Poenkareov disk model — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Нема описа измене |
Нема описа измене |
||
Ред 9:
Zajedno sa [[Klajnov model|Klajnovim modelom]] i Poenkareovim poluravanskim modelom, ovaj model je bio predložen i od [[Eugenio Beltrami|Eugenia Beltramija]] koji ga je iskoristio da dokaže kako je hiperbolička geometrija ekvikonzistentna sa [[Euklidova geometrija|Euklidovom geometrijom]].
===Metrika Poenkareovog disk modela===
Poenkareov metrički tenzor predstavljen je diskom
:<math> \qquad U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{x^2+y^2} < 1 \}</math>
Ako su ''u'' i ''v'' dva vektora u realnom ''n''-dimenzionalnom vektorskom prostoru, R<sup>''n''</sup> sa običnom Euklidskom normom, oba će imati normu manju od 1, onda možemo da definišemo jednu izometričku invarijantu kao
:<math>\delta (u, v) = 2 \frac{\lVert u-v \rVert^2}{(1-\lVert u \rVert^2)(1-\lVert v \rVert^2)},\,</math>
gde <math>\lVert \cdot \rVert</math> predstavljaju običnu Euklidsku normu. Tada je funkcija razdaljine:
:<math> \qquad d(u, v) = \operatorname{arccosh} (1+\delta (u,v)).\,</math>
Kako je funkcija razdaljine definisana za bilo koja 2 vektora norme manje od 1 i kako ona gradi sklop vektora u metričkom prostoru koji je model hiperboličkog prostora konstantne krive −1. Model ima osobinu da je ugao između 2 presecajuće prave u hiperboličkom prostoru jednak uglu u modelu.
Povezan metrički tenzor Poenkareovog modela je određen formulom
:<math>ds^2 = 4 \frac{\sum_i dx_i^2}{(1-\sum_i x_i^2)^2} = \frac{dx^2+dy^2}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dz\,d\overline{z}}{(1-|z|^2)^2},</math>
gde su ''x''<sub>''i''</sub> koordinate unutrašnjosti Euklidskog prostora. Geodezijske linije (Geodezijska linija date površi sastoji se od lukova u datoj površi oji svake dve njene tačke spajaju po liniji najkraćeg rastojanja među njima)disk modela su krugovi normalni na kružnicu Poenkareovog modela ''S''<sup>''n''−1</sup>.
{{клица-математика}}
| |||