може изразити као линеарна комбинација <math>\overrightarrow{AC}</math> и <math>\overrightarrow{AD}</math>, а <math>\overrightarrow{AC}</math> се може изразити као линеарна комбинација <math>\overrightarrow{AB}</math> и <math>\overrightarrow{AD}</math>.
=== Преко запремине дефинисаног паралелопипеда ===
Четри тачке одређују три вектора, што је довољно да би се њима дефинисао један [[паралелопипед]]. Ако би све ове тачке лежале у једној равни, то би значило да је његова висина једнака нули. Даља импликација овое особине би била да је и запремина тог паралелопипеда једнака нули. Из овог произилази да су тачке копланарне уколико је запремина овако одређеног паралелопипеда једнака нули.
У тродимензионом простору можемо користити [[мешовити производ]], који је еквивалент површине:
:<math>\left [ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right] = 0 \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} \right ) \overrightarrow{AD} = 0 \Leftrightarrow A, B, C, D \in \alpha\left (A,B,C\right )</math>
Ова зависност се такође може изразити кроз услов вредности [[детерминанта|детерминанте]]:
:<math>\begin{vmatrix}
A_x & A_y & A_z & 1 \\
B_x & B_y & B_z & 1 \\
C_x & C_y & C_z & 1 \\
D_x & D_y & D_z & 1 \\
\end{vmatrix} = 0</math><ref>[http://mathworld.wolfram.com/Coplanar.html Чланак о копланарности, на -{mathworld.wolfram.com}-]</ref>
== Референце ==
{{reflist}}
{{клица-математика}}
| |||