Скаларни производ вектора — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Правопис и/или генералне преправке |
Нема описа измене |
||
Ред 1:
'''Скаларни производ вектора''' је [[бинарна операција]] која као аргументе узима два [[вектор]]а а резултат јој је [[Скалар (математика)|скалар]]. Ако су ова два вектора ''-{a}-'' и ''-{b}-'' из [[векторски простор|векторског простора]] ''-{V}-'', запис ове операције је следећи:
'''Скаларни производ вектора''' <math>\vec{x}</math> и <math>\vec{y}</math> сe у [[математика|математици]] дефинише на следећи начин:▼
:<math>(a,b) \mapsto a \cdot b</math>
Скаларним производом се зове свако пресликавање које има следеће особине:
:<math>(u+v)\cdot w = u \cdot w + v \cdot w</math>
:<math>(\alpha u)\cdot v = \alpha(u \cdot v)</math>
:<math>u \cdot v = v \cdot u</math>
:<math>u \ne 0 \Rightarrow u \cdot u > 0</math>
При чему су ''-{u}-'', ''-{v}-'' и ''-{w}-'' вектори из ''-{V}-'' а α произвољан [[реалан број]].
[[Слика:Scalarproduct.gif|мини|300п|десно|Приказ стандардног скаларног производа вектора]]
▲
:<math>\vec x \cdot \vec y = |\vec x|\, |\vec y|\,\cos\measuredangle\left(\vec x, \vec y\right) = x_1 \, y_1 + x_2 \, y_2 + \ldots + x_n \, y_n</math>
При том су <math>|\vec x|</math> и <math>|\vec y|</math> [[интензитет вектора|интензитет]]и тих [[вектор]]а, одређених следећим [[координата]]ма:
:<math>\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math> и <math>\vec{y}=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}</math>
Пример скаларног множења вектора ''(1, 3, −5)'' и ''(4, −2, −1)'' у тродимензионалном простору:
:<math>\begin{align}
& (1,3,-5) \cdot (4,-2,-1) \\
& = 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) \\
& = 4 - 6 + 5 \\
& = 3
\end{align}
</math>
== Доказ ==
Линија 57 ⟶ 81:
Тако се например рад дефинише као скаларни производ вектора [[сила|силе]] и вектора [[померај]]а:
:<math>A=\vec F \cdot \vec r = |\vec F| \cdot |\vec r| \cdot \cos \alpha</math>
== Геометријска интерпретација ==
Пошто је познато да је скаларни производ два вектора и производ њиховог интензитета са углом између њих, може се инверзном операцијом израчунати и угао.
:<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \,</math> <math>\Longrightarrow</math> <math>\theta = \arccos \left( \frac {\bold{a}\cdot\bold{b}} {|\bold{a}||\bold{b}|}\right).</math>
== Види још ==
Линија 67 ⟶ 96:
*Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за средње школе. Завод за уџбенике. 2008.година. Београд
[[Категорија:
[[Категорија:Физика]]
[[Категорија:Линеарна алгебра]]
[[Категорија:Вектори]]
[[de:Skalarprodukt]]
| |||