Фермаова теорема (анализа) — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Бот Додаје: uk:Теорема Ферма |
|||
Ред 6:
== Теорема ==
Нека је <math>f\colon (a,b) \rightarrow \mathbb{R}</math> [[функција (математика)|функција]], и претпоставимо да је <math>\displaystyle x_0 \in (a,b)</math> локални екстремум од <math>\displaystyle f</math>. Ако је <math>\displaystyle f</math> [[диференцијабилна функција|диференцијабилна]] у <math>\displaystyle x_0</math> онда је <math>\displaystyle f'(x_0) = 0</math>.
== Dokaz ==
Pretpostavimo da je tačka <math>\displaystyle x_0</math> tačka lokalnog maksimuma i dokažimo da je izvod u toj tački <math>\displaystyle f'(x_0) = 0</math>.
Kako je <math>\displaystyle x_0</math> lokalni maksimum tada <math>\exists \, \delta > 0 </math> tako da <math>(x_0 - \delta,x_0 + \delta) \subset (a,b)</math> i da važi <math>f(x_0) \ge f(x)\, \forall x</math> <math>\displaystyle |x - x_0| < \delta </math>. Dakle za svako <math>h \in (0,\delta)</math> važi:
:<math>\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \le 0.</math>
Kada <math>\displaystyle h</math> teži nuli prethodni izraz postoji i jednak je <math>\displaystyle f'(x_0)</math> pa zaključujemo da je <math>f'(x_0) \le 0</math> (1). Sa druge strane <math>h \in (-\delta,0)</math> važi sledeće:
:<math>\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \ge 0</math>
ponovo kako <math>\displaystyle h</math> teži nuli prethodni izraz postoji i jednak je <math>\displaystyle f'(x_0)</math> pa takođe imamo <math>f'(x_0) \ge 0</math>(2).
Iz (1) i (2) slijedi <math>\displaystyle f'(x_0) = 0</math>.
== Види још ==
| |||